2.当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变 化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题 的答案，这就需要使用函数思想. 3.借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解 (证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题， 二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或 构造中间函数来求解.
4.许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这 些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变 量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于 回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量.
A.x＋y≥0
B.x＋y≤0
C.x－y≤0
D.x－y≥0
解析 把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y， 构造函数y＝2x－5－x，其为R上的增函数， 所以有x≤－y.
(2)已知函数 f(x)＝12x4－2x3＋3m，x∈R，若 f(x)＋9≥0 恒成立，则实数 m 的取值范围是( )
A.m≥32
华 后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.
变式训练3 (1)(2014·安徽)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋yb22＝1(0<b<1) 的左，右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点. 若 |AF1| ＝ 3|F1B| ， AF2⊥x 轴 ， 则 椭 圆 E 的 方 程 为
范围是( B )
A.(1， 2)
B.( 2， 5)
C.[ 2， 5]
D.( 3， 5)
解析 e2＝(ac)2＝a2＋aa2＋12＝1＋(1＋1a)2， 因为当 a>1 时，0<1a<1，所以 2<e2<5，即 2<e< 5.
本讲规律源自文库结
1.在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理， 这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的 通项公式、余弦定理、解析几何的弦长公式等，当 题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或者 定理列方程或方程组求解需要的量.
(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系， 建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程 组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获 得解决.方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指 导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题. 方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.
＝n＋1 1－n＋1 2＋n＋1 2－n＋1 3＋…＋21n－2n1＋1 ＝令nf＋(1x)1＝－22xn＋1＋1x1(＝x≥2n1)2，＋n3n＋1＝2n＋1n1＋3， 则 f′(x)＝2－x12，当 x≥1 时，f′(x)>0 恒成立，
所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数， 故当x＝1时，[f(x)]min＝f(1)＝3，
热点二 函数与方程思想在数列中的应用 例2 已知数列{an}是各项均为正数的等差数列. (1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{an} 的通项公式an；
解 因为a1＝2，a32＝a2·(a4＋1)，
又因为{an}是正项等差数列，故d≥0， 所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)， 得d＝2或d＝－1(舍去)， 所以数列{an}的通项公式an＝2n.
(1)求椭圆C的方程；
a＝2，
解
由题意得c＝ 2， a 2
a2＝b2＋c2，
解得 b＝ 2.
所以椭圆 C 的方程为x42＋y22＝1.
(2)当△AMN 的面积为 310时，求 k 的值.
y＝kx－1，
解 由x42＋y22＝1
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
专题八 数学思想方法
第 1讲 函数与方程思想
思想方法概述 热点分类突破 真题与押题
思想方法概述 1.函数与方程思想的含义 (1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究 数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立 函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析 问题、转化问题，从而使问题获得解决.经常利用的性 质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图 象变换等.
2.和函数与方程思想密切关联的知识点 (1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0 时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质 可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式. (2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数， 用函数的观点去处理数列问题十分重要.
(3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量， 其余的量通过三角函数关系化为未知量的表达式， 那么问题就能化为未知量的方程来解. (4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线 的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决. 这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.
(1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法
就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解
思 决问题；(2)函数f(x)>0或f(x)<0恒成立，一般可
维 升
转化为f(x)min>0或f(x)max<0；已知恒成立求参数
华 范围可先分离参数，然后利用函数值域求解.
变式训练1
(1)若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有( B )
所以 g(x)在区间0，21上单调递增，在区间12，1上单调 递减， 因此 g(x)max＝g12＝4，从而 a≥4； 当x<0即x∈[－1,0)时， f(x)＝ax3－3x＋1≥0 可化为 a≤x32－x13，
设 g(x)＝x32－x13，且 g(x)在区间[－1,0)上单调递增， 因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上a＝4. 答案 4
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则 x1＋x2＝1＋4k22k2，x1x2＝21＋k2－2k42.
所以|MN|＝ x2－x12＋y2－y12＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]
＝2
1＋k24＋6k2
1＋2k2
.
又因为点 A(2,0)到直线 y＝k(x－1)的距离 d＝ 1|＋k| k2，
3 B.m>2
C.m≤32
3 D.m<2
解析 因为函数 f(x)＝12x4－2x3＋3m.
所以f′(x)＝2x3－6x2，
令f′(x)＝0得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的
一个最小值点， 所以函数的最小值为 f(3)＝3m－227，不等式 f(x)＋9≥0
恒成立， 即f(x)≥－9恒成立， 所以 3m－227≥－9，解得 m≥32，故选 A. 答案 A
(2)在(1)的条件下，数列{an}的前 n 项和为 Sn，设 bn＝Sn1＋1 ＋Sn1＋2＋…＋S12n，若对任意的 n∈N*，不等式 bn≤k 恒成 立，求实数 k 的最小值.
解 因为Sn＝n(n＋1)， bn＝Sn1＋1＋Sn1＋2＋…＋S12n ＝n＋11n＋2＋n＋21n＋3＋…＋2n21n＋1
升 因此在解决数列问题时，应注意利用函数的思
华
想求解.
变式训练2
(1)(2014·江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中，若 a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是____4____. 解析 因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2， 所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2， 得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，
真题与押题
真题感悟 押题精练
1 2 3 4 真题感悟
1.(2014·辽宁)已知
a＝2
1 3
，b＝log231，c＝ log 1 2
1，则( 3
C
)
A.a>b>c
B.a>c>b
C.c>a>b
D.c>b>a
解析
0<a＝
1
23
<20＝1，b＝log213<log21＝0，
c＝log 1
2
1 3
又数列{an}是等比数列，
∴(－29)2＝(13－c)×(－227)，∴c＝1. 又∵公比 q＝aa32＝13，
∴an＝－23(13)n－1＝－2(13)n，n∈N*.
且数列 {an}是递增数列，
∴n＝1 时，an 有最小值 a1＝－23.
答案 D
热点三 函数与方程思想在几何中的应用
例 3 已知 椭圆 C：xa22＋ yb22＝ 1(a>b>0)的一个顶点 为 A(2,0)，离心率为 22.直线 y＝k(x－1)与椭圆 C 交于不同 的两点 M，N.
(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算， 经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以 解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的 关系更加密切.
热点分类突破
热点一 函数与方程思想在不等式中的应用 热点二 函数与方程思想在数列中的应用 热点三 函数与方程思想在几何中的应用
热点一 函数与方程思想在不等式中的应用
又当x<0时，F′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0， 所以x<0时，F(x)为增函数. 因为奇函数在对称区间上的单调性相同， 所以x>0时，F(x)也是增函数. 因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3). 所以，由图可知F(x)<0的解集是(－∞，－3)∪(0,3). 答案 (－∞，－3)∪(0,3)
即当 n＝1 时，(bn)max＝61，
要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立， 则须使 k≥(bn)max＝16， 所以实数 k 的最小值为16.
(1)等差(比)数列中各有5个基本量，建立方程组
可“知三求二”；
(2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子
思 维
集的函数,数列的通项公式即为相应的解析式，
(2)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数， 当 x<0 时 ， f′(x)g(x) ＋ f(x)g′(x)>0 ， 且 g( － 3) ＝ 0 ， 则不等式f(x)g(x)<0的解集是__________.
解析 设F(x)＝f(x)g(x)，由于f(x)， g(x)分别是定义在R上的奇函数和 偶函数， 得F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)， 即F(x)在R上为奇函数.
__________.
解析 设点B的坐标为(x0，y0)， ∵x2＋yb22＝1，且 0<b<1， ∴F1(－ 1－b2，0)，F2( 1－b2，0).
∵AF2⊥x 轴，∴A( 1－b2，b2). ∵|AF1|＝3|F1B|，∴A→F1＝3F→1B，
∴(－2 1－b2，－b2)＝3(x0＋ 1－b2，y0).
所以△AMN 的面积为 S＝12|MN|·d＝|k|1＋4＋2k62k2. 由|k|1＋4＋2k62k2＝ 310，解得 k＝±1. 所以，k的值为1或－1.
几何最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问
题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在
思 深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系,
维 升
将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然
例 1 (1)f(x) ＝ ax3 － 3x ＋ 1 对 于 x∈[ － 1,1] 总 有 f(x)≥0成立，则a＝________.
解析 若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立； 当x>0即x∈(0,1]时， f(x)＝ax3－3x＋1≥0 可化为 a≥x32－x13. 设 g(x)＝x32－x13，则 g′(x)＝31－x4 2x，
解得q2＝2，a6＝a2q4＝1×22＝4.
(2)已知函数 f(x)＝(13)x，等比数列{an}的前 n 项和为 f(n)
－c，则 an 的最小值为( )
A.－1
B.1
C.23
D.－23
解析 由题设，得 a1＝f(1)－c＝13－c； a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－29； a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－227.
∴x0＝－53 1－b2，y0＝－b32. ∴点 B 的坐标为－53 1－b2，－b32.
将点 B－53 1－b2，－b32代入 x2＋yb22＝1，得 b2＝23.
∴椭圆 E 的方程为 x2＋32y2＝1. 答案 x2＋32y2＝1
(2)若 a>1，则双曲线xa22－a＋y212＝1 的离心率 e 的取值
>
log 1
2
1 2
＝1，
即0<a<1，b<0，c>1，所以c>a>b.
1 2 3 4 真题感悟
2.(2014·福建)设 P，Q 分别为圆 x2＋(y－6)2＝2 和椭圆1x02 ＋y2＝1 上的点，则 P，Q 两点间的最大距离是( )
