绪论
为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点，并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具。
根据老师要求，本次任务分组化，责任到个人。我们班整体分为五大组，每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配，一个人大概分1~2道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题，画图（用CAD或word画）。2.题解详略得当，老师要求的步骤必须写上。3.遇到一题多解，要尽量写出多种方法。
本习题集贯穿全书，为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各章节的知识点都有机地整合在一起，力争做到了对控制理论概念阐述明确，给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。在课后题中出现的本章节重难点部分，我们加上了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰，简单明了，由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反三！
这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管，魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核，然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作，绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。
本书耗时两周，在同学的共同努力下完成，是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶，望大家能够合理使用，如发现错误请及时通知，欢迎大家的批评指正！
2014年6月2日
第一章 控制系统的状态空间表达式
1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式
图1-27系统方块结构图
解：系统的模拟结构图如下：
图1-30双输入--双输出系统模拟结构图
系统的状态方程如下：
u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p
p p p n p
b
161116613153
46
1
5141313322211
+--
=+-==++--==
=???
???
令y s =)(θ，则1x y =
所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
[]?????
?
???
?
??????????=???????
???????????????+??????
??????????????????????????
??
???????????
?-----
=?????????????????????????????
?65432116543211111111
2654321000001000000
00000001001000000
000001
0x x x x x x y u
K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p
p n
p
b
1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
U
图1-28 电路图
解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =
有电路原理可知：?
?
?
+==+=++3
213
222231111x C x x x x R x L u
x x L x R
既得
2
221332
2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-
=+-=+--
=?
?
?
写成矢量矩阵形式为：
[]????
?
?????=??
??
?
?
????????+??????????????????
?
??
???????---
-=??????????????3212
1321222
111
321000*********x x x R y u L x x x C
C
L L R L L R x x x 。。
。
1-3 有机械系统如图1.29所示,M 1和M 2分别受外力f 1和f 2的作用.求以M 1和M 2的运动速度为输出的状态空间表达式.
解:以弹簧的伸长度y 1，y 2 质量块M 1， M 2的速率c 1，c 2作为状态变量 即 x 1=y 1，x 2=y 2，x 3=c 1，x 4=c 2
根据牛顿定律，对M 1有：M 1dt
dc 1=f 1-k 1(y 1-y 2)-B 1(c 1-c 2)
对M 2有：M 2dt
dc 2=f 2+k 1(y 1-y 2)+B 1(c 1-c 2)-k 2y 2-B 2c 2
将x 1,x 2,x 3,x 4代入上面两个式子，得 M 13x
=f 1-k 1(x 1-x 2)-B 1(x 3-x 4) M 24x
=f 2+k 1(x 1-x 2)+B 1(x 3-x 4)-k 2x 2-B 2x 4 整理得 1x
=x 3
2x
=x 4
3x
=11M f 1-11M k x 1+11M k x 2-11M B x 3+1
1M B
x 4 4x
=21M f 2+21M k x 1-221M k k +x 2+21M B x 3-2
21M B
B +x 4 输出状态空间表达式为 y 1=c 1=x 3 y 2=c 2=x 4
1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
1
u 2
u 图1-30双输入--双输出系统模拟结构图
解：系统的状态空间表达式如下所示：
11216221335
4
34421234010000001001000
010000010x x a a a x x b u x x a a a x x b x x y x x ????????
????????---????????=+????????????????---??????
??????
????=????
??????
2
1
65431000
()1010s
a s a a sI A s a a s a -??
??+??-=??
--?
?+??
1
2
1
6115432100000
0()()101000
0ux s
a s a a
b W s sI A B s a a s a b ---????
????+????=-=????
--?
???+??
?? 1
21611
543210000001000()()1010000100
0uy s a s a a b W s C sI A B s a a s a b ---????
?
???+??????=-=??????
--??
?
???+??
??
2
1612
163
45431000
[]1010
s
a s a a X X I s X X a a s a -??
??+??=??--?
?+??
21
22462324
00[]0X X I a X X ??=???
?
1-5系统的动态特性由下列微分方程描述
..
.
.
(1)5732y y y y u u +++=+
u u u y y y y 23375)2(.
.....++=+++
列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的的模拟结构图。 (1) 解:由微分方程得：系统的传递函数为W （s ）=3
s 752
s s s
2
3
++++
则状态空间表达式为：
[].11.22.33123010000103751210x x x x u x x x y x x ??
????????????????=+????????????????
---??????????
????=??????
相应的模拟结构图如下：
(2) 解：由微分方程得：系统的传递函数为W （s ）=3
s 752
s 3s s
s
2
3
2
+++++
则状态空间表达式为：
[].11.22.33123010000103751231x x x x u x x x y x x ??
????????????????=+????????????????
---?
?????????
????=??????
相应的模拟结构图如下：
1-6 已知系统传递函数(1))
3)(1()
1(10)(++-=S S S S S W
(2)2
)3)(2()
1(6)(+++=
s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相
应的模拟结构图 解：(1)由 )
3)(1()
1(10)(++-=
S S S S S W 可得到系统表达式为
[][][]
040203161213001000113134031610
31230091031011
3210003,9312,11113210101010032143010001
0321--=?????
?
??
?????????-=???
??
?
?????-=?????
??
????
?????-=??
??
??????--==?????
?????=??????????-=??????????-=??????????-=????
??????+????????????????????--=??????????T C B M J M M
T p p p T T
p p p A x x x y u x x x x x x 分别为计算得到变换都各矩阵的逆矩阵求得则可构成变换矩阵的特征矢量
求得
(2)s
s s s s s s s s W 31
233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++-
++-=+++=
??
??
??????????????
--=?????
???????+???????????????????
?????---=????????????432143214321313
310411100000
020*********x x x x y u x x x x x x x x
1-7 给定下列状态空间表达式
X 3
X 2
X 1
u X 4
X 3
X 2
X 1
y
[]???
?
?
?????=??????????+????????????????????----=??????????321321321100210311032010x x x y u x x x x x x
（1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数 解：
(2) ????
??????+-+-=-=31103201
)()(s s s A sI s W )1)(2)(3()3(2)3(2+++=+++=-s s s s s s A sI
()????
???
???++---++-+++++=--)2)(1(150)3()3(20
33)1)(2)(3(1
)(21s s s s s s s s s s s s A sI
()????
?
??
???+++++++=????
????????????
????++---++-+++++=-=-)3)(12()3()3()1)(2)(3(1210)2)(1(150)3()3(2033)1)(2)(3(1
)()(21s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s B A sI s W ux
[])
1)(2()12()
1)(2)(3(1)3)(12()3()3(100)()(1+++=
+++????
?
?????++++=-=-s s s s s s s s s s s B A sI C s W uy
（3）??
??
??????---=6712203010
A 解：A 的特征方程 0611667122301
23=+++=????
??????+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ
当11-=λ时，????
?
?????-=????????????????????---3121113121116712203010p p p p p p
解得： 113121p p p -== 令111=p 得 ????
?
?????--=??????????=1113121111p p p P
（或令111-=p ，得????
?
?????-=??????????=1113121111p p p P ）
当21-=λ时，????
?
?????-=????????????????????---32221232221226712203010p p p p p p 解得：
123212222
1
,2p p p p =
-= 令212=p 得
??
??
??????-=??????????=1423222122p p p P （或令112=p ，得?
???
??
??????-=??????????=21213222122p p p P ） 当31-=λ时，????
??????-=????????????????????---33231333231336712203010p p p p p p 解得： 133313233,3p p p p =-= 令113=p 得
??
??
?
?????-=??????????=3313323133p p p P
（4）??
??
?
?????=5441-01-1-21A 解：A 的特征方程 0101565-4-4-1112
1-23=-+-=??
??
??????-=-λλλλλλλA I
解之得：2
j
155,2j 155,1321-=+=
=λλλ 当11=λ时，??
??
??????=????????????????????3121113121115441-01-1-21p p p p p p
解得： 令311=p 得 ????
?
?????--=??????????=2133121111p p p P
当2j 1552+=λ时， ????
?
?????+=????????????????????3222123222122
j 1555441-01-1-21p p p p p p 解得： 令122=p 得 ??
????
?
???
??
??-=??????????=412j 153-33222122p p p P 当2j 15-53=λ时，??
??
?
?????=????????????????????3323133323132j 15-55441-01-1-21p p p p p p
1-9.试将下列状态空间表达式化成约旦标准型。
（1）???
???????2x 1x =???
???2-112-??????2x 1x +??
?
???10u y=[]01x 解：A 的特征方程A -I λ=342++λλ=0 解得λ=-1或λ=-3
当λ=-1时，?
??
?
??2-112-??????2111P P =-??
????2111P P 解之得P 11=P 21,令P 11=1，得P 1=??
?
???11
当λ=-3时?
?
?
???2-112-??????2221P P =-3??
????2221P P
解之得P 21=-P 22，令P 21=1，得P 2=??
????1
-1
故T=??????-1111,1-T =????
??
????-212
1212
1
, 则AT T 1-=??????--3001,B T 1
-=?
???
??????-2121,CT=[]11, 故约旦标准型为.
Z =?
?
?
?
??3-001-Z ， y=[]11Z （2）110021?????
?
?????????3x 2x 1x =??????
?
?
??31-12012-14??????????3x 2x 1x +?????
?????357213u ??????2y 1y =??
????110021????
?
?????3x 2x 1x 解：A 的特征方程A -I λ=915723-+-λλλ=()()()133---λλλ=0 解得2,1λ=3 ， 3λ=1
当1λ=3时特征向量：??????????31-12012-14??
???
?????312111P P P =3??????????312111P P P 解之得P 12=P 21=P 31，令P 11=1，得P 1=????
??????111
当λ2=3时的广义特征向量，??????????31-12012-14??
???
?????322212P P P =3??????????322212P P P +??????????111 解之得P 12=P 22+1， P 22=P 32， 令P 12=1，得P 2=??????????001 当3λ=1时 ??????????31-12012-14??????
????332313P P P =??
???
?????332313P P P 解之得P 13=0，P 23=2P 33， 令P 33=1，的P 3=?????
?????120 故T=??????????101201011， 1-T =??
??
??????---122111010
1-T AT=??
???
?????100030013 1-T B=??????????--1539472 CT=??????302413 故约旦标准型为.
Z =??
???
?????100030013X+????
??????--1539472u Y=??
?
???302413X
1—10.已知两子系统的传递函数阵)s (1W 和)s (2W 分别为：
)s (1W =??
??
???
??
?++++210211
1s s s s
)s (2W =????
??????+++
01s 1413
1s s 试求两子系统串联连接时系统的传递函数，并讨论所得结果。
解：两子系统串联联接时，系统的传递函数阵W(s)=)s (2W )s (1W ,得
W(s)=???
?
??????+++
01
s 1413
1s s ?????????
?++++2102111s s s s =????
?
?????
??++++++++++)2)(1(1)1(1
)4)(3)(2(7
5)3)(1(12
2s s s s s s s s s s
两子系统并联联接时，系统的传递函数阵W(s)=)(1S W +)(2S W ,得
W(s)=????????
?
?++++210211
1
s s s s +??????????+++01
s 1
4131s s =??
?
??
?
??????+++++++++211
1)4)(2(62)3)(1(4
2s s s s s s s s s 串联联接时，由于前一环节的输出为后一环节的输入，串联后等效非线性环节特性与两环节的先后次序有关，故改变向后次序等效特性会发生改变。
并联联接时，系统的传递函数阵为两系统单独作用后的叠加。 1-11 已知如图1-22（见教材47页）所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为
?
????
???
?
?+-
+=21011
1
)(1s s s s W ??????=10012)s (W
求系统的闭环传递函数阵。 解：
?????
?????+-
+=?????
?????????
??+-+=21011
1100121011
1)()(211s s s s s s s W s W ??
???
?????++-
++=???????
??????
??
?+-
++=+23011
2100121011
1)()(1s s s s s s s s I s W s W I []??
???
??????
?++++++=?????????
?++++++=+-320
)3(121
12
12331)()(1
21s s s s s s s s s s s s s s s W s W I []?????
???????+++-+=????????????
+-+++++=?????
?????+-
+?????????
?++++++=+=-310
)3(1211101)1)(2(33121111120123
31)()()()(1121s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s W s W s W I s W
1-12 已知差分方程为：)(3)1(2)(2)1(3)2(k u k u k y k y k y ++=++++ 试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u 的系数b(即控制列阵)为
??????=11)1(b ?
?????=10)2(b
解：由差分方程得传递函数2
1
112332)(2++
+=+++=z z z z z z W 化为并联型：)(11)(2001)1(k u k x k x ?
?
?
???+????
??--=+ [])(11)(k x k y =
化为能控标准型：[])
(23)()(10)(3210)1(k x k y k u k x k x =??????+??????--=+