第三章能力检测
满分150分．考试时间120分钟．
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设M ＝2a (a －2)＋7，N ＝(a －2)(a －3)，则有( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜N D ．M ≤N
【答案】A
【解析】M －N ＝(2a 2－4a ＋7)－(a 2－5a ＋6)＝a 2＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a ＋122＋3
4＞0，∴M ＞N . 2．下列结论成立的是( ) A ．若ac ＞bc ，则a ＞b B ．若a ＞b ，则a 2＞b 2
C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a ＋c ＞b ＋d
D ．若a ＞b ，c ＞d ，则a －d ＞b －c 【答案】D
【解析】对于A ，当c ＜0时，不成立；对于B ，取a ＝－1，b ＝－2，不成立；对于C ，取a ＝2，b ＝1，c ＝0，d ＝3，不成立；对于D ，∵c ＞d ，∴－d ＞－c ，又a ＞b ，∴a －d ＞b －c ，因此成立．故选D ．
3．不等式x 2－x －6
x －1＞0的解集为( )
A ．{x |x ＜－2或x ＞3}
B ．{x |x ＜－2或1＜x ＜3}
C ．{x |－2＜x ＜1或x ＞3}
D ．{x |－2＜x ＜1或1＜x ＜3} 【答案】C
【解析】原不等式可化为(x ＋2)(x －1)(x －3)＞0，则该不等式的解集为{x |－2＜x ＜1或x ＞3}．
4．(2017年四川自贡模拟)设集合A ＝{x |x 2－3x ＜0}，B ＝{x |x 2＞4}，则A ∩B ＝( ) A ．(－2,0) B ．(－2,3) C ．(0,2) D ．(2,3)
【答案】D
【解析】A ＝{x |x 2－3x ＜0}＝{x |0＜x ＜3}，B ＝{x |x 2＞4}＝{x |x ＞2或x ＜－2}，则A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}．故选D.
5．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，1
2成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．⎝⎛⎦⎤－∞，－5
2 C ．⎣⎡⎭⎫－5
2，＋∞ D ．[2，＋∞)
【答案】C 【解析】x 2＋ax ＋1≥0
对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12成立⇔a ≥－x 2
－1x
对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12成立⇔a ≥－x －1x 对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12成立．∵y ＝－x －1x 在区间⎝⎛⎦⎤0，12上是增函数，∴－x －1
x ≤－12－2＝－52.∴a ≥－5
2
.故选C ． 6．(2017年上海校级联考)已知函数f (x )＝x ＋p
x －1(p 为常数且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)
上的最小值为4，则实数p 的值为( )
A ．92
B ．9
4
C ．2
D ．4
【答案】B
【解析】由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋p
x －1＋1≥2p ＋1，当且仅当(x －1)2＝p 即x ＝
p ＋1时取等号．∵f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，∴2p ＋1＝4，解得p ＝9
4
.
7．若关于x 的不等式2x 2－8x －4－a ≥0在1≤x ≤4内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4] B ．[－4，＋∞) C ．[－12，＋∞) D ．(－∞，－12] 【答案】A
【解析】∵y ＝2x 2－8x －4(1≤x ≤4)在x ＝4时，取最大值－4，∴当a ≤－4时，2x 2－8x －4≥a 在[1,4]内有解．
8．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲种产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙种产品要用A 原料1吨，B 原料3吨．该工厂每天生产甲、乙两种产品的总量不少于2吨且每天消耗的A 原料不能超过10吨，B 原料不能超过9吨．如果设每天甲种产品
的产量为x 吨，乙种产品的产量为y 吨，则在坐标系xOy 中，满足上述条件的x ，y 的可行域用阴影部分表示正确的是( )
A B
C D
【答案】A
【解析】由题可知⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥2，
3x ＋y ≤10，2x ＋3y ≤9，
x ≥0，y ≥0.
故选A ．
9．(2016年广东佛山模拟)若a >b >0，c ＜d ＜0，则一定有( )
A ．a d >b
c
B ．a d
C ．a c >b
d
D ．a c
【答案】B
【解析】∵c ＜d ＜0，∴1d ＜1c ＜0，∴－1d ＞－1c ＞0.而a ＞b ＞0，∴－a d ＞－b c ＞0，∴a d ＜b
c .
故选B ．
10．下列函数中，最小值是4的函数是( ) A ．y ＝x ＋4
x
B ．y ＝sin x ＋
4
sin x
(0＜x ＜π) C ．y ＝e x ＋4e －
x D ．y ＝log 3x ＋log x 81 【答案】C
【解析】当x ＜0时，y ＝x ＋4x ≤－4，排除A ；∵0＜x ＜π，∴0＜sin x ≤1，y ＝sin x ＋
4
sin x ＞4，排除B ；e x ＞0，y ＝e x ＋4e －
x ≥4，等号在e x ＝4e x 即e x ＝2时成立；若0＜x ＜1，则log 3x
＜0，log x 81＜0，排除D ．故选C ．
11．关于x 的不等式px 2＋qx ＋r ＞0的解集是{x |α＜x ＜β}(β＞α＞0)，那么另一个关于x 的不等式rx 2－qx ＋p ＞0的解集应该是( )
A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x ⎪⎪
1α＜x ＜1β B ．⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
1β
＜x ＜1α C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1β
＜x ＜－1α D ．⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
－1α
＜x ＜－1β 【答案】D
【解析】因为关于x 的不等式px 2＋qx ＋r ＞0的解集是{x |α＜x ＜β}，所以α和β可看作方程px 2＋qx ＋r ＝0的两个根且p ＜0，则α＋β＝－q p ，α·β＝r
p .因为0＜α＜β，p ＜0，所以r
＜0.所以rx 2－qx ＋p ＞0，即r p x 2－q p x ＋1＜0，即α·βx 2＋(α＋β)x ＋1＜0，解得－1α＜x ＜－1
β.故
选D ．
12．已知实数x ，y 满足⎩
⎪⎨⎪⎧
(x －y )(x ＋y －2)≥0，
1≤x ≤4，则x ＋2y 的取值范围为( )
A ．[12，＋∞)
B ．[0,3]
C ．[0,12]
D ．[3,12]
【答案】C
【解析】作出不等式组表示的平面区域如图，作直线l 0：x ＋2y ＝0，平移l 0可见当经过可行域内的点A ，B 时，z ＝x ＋2y 分别取得最大值与最小值，∴z max ＝12，z min ＝0，故选C ．
