1. 若0.004DX =,利用切比雪夫不等式给出概率(||0.2)P X EX -<的上界或下界.
解 2(||0.2)/0.20.004/0.040.1P X EX DX -≥≤==,
(||0.2)1(||0.2)10.10.9P X EX P X EX -<=--≥≥-=.
2. 设0.009DX =,0ε>,(||)0.9P X EX ε-<≤,利用切比雪夫不等式给出ε的上界或下界.
解 2/(||)1(||)10.90.1DX P X EX P X EX εεε≥-≥=--<≥-=,
2/0.10.009/0.10.09DX ε≤==, 0.3ε≤.
3. 试用切比雪夫不等式证明:能以大于0.97的概率断言,抛1000次分币,正面出现次数在400到600之间.
解 设X 为出现的正面数,则~(1000,1/2)X B ,
1000(1/2)500EX =⨯=, 1000(1/2)(1/2)250DX =⨯⨯=.
(400600)(|500|100)(|500|100)P X P X P X ≤≤=-≤≥-<
21(|500|100)1/1001250/100000.9750.97P X DX =--≥≥-=-=>.
4. 设随机变量X 的期望存在,()f x 为正单调上升函数,且()Ef X EX -存在.证明:0ε∀>,
(||)(||)/()P X EX Ef X EX f εε-≥≤-.
证 由于()f x 单调上升,故
{||}{(||()}X EX f X EX f εε-≥⊂-≥.
由于()f x 是正函数,故
{||}{(||)()}(||)/()P X EX P f X EX f Ef X EX f εεε-≥≤-≥≤-.
5. 设随机变量X 的密度为(0,)()()!
m x x p x e I x m -+∞=.试用切比雪夫不等式证明 {02(1)}1m P X m m <<+≥
+. 证1 10(2)(1)!()1!!!m x x m m EX xp x dx e dx m m m m ++∞
+∞--∞Γ++=====+⎰⎰, 2220(3)(2)!()(1)!!!
m x x m m EX x p x dx e dx m m m m m ++∞+∞
--∞Γ++=====+⎰⎰ 222()(1)(2)(1)1DX EX EX m m m m =-=++=+=+,
{02(1)}{|(1)|1}{||1}P X m P X m m P X EX m <<+=-+<+=-<+
221{||1}1/(1)1(1)/(1)/(1)P X EX m DX m m m m m =--≥+≥-+=-++=+.
证2 (1)1(0,)(0,)1()()()!(1)
m x m x x p x e I x x e I x m m -+--+∞+∞==Γ+,故 ~(1,1)X m Γ+, 111m EX m +=
=+, 2111
m DX m +==+. {02(1)}{|(1)|1}{||1}P X m P X m m P X EX m <<+=-+<+=-<+ 221{||1}1/(1)1(1)/(1)/(1)P X EX m DX m m m m m =--≥+≥-+=-++=+.
6. 重复抛分币100次,设每次出现正面的概率为1/2.应用中心极限定理求正面出现次数少于60且大于50的概率.
解1 设正面出现的次数为X ,则~(100,1/2)X B ,50EX =,25DX =.
根据中心极限定理, 50
5X Z -==近似服从标准正态分布,所求的概率是 5050506050(5060)5
55X P X P ---⎛⎫<<=<< ⎪⎝⎭ (02)(2)(0)0.97720.50.4772P Z =<<≈Φ-Φ=-=.
解2 设正面出现的次数为X ,则~(100,1/2)X B ,50EX =,25DX =.
根据中心极限定理,50
5X Z -==近似服从标准正态分布,所求的概率是 50.5505059.550(50.559.5)555X P X P ---⎛⎫<<=<< ⎪⎝⎭
(0.1 1.95)(1.9)(0.1)0.97130.53980.4315P z =<<≈Φ-Φ=-=.
7. 现有一批种子,其中良种占1/6,在其中任选6000颗,试问这批种子中,良种所占的比例与1/6之差的绝对值小于1%的概率是多少？
解 设这6000颗种子中,良种数为X ,则~(6000,1/6)X B ,1000EX =,5000/6DX =,良种数所占的比例为/6000X .
根据中心极限定理,
Z =近似服从标准正态分布.所求的概率是
110000.010.01
600066000X X P P P ⎛⎫⎛-⎫-<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (|| 2.078)2(2.078)120.981210.9624P Z =<≈Φ-=⨯-=.
8. 现有一批种子,其中良种占1/6;我们有99%的把握断定,在6000颗种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值小于多少？这时相应的良种数落在哪个范围内？
解 设这6000颗种子中,良种数为X ,则~(6000,1/6)X B ,1000EX =,5000/6DX =,良种数所占的比例为/6000X .
根据中心极限定理,
Z =近似服从标准正态分布.设题述的差的绝对值小于c ,则
110000.99
600066000X X P c P c P ⎛⎫⎛-⎫=-<=<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ||21
P Z ⎛=<=Φ- ⎝. 由此得0.995
Φ= 2.57=,0.0124c =. 这时相应的良种x 满足不等式10.012460006
x c -<=,故 (100060000.0124,100060000.0124)x ∈-⨯+⨯,
即良种数x 数落在区间[926,1074]内.
