第八章 热传导和扩散问题的傅里叶解
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傅里叶热传导定律导热微分方程
傅里叶热传导定律导热微分方程傅里叶热传导定律导热微分方程：探索热传导的奥秘1、引言：了解傅里叶热传导定律热传导是我们日常生活中重要的现象之一，在多个领域都有广泛应用，包括工程、物理、化学和生物等。
傅里叶热传导定律是描述物体内部温度分布的重要方程，通过导热微分方程可以更深入地理解温度传导现象。
2、基础知识：热传导和傅里叶热传导定律热传导是指热量从高温区域向低温区域传递的过程。
傅里叶热传导定律则是一组描述热传导的微分方程，最常用的是一维传热情况下的傅里叶热传导定律。
3、傅里叶热传导定律的一维形式在一维情况下，傅里叶热传导定律可以表示为：(1) ∂T/∂t = α ∂²T/∂x²其中，T是温度，t是时间，x是空间坐标，α是传热系数。
这个方程描述了温度随时间和空间变化的关系，可以帮助我们理解物体内部的温度分布情况。
4、解析解和数值解：探索温度变化的方法傅里叶热传导定律的导热微分方程是一个偏微分方程，可以通过解析解或数值解来获取温度的变化情况。
解析解适用于简单的几何形状和边界条件，而数值解则可以应用于更为复杂的情况。
5、实际应用：傅里叶热传导定律的物理意义傅里叶热传导定律的物理意义是描述热量如何在物体内部传递和分布的过程。
通过研究傅里叶热传导定律，我们可以探索不同物质和结构的热传导行为，进而优化材料的热性能、设计更高效的散热系统。
6、个人观点和理解：热传导与现代科技的关系热传导作为能量传递的重要方式之一，在现代科技发展中扮演着重要角色。
通过研究傅里叶热传导定律，我们可以更好地理解材料的热传导行为，从而开发出更高效的散热材料和散热系统，提高设备的效能，推动科技的发展。
7、总结回顾：深入理解热传导的奥秘在本文中，我们深入探讨了傅里叶热传导定律导热微分方程，从基础知识到实际应用，对热传导现象进行了全面评估。
傅里叶热传导定律导热微分方程可以帮助我们理解温度传导的机制和规律，为现代科技的发展提供了重要的理论支持，同时也为我们研究和优化热传导过程提供了有效工具。
热传导与热扩散
热传导与热扩散热是一个物体内部分子运动引起的微观热量的传递方式。
在自然界中，任何两个存在温度差异的物体之间都会发生热传导或热扩散，这是一个不可避免的物理现象。
热传导是热量通过物质的直接接触和分子间的相互作用传播的过程，而热扩散则是热量通过固体、液体或气体媒介传播的过程。
下面将对热传导和热扩散进行详细探讨。
一、热传导热传导是指热能通过物质内部分子间相互碰撞传递的方式。
在这个过程中，高温区域的分子会以高速运动碰撞低温区域的分子，从而使得热量在物质内部传导。
热传导的过程可以通过材料的导热系数来衡量，导热系数越大，材料的导热性能越好。
对于固体热传导来说，高导热性能的材料通常是晶体结构，如金属。
金属的高热导率可以归因于金属中自由电子的运动，它们可以很容易地传递热能。
与此相比，非金属固体的导热性能相对较低，因为它们的能带结构和分子结构会对传热产生阻碍。
液体和气体的热传导主要通过分子的扩散和对流传能。
对于液体来说，热能的传导主要是通过分子之间的相互扩散完成的。
液体的扩散速率通常比固体慢，这是由于液体的分子结构更加松散，分子之间的相互作用相对较弱。
而在气体中，热传导的方式主要还是靠分子的扩散传递。
由于气体的分子间距相对较大，相较于液体和固体，气体的热传导性能较差。
二、热扩散热扩散是一种由于温度差异而引起的物质内部热量传播方式。
不同于热传导，热扩散是通过媒介或介质来完成的。
在热扩散过程中，热能会沿着媒介中的分子或粒子传播，直到达到热平衡。
对于固体、液体和气体媒介，热扩散的速率主要依赖于媒介的导热系数、密度和温度差异。
导热系数越大，热扩散的速率越快。
此外，密度的变化也会对热扩散产生影响，密度越大，热扩散的速率越慢。
热扩散在实际应用中有着广泛的应用。
比如，人们利用热扩散原理制造了暖气设备。
暖气设备中的热水或蒸汽通过热扩散传递热量到空气中，从而使得室内温度升高。
此外，热扩散也被广泛应用于热交换器、传感器等领域。
总结：在自然界中，热的传导和扩散是物质之间温度差异引起的热量传递方式。
固体中的热传导
因此，研究固体中的导热传热，特别是导热热量 传输率及对工件固相中的温度分布形式的定量描述， 对于掌握传热过程的分析原理及认识传热现象的内在 规律都具有重要意义。
15
8.2 导热微分方程及传热边界条件
Energy Equation for Conduction and Boundary Conditions in Heat Transfer
22
柱坐标及球坐标
Cylindrical and Spherical Coordinates
圆柱坐标: T ( 2T 1 T 1 2T 2T )
t
r 2 r r r 2 Q2 z 2
球坐标:
T t
[1
r
r 2
(rT )
1
r 2 sin
(sin
T )
1
r 2 sin 2
2T Q2 ]
(1)式还表明物质中某点P处最大导热热流的方向为P所在等 温面的法线方向。
3
由(1)还可知：
qy
/
T y
即导热系数(thermal conductivity)在数值上等于物质中 在单位温度梯度下产生的热流密度。
在一定范围内，可以认为固体导热系数是温度的线性 关系。
λ=a+bT a－温度为0℃时的导热系数 b－取决于物体本身的系数
General Differential Equation for Conduction
在以纯导热方式传热的三 维物系中任意一点P处，取一 边长各为x, y, z的矩形 六面微元体，如图示：
V= xy z 设：①固体的导热系数λ，密 度p,比热cp（均为常数，各向 同性）；
②体系中无热源 微元体与环境的导热热流见图
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8.2 导热微分方程及传热边界条件
Energy Equation for Conduction and Boundary Conditions in Heat Transfer
22
柱坐标及球坐标
Cylindrical and Spherical Coordinates
圆柱坐标: T ( 2T 1 T 1 2T 2T )
t
r 2 r r r 2 Q2 z 2
球坐标:
T t
[1
r
r 2
(rT )
1
r 2 sin
(sin
T )
1
r 2 sin 2
2T Q2 ]
(1)式还表明物质中某点P处最大导热热流的方向为P所在等 温面的法线方向。
3
由(1)还可知：
qy
/
T y
即导热系数(thermal conductivity)在数值上等于物质中 在单位温度梯度下产生的热流密度。
在一定范围内，可以认为固体导热系数是温度的线性 关系。
λ=a+bT a－温度为0℃时的导热系数 b－取决于物体本身的系数
General Differential Equation for Conduction
在以纯导热方式传热的三 维物系中任意一点P处，取一 边长各为x, y, z的矩形 六面微元体，如图示：
V= xy z 设：①固体的导热系数λ，密 度p,比热cp（均为常数，各向 同性）；
②体系中无热源 微元体与环境的导热热流见图
热传导方程(扩散方程)ppt课件
( x ,t0) ( x )
波方程的Cauchy问题
由泛定方程和相应边界条件构成的定解问题称为 边值问题。
u0, (x,y),
u f (x, y).
Laplace方程的边值问题
由偏微分方程和相应的初始条件及边界条件构成 的定解问题称为混合问题。
uutt0a2(u(xxx,y,uzy)yuzz)0
kn|x0k(x) qnq0
u x
|xl
q0 k
u x |x0
q0 k
xl
若端点是绝热的，则
u u x|xl x x0 0
三、定解问题
定义1 在区域 G[0,) 上，由偏微分方程、初 始条件和边界条件中的其中之一组成的定解问题称为 初边值问题或混合问题。
u ut x,a 02 u xx (x 0),,
注 1、热传导方程不仅仅描述热传导现象，也可以
刻画分子、气体的扩散等，也称扩散方程；
2、上述边界条件形式上与波动方程的边界条件 一样，但表示的物理意义不一样；
3、热传导方程的初始条件只有一个，而波动方 程有两个初始条件。
4、除了三维热传导方程外，物理上，温度的分 布在同一个界面上是相同的，可得一维热传导方
gk1 k
u1.
注意第三边界条件的推导：
研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题
把一个温度变化规律为 u(x, y, z, t)的物体放入 空
气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温度
为 u1(x, y, z, t)，它与物体表面的温度u(x, y, z, t)并不
相同。这给出了第三边界条件的提法。
或
u knk1(uu1).
即得到（1.10）： ( u nu)|(x,y,z) g(x,y,z,t).
热传导方程傅里叶解
热传导方程傅里叶解热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达：其中：u =u(t, x, y, z) 表温度，它是时间变量t 与空间变量(x,y,z) 的函数。
/是空间中一点的温度对时间的变化率。
, 与温度对三个空间座标轴的二次导数。
k决定于材料的热传导率、密度与热容。
热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）。
如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定u 的边界条件。
如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。
热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。
一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。
因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。
热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。
利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式其中的是对空间变量的拉普拉斯算子。
热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作电位。
热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与Ornstein-Uhlenbeck 过程。
热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。
量子力学中的薛定谔方程虽然有类似热方程的数学式（但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。
就技术上来说，热方程违背狭义相对论，因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。
扰动在前方光锥外的影响通常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。
以傅里叶级数解热方程[编辑]以下解法首先由约瑟夫·傅里叶在他于1822年出版的著作Théorie analytique de la chaleur（中译：解析热学）给出。
先考虑只有一个空间变量的热方程，这可以当作棍子的热传导之模型。
方程如下：其中u = u(t, x) 是t和x的双变量函数。
数学物理方法课件：08第8章 热传导方程的傅里叶解
产生，u( x, t)
t
( x, t; )d
0
Tn (t ) sin
n1
n
l
x
,
Tn(t)
t 0
d
fn (
) e xp[
n2
l2
2
a2(t
)]
a)2
(2)
本征问题
X X (0)
X X
(l
0 )
0
Xn( x) cos(kn x) (n 0)
(3) 按本征函数展开 ( x, t) Tn(t)cos(kn x) n1
( x,0) ~( x)
~n
2 l
l 0
cos(kn
x)~(
x
)
dx
t a2 x x
~f Tn nTn
y dy, z, t )dxdz dt
通过前后表面流入的净热量
dQT
dQT
k[
u ( x, y
y, z,t)
u ( x, y
y dy, z, t )]dxdz dt
k uy y dxdydz dt
➢ 热传导方程的导出
R
dt 时间内体积元积累的总热量
TS
dQ dQin F (r , t)dxdydzdt
这股热量使体积元温度升高
u
u(r , t
dt)
u(r , t)
u
ut
dt
dQin
F (r , t)dxdydzdt
C dxdydz
ut a2 (ux x uy y uz z ) f
a2 k , f F
C
C
• 热传导的泛定方程 ut a2 2u f 类似的推导：三维弹性体的振动 ut t a2 2u f 二维热传导：ut a2 (ux x uy y ) f ( x, y, t) 一维热传导：ut a2ux x f ( x, t) 实例：侧面绝热的细杆
傅里叶热传导
傅里叶热传导
傅里叶热传导是指热量在物体内部传递的过程。
这个过程是由物体内部的分子之间的相互作用引起的。
傅里叶热传导是一种非常重要的物理现象，它在许多领域都有着广泛的应用，如工业、医学、环境保护等。
傅里叶热传导的基本原理是热量的传递是由物体内部的分子之间的相互作用引起的。
当物体的一部分受到热源的加热时，这部分的分子就会开始振动，这种振动会传递到周围的分子中，从而使整个物体的温度升高。
这个过程是由分子之间的相互作用引起的，这种相互作用可以是分子之间的碰撞，也可以是分子之间的电磁相互作用。
傅里叶热传导的数学描述是由法国数学家傅里叶提出的。
他发现，热量的传递速度与物体的热导率、温度梯度和物体的几何形状有关。
他还发现，热量的传递速度与频率有关，这就是傅里叶热传导的名字的由来。
傅里叶热传导在工业中有着广泛的应用。
例如，在制造半导体器件时，需要将材料加热到高温，然后快速冷却，这就需要对傅里叶热传导进行精确的控制。
在医学中，傅里叶热传导被用于治疗癌症和其他疾病。
在环境保护中，傅里叶热传导被用于处理废水和废气。
傅里叶热传导是一种非常重要的物理现象，它在许多领域都有着广泛的应用。
我们需要深入研究傅里叶热传导的原理和应用，以便更
好地利用它来解决实际问题。
傅里叶热传导定律公式
傅里叶热传导定律公式傅里叶热传导定律公式，这可是物理学中一个相当重要的家伙！咱先来说说啥是傅里叶热传导定律。
简单来讲，它就是描述热量在物质中传递的规律。
这个公式呢，就像一个神奇的密码，能帮我们解开热传递的秘密。
傅里叶热传导定律公式表示为：$q = -k \cdot \frac{dT}{dx}$ 。
这里的“q”表示热流密度，也就是单位时间内通过单位面积的热量；“k”是热导率，不同的材料热导率可不一样哦；“dT/dx”则是温度梯度。
想象一下，冬天的时候，你从温暖的室内走到寒冷的室外。
一出门，立马就能感觉到那股寒意，这其实就是热在传导。
室内外有温度差，就形成了温度梯度。
而墙壁、门窗这些东西，它们的材料就决定了热导率“k”的值。
我还记得有一次，我在家里做一个小实验。
那时候正好是冬天，我想看看不同材质的杯子对热水保温效果的差别。
我找来了陶瓷杯、玻璃杯和不锈钢杯，都装满同样温度的热水。
过了一段时间去测量，发现水温变化差别还挺大。
陶瓷杯里的水凉得相对慢一些，不锈钢杯里的水凉得最快。
这其实就和傅里叶热传导定律有关系。
陶瓷的热导率相对较低，热量不容易传递出去；不锈钢的热导率高，热流密度大，热量就很快散失了。
在工业生产中，傅里叶热传导定律也大有用处。
比如制造散热器，工程师们就得好好考虑材料的热导率和结构设计，让热量能高效地散发出去，保证设备正常运行，不至于因为过热而出故障。
再比如说，在建筑设计里，要考虑房屋的保温性能。
北方的房子在冬天得保暖，南方的房子在夏天得隔热。
这都得根据当地的气候条件，选择合适的建筑材料，计算好热传导的情况，让咱们住得舒适又节能。
学习傅里叶热传导定律公式，不仅仅是为了应付考试，更是为了能理解生活中的种种现象，解决实际问题。
它就像一把钥匙，能打开热学世界的大门，让我们看到热量传递背后的奇妙规律。
所以啊，同学们可别小看这个公式，它虽然看起来有点复杂，但只要用心去理解，就能发现它的魅力所在，说不定还能激发你们对物理学的浓厚兴趣呢！。
傅里叶与热传导
傅里叶与热传导
傅里叶是一位法国数学家和物理学家，他在19世纪初期提出了一种热传导的数学模型，被称为傅里叶热传导方程。
这个方程在热传导领域中有着广泛的应用，可以用来描述物体内部的温度分布和热量传递的过程。
热传导是指物体内部热量的传递过程，它是由于温度差异而产生的。
当一个物体的一部分温度高于另一部分时，热量会从高温区域流向低温区域，直到整个物体达到热平衡。
这个过程可以用傅里叶热传导方程来描述。
傅里叶热传导方程是一个偏微分方程，它描述了物体内部温度分布随时间的变化。
这个方程的形式比较复杂，但是可以通过数值方法来求解。
通过求解傅里叶热传导方程，可以得到物体内部温度分布的详细信息，这对于热传导领域的研究和应用非常重要。
傅里叶热传导方程的应用非常广泛，例如在工业生产中，可以用它来优化加热和冷却过程，提高生产效率和产品质量。
在建筑工程中，可以用它来设计建筑物的保温材料和空调系统，提高建筑物的能源利用效率。
在科学研究中，可以用它来研究地球内部的热传导过程，了解地球的内部结构和演化历史。
傅里叶热传导方程是热传导领域中非常重要的数学模型，它的应用范围非常广泛，对于提高生产效率、节能减排、科学研究等方面都
有着重要的作用。
热传导方程(扩散方程)
u q0 k n x=l处： u
n
x
n
若端点是绝热的，则
u u |xl x x
0
x 0
三、定解问题 定义1 在区域 G [0, ) 上，由偏微分方程、初 始条件和边界条件中的其中之一组成的定解问题称为 初边值问题或混合问题。
ut a 2 uxx 0, u x ,0 ( x ), u o, t 1 ( t ), 0 x l , t 0, 0 x l , t 0, ux l , t hu l , t 2 (t ), t 0, h 0.
内温度变化所需要的热量 Q =通过曲面 S 流入 内的热量 Q1+热源提供的热量 Q2
下面分别计算这些热量
（1） 内温度变化所需要的能量 Q 设物体 G 的比热（单位质量的物体温度改变 1 C 所需要的热量为c c( x , y , z ), 密度为 ( x , y , z ), 那么包含点 ( x , y , z )的体积微元 dV的温度从 u( x , y , z , t1 ) 变为 u( x, y, z , t 2 ) 所需要的热量为
(1.6)
通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6） 为齐次热传导方程。
二、定解条件（初始条件和边界条件）
初始条件：
u( x , t ) ( x , y , z ), ( x , y, z ) G , t 0 : (1.7)
边界条件：( G )
1、第一边界条件（ Dirichlet 边界条件）
u f x , y , z
或者 2u f x, y, z .
拉普拉斯方程和泊松方程不仅描述稳定状态下温 度的分布规律，而且也描述稳定的浓度分布及静 电场的电位分布等物理现象。
热传导和扩散问题的傅里叶解
即
于是
，即 .
得到本征值：
相应的本征函数是：
第四步,求特解，并进一步叠加出一般解：
对于每一个本征值 ，解（8-2.5）式得出相应的 :
.
得到了满足偏微分方程和边界条件的特解:
.
得到方程的一般解为
（8-2.7）
第五步,利用本征函数的正交性确定叠加系数：
现在根据初始条件中的已知函数 定出叠加系数 ，将上面的一般解代入初始条件，并利用本征函数 的正交性得到系数为
（8-2.8）
公式（8-2.7）给出了均匀细杆上温度场的分布，表明温度场随时间做指数衰减。
第三节 初值问题的傅里叶解
8.3.1 利用傅里叶积分求出热传导的初值问题
对于无穷长一维介质上的热传导问题，可以表示为
解：令
代入泛定方程（8-3.1），得到两个常微分方程：
（8-3.3）
（8-3.4）
解式（8-3.3）得到：
（8-3.5）
由公式（8-3.5）可以看出：当 时，温度随时间的变化将趋于无穷大，这与物理事实不符，因此， ，令 。（8-3.3）和（8-3.4）的解为与 有关系的一系列解，记为
（8-3.6）
解式（8-3.4）得到：
于是得到热传导的一系列解为
（8-3.7）
由于这里的 没有边界条件的限制，所以为任意实数值。则 的一般解为公式（8-3.7）对所有 值对应解的叠加，由于 为连续实数，因此， 的一般解为公式（8-3.7）对 从 到 进行积分。即
第一步，定变量。研究介质x位置处在t时刻的温度 。
第二步，取局部。在介质内部隔离出从x到 一段微元长度，在t到 时间内温度的变化 。
第三步，立假设。假设均匀介质的横截面积为A，质量密度为 ，比热为c，热传导系数为k。
于是
，即 .
得到本征值：
相应的本征函数是：
第四步,求特解，并进一步叠加出一般解：
对于每一个本征值 ，解（8-2.5）式得出相应的 :
.
得到了满足偏微分方程和边界条件的特解:
.
得到方程的一般解为
（8-2.7）
第五步,利用本征函数的正交性确定叠加系数：
现在根据初始条件中的已知函数 定出叠加系数 ，将上面的一般解代入初始条件，并利用本征函数 的正交性得到系数为
（8-2.8）
公式（8-2.7）给出了均匀细杆上温度场的分布，表明温度场随时间做指数衰减。
第三节 初值问题的傅里叶解
8.3.1 利用傅里叶积分求出热传导的初值问题
对于无穷长一维介质上的热传导问题，可以表示为
解：令
代入泛定方程（8-3.1），得到两个常微分方程：
（8-3.3）
（8-3.4）
解式（8-3.3）得到：
（8-3.5）
由公式（8-3.5）可以看出：当 时，温度随时间的变化将趋于无穷大，这与物理事实不符，因此， ，令 。（8-3.3）和（8-3.4）的解为与 有关系的一系列解，记为
（8-3.6）
解式（8-3.4）得到：
于是得到热传导的一系列解为
（8-3.7）
由于这里的 没有边界条件的限制，所以为任意实数值。则 的一般解为公式（8-3.7）对所有 值对应解的叠加，由于 为连续实数，因此， 的一般解为公式（8-3.7）对 从 到 进行积分。即
第一步，定变量。研究介质x位置处在t时刻的温度 。
第二步，取局部。在介质内部隔离出从x到 一段微元长度，在t到 时间内温度的变化 。
第三步，立假设。假设均匀介质的横截面积为A，质量密度为 ，比热为c，热传导系数为k。
热力学热传导与热扩散
热力学热传导与热扩散热力学热传导与热扩散是热学中非常重要的两个概念。
热力学热传导指的是热量在物体内部的传递过程，而热扩散则是指物体内部温度分布的变化。
本文将探讨这两个概念，并介绍它们的基本原理和应用。
一、热力学热传导热力学热传导是热学中的基本概念之一，它描述了热量在物体内部的传递方式。
根据热力学第一定律，热量是能量的一种形式，可以从高温区域向低温区域传递。
而热传导是指热量通过相邻分子之间的碰撞与传递。
在没有外界干扰的情况下，热传导的过程是自发的，保证了热量的平衡分布。
热传导的速率可以用热传导方程来描述，该方程是根据傅里叶定律得出的。
热传导方程的一般形式如下：q = -kA(dT/dx)其中，q表示热传导速率，k表示物质的热导率，A表示传热的面积，dT/dx表示温度梯度。
可以看出，温度梯度越大，传热速率越快。
而热导率则代表了物质对热传导的导热能力，不同物质的导热能力也有所差异。
二、热扩散热扩散是指物体内部温度分布的变化。
当物体内某一区域的温度高于其他区域时，热量将自发地从高温区域扩散到低温区域，直至达到热平衡。
热扩散过程中，热量会从物体的热源处流向周围，达到温度均匀分布的状态。
热扩散的速率可以用热扩散方程来描述，该方程是描述物体内部温度与时间演化关系的重要方程。
热扩散方程的一般形式如下：∂T/∂t = α∇²T其中，∂T/∂t表示温度随时间的变化率，∇²T表示温度的拉普拉斯算子，α表示热扩散率。
可以看出，热扩散率越大，温度变化越快。
热扩散在现实生活中有许多应用，例如在材料科学中，热扩散的性质是制造材料的重要指标。
了解材料的热扩散性质可以帮助我们选择合适的材料用于不同的工程和应用。
同时，在工程领域中，如建筑、电子设备等的散热问题中，也需要对热扩散进行合理的控制和优化。
三、热力学热传导与热扩散的关系热力学热传导与热扩散有着密切的关系。
热传导的过程是热扩散的基础，而热扩散则是热传导的结果。
热传导和扩散问题的傅里叶解
第一步，定变量。研究介质x位置处在t时刻的温度 。
第二步，取局部。在介质内部隔离出从x到 一段微元长度，在t到 时间内温度的变化 。
第三步，立假设。假设均匀介质的横截面积为A，质量密度为 ，比热为c，热传导系数为k。
第四步，找规律。隔离出来的微元长度在t到 时间内吸收的热量为：
（）
在t到 时间内，同过x位置处的横截面的热量为：
（）
在t到 时间内，同过 位置处的横截面的热量为：
（）
如果在微元段内有其他的热源，假设在单位时间单位体积内产生的热量为 ，则该热源在微元内产生的热量为：
（）
第五步，列方程。根据能量守恒定律，净流入的热量应该等于介质在此时间内温度升高所需要ห้องสมุดไป่ตู้热量。
即
得到：
令
，
则得到热传导方程为
（）
当介质内部无其他热源时，热传导方程是齐次的，为
把第二项积分变量和区间变为0- ，则
（2）当半边界为第二类齐次边界条件时，把半无限问题扩展为无限问题为：
则其解为
把第二项积分变量和区间变为0- ，则
非齐次偏微分方程的求解
齐次偏微分方程和齐次边界条件在分离法中起着关键的作用：因为方程和边界条件是齐次的，分离变量法才得以实现。如果定解问题中的方程和边界条件不是齐次的，还有没有可能应用分离变量法呢
于是得到热传导的一系列解为
（）
由于这里的 没有边界条件的限制，所以为任意实数值。则 的一般解为公式（）对所有 值对应解的叠加，由于 为连续实数，因此， 的一般解为公式（）对 从 到 进行积分。即
（）
把初始条件代入上式得到：
（）
得出：
（）
把公式（）带入公式（）得到：
（）
第二步，取局部。在介质内部隔离出从x到 一段微元长度，在t到 时间内温度的变化 。
第三步，立假设。假设均匀介质的横截面积为A，质量密度为 ，比热为c，热传导系数为k。
第四步，找规律。隔离出来的微元长度在t到 时间内吸收的热量为：
（）
在t到 时间内，同过x位置处的横截面的热量为：
（）
在t到 时间内，同过 位置处的横截面的热量为：
（）
如果在微元段内有其他的热源，假设在单位时间单位体积内产生的热量为 ，则该热源在微元内产生的热量为：
（）
第五步，列方程。根据能量守恒定律，净流入的热量应该等于介质在此时间内温度升高所需要ห้องสมุดไป่ตู้热量。
即
得到：
令
，
则得到热传导方程为
（）
当介质内部无其他热源时，热传导方程是齐次的，为
把第二项积分变量和区间变为0- ，则
（2）当半边界为第二类齐次边界条件时，把半无限问题扩展为无限问题为：
则其解为
把第二项积分变量和区间变为0- ，则
非齐次偏微分方程的求解
齐次偏微分方程和齐次边界条件在分离法中起着关键的作用：因为方程和边界条件是齐次的，分离变量法才得以实现。如果定解问题中的方程和边界条件不是齐次的，还有没有可能应用分离变量法呢
于是得到热传导的一系列解为
（）
由于这里的 没有边界条件的限制，所以为任意实数值。则 的一般解为公式（）对所有 值对应解的叠加，由于 为连续实数，因此， 的一般解为公式（）对 从 到 进行积分。即
（）
把初始条件代入上式得到：
（）
得出：
（）
把公式（）带入公式（）得到：
（）
第八章 固体中的热传导Chapter 8 Conduction of Heat in Solids
同性）；
②体系中无热源
微元体与环境的导热热流见 图
实用文档
18
对于三维不稳定导热热能守恒， ()式可写成：
Q =[Qin- Qout ]x + [Qin- Qout ]y + [Qin- Qout ]z 其中：
1、增量Q =xyz[(pCpT)t+ t－(pCpT)t]
2、x方向传入、传出热量的净差值：（入为正，出为负） [Qin- Qout ]x = yzt (qx- qx+ x)
当稳定导热(Steady State Conduction)时:
2T 2T 2T x2 y2 z2 0
带热源的方程（见书上P146： 8-11, 8-13, 8-14）条件
Three Types of Boundary Conditions
应用(1)式或(2)定量描述导热物体温度场分布时，还 需要具体的问题“初始条件”：如T0=f (t=0, x, y, z) (I. C.)和“边界条件”(B.C.)，才能构成对具体导热问 题定解方程组。
一、稳定导热方程(Steady State Equation for Conduction)
在稳定导热情况下，导热物体内部的温度场不随
时间变化，即：T=T (x, y, z)。
此时物体内部任意一点均有
T t
0
，也就是说在稳
定导热物体中任何位置都没有热能的积蓄(此时，由()
式知：导入某体系的热能量与导出的热量相等)。
积分上式：
dT dx
C1
∫dT= ∫ C1dx T=C1x+C2
代入边界条件，得平壁内温度分布表达式：
T1= C2 T2=C1 δ+ C2
C1
②体系中无热源
微元体与环境的导热热流见 图
实用文档
18
对于三维不稳定导热热能守恒， ()式可写成：
Q =[Qin- Qout ]x + [Qin- Qout ]y + [Qin- Qout ]z 其中：
1、增量Q =xyz[(pCpT)t+ t－(pCpT)t]
2、x方向传入、传出热量的净差值：（入为正，出为负） [Qin- Qout ]x = yzt (qx- qx+ x)
当稳定导热(Steady State Conduction)时:
2T 2T 2T x2 y2 z2 0
带热源的方程（见书上P146： 8-11, 8-13, 8-14）条件
Three Types of Boundary Conditions
应用(1)式或(2)定量描述导热物体温度场分布时，还 需要具体的问题“初始条件”：如T0=f (t=0, x, y, z) (I. C.)和“边界条件”(B.C.)，才能构成对具体导热问 题定解方程组。
一、稳定导热方程(Steady State Equation for Conduction)
在稳定导热情况下，导热物体内部的温度场不随
时间变化，即：T=T (x, y, z)。
此时物体内部任意一点均有
T t
0
，也就是说在稳
定导热物体中任何位置都没有热能的积蓄(此时，由()
式知：导入某体系的热能量与导出的热量相等)。
积分上式：
dT dx
C1
∫dT= ∫ C1dx T=C1x+C2
代入边界条件，得平壁内温度分布表达式：
T1= C2 T2=C1 δ+ C2
C1
傅里叶热传导定律
傅里叶热传导定律傅立叶定律是法国著名科学家傅里叶在1822年提出的一条热力学定律。
该定律指在导热过程中，单位时间内通过给定截面的导热量，正比于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。
定律简介热传导定律也称为傅里叶定律，表明单位时间内通过给定截面的热量，正比例于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。
我们可以用两种等效的形式来表述这个定律：整体形式以及差分形式。
牛顿的冷却定律是傅立叶定律的离散推广，而欧姆定律则是傅立叶定律的电学推广。
热传导固体中的热传导是源于晶格振动形式的原子活动（声子）。
近代的观点把这种能量传输归因于原子运动导致的晶格波造成的。
在非导体中，能量传输只依靠晶格波进行；在导体中（比如银、铁），除了晶格波还有自由电子的平移运动。
用来衡量不同物体导热能力的物理量就是热导率k (W·m-1·K-1 )。
数学表达式【英译】：Fourier's Law【中文】：傅立叶定律傅立叶定律是传热学中的一个基本定律，由法国著名科学家傅里叶于1822年提出。
傅里叶定律的文字表述：在导热现象中，单位时间内通过给定截面的热量，正比例于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。
傅里叶定律用热流密度J T 表示时形式如下：可以用来计算热量的传导量。
其中热流密度J T (W·m-2) 是在与传输方向相垂直的单位面积上，在x方向上的传热速率。
它与该方向上的温度梯度d T/d x成正比。
比例常数κ是一个输运特性，称为热导率（也称为导热系数），单位是(W·m-1·K-1)。
也可以表述如下：其中d Q/d t (Q上一点) 为导热速率（或记为I T），单位为W.A 为传热面积，单位为m2T 为温度，单位为Kx 为在导热面上的坐标，单位为m一般形式的数学表达式：式中：J T 是在r方向上的热流密度，它垂直于等温表面。
热传导和导热系数的计算方法
热传导和导热系数的计算方法热传导是指热量在物体内部由高温区向低温区传递的过程，其本质是物体内部粒子（如电子、原子、分子）的振动和碰撞引起的能量传递。
热传导的计算方法主要包括傅里叶定律、导热系数的概念及其计算方法。
1.傅里叶定律傅里叶定律是热传导的基本定律，表述为：物体内部的热流密度q与温度梯度dT/dx之间存在以下关系：[ q = -k ]其中，q表示热流密度，单位为瓦特每平方米（W/m^2）；k表示导热系数，单位为瓦特每米·开尔文（W/m·K）；dT/dx表示温度梯度，单位为开尔文每米（K/m）。
2.导热系数导热系数是描述材料导热性能的一个物理量，定义为：在稳态热传导条件下，1米厚的物体，在两侧表面温差为1开尔文时，单位时间内通过单位面积的热量。
导热系数用符号k表示，其单位为瓦特每米·开尔文（W/m·K）。
导热系数的计算方法主要有：（1）实验测定：通过实验方法，如热线法、热板法等，测定材料的导热系数。
（2）理论计算：根据材料的微观结构和组成，运用热力学和物理学原理，计算导热系数。
例如，对于均匀多晶材料，导热系数可通过以下公式计算：[ k = ( k_1 + k_2 + k_3 ) ]其中，k1、k2、k3分别为材料三个方向上的导热系数。
3.热传导的计算方法热传导的计算方法主要包括以下步骤：（1）建立热传导模型：根据实际问题，假设物体为均匀、各向同性或各向异性，简化模型以便于计算。
（2）确定边界条件和初始条件：如物体表面的温度、热流密度等。
（3）选择合适的数学方法求解：如有限差分法、有限元法、解析法等。
（4）分析结果：根据计算得到的温度分布、热流密度等，分析问题的热传导特性。
总之，热传导和导热系数的计算方法是热力学和物理学中的重要知识点，掌握这些方法有助于我们更好地理解和解决实际中的热传导问题。
习题及方法：1.习题：一长方体铜块的尺寸为2m×1m×0.5m，左表面温度为100℃，右表面温度为0℃。
热传导方程(扩散方程)ppt课件
泛定方程和相应初始条件构成的定解问题称为初值 问题或者柯西(Cauchy)问题。
22
波方程的Cauchy问题
由泛定方程和相应边界条件构成的定解问题称为 边值问题。
Laplace方程的边值问题
23
由偏微分方程和相应的初始条件及边界条件构成 的定解问题称为混合问题。
热传导方程的混合问题
24
例 设弦的两端固定于x=0 和x=l，弦的初始位移 如下图，初速度为零，求弦满足的定解问题。 解：
改变为时刻 的温度
所吸收（或
放出）的热量，应等于从时刻 到时刻 这
段时间内通过曲面 流入（或流出） 内的
热量和热源提供（或吸收）的热量之和。即
内温度变化所需要的热量 =通过曲面 流入 内的热量 +热源提供的热量
下面分别计算这些热量 5
（1） 内温度变化所需要的能量
设物体 的比热（单位质量的物体温度改变
1、热量守恒定律:
温度变 化吸收 的热量
通过边 界流入 的热量
热源放 出的热 量
2、傅里叶（Fourier）热传导定律:
为热传导系数。 3、热量公式:
4
热传导方程的推导：
任取物体 内一个由光滑闭曲面 所围成的区 域 ，研究物体在该区域 内热量变化规律。
热量 守恒 定律
区域 内各点的温度从时刻 的温度
25
一个定解问题的适定性(Well-posedness)包含以 下几个方面： 1）解的存在性，即所提的定解问题是否有解；
2）解的唯一性，即所提的定解问题是否有唯一的 解； 3）解的稳定性，即看定解问题的解是否连续依赖 定解条件。也就是说，当定解条件有微小变动时， 引起解的变动是否足够小。若是，则称解是稳定的， 否则称解是不稳定的。
22
波方程的Cauchy问题
由泛定方程和相应边界条件构成的定解问题称为 边值问题。
Laplace方程的边值问题
23
由偏微分方程和相应的初始条件及边界条件构成 的定解问题称为混合问题。
热传导方程的混合问题
24
例 设弦的两端固定于x=0 和x=l，弦的初始位移 如下图，初速度为零，求弦满足的定解问题。 解：
改变为时刻 的温度
所吸收（或
放出）的热量，应等于从时刻 到时刻 这
段时间内通过曲面 流入（或流出） 内的
热量和热源提供（或吸收）的热量之和。即
内温度变化所需要的热量 =通过曲面 流入 内的热量 +热源提供的热量
下面分别计算这些热量 5
（1） 内温度变化所需要的能量
设物体 的比热（单位质量的物体温度改变
1、热量守恒定律:
温度变 化吸收 的热量
通过边 界流入 的热量
热源放 出的热 量
2、傅里叶（Fourier）热传导定律:
为热传导系数。 3、热量公式:
4
热传导方程的推导：
任取物体 内一个由光滑闭曲面 所围成的区 域 ，研究物体在该区域 内热量变化规律。
热量 守恒 定律
区域 内各点的温度从时刻 的温度
25
一个定解问题的适定性(Well-posedness)包含以 下几个方面： 1）解的存在性，即所提的定解问题是否有解；
2）解的唯一性，即所提的定解问题是否有唯一的 解； 3）解的稳定性，即看定解问题的解是否连续依赖 定解条件。也就是说，当定解条件有微小变动时， 引起解的变动是否足够小。若是，则称解是稳定的， 否则称解是不稳定的。
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第一步，定变量。研究介质x位置处在t时刻的温度 。
第二步，取局部。在介质内部隔离出从x到 一段微元长度，在t到 时间内温度的变化 。
第三步，立假设。假设均匀介质的横截面积为A，质量密度为 ，比热为c，热传导系数为k。
第四步，找规律。隔离出来的微元长度在t到 时间内吸收的热量为：
（8-1.2）
在t到 时间内，同过x位置处的横截面的热量为：
令
将此代入泛定方程（8-2.1），得到两个常微分方程：
（8-2.4）
（8-2.5）
第二步，将 原来的边界条件转化为 的边界条件。
将此 代入边界条件，得 的边界条件：
， （8-2.6）
第三步,求解本征值问题
通过讨论分析得出只有 时，方程（8-2.5）的解才有意义。因此， 时解（8-2.5）式得
.
将这个通解代入边界条件（8-2.6），就有
在第七章弦的振动问题中针对非齐次边界条件先要进行齐次化处理，才能用分离变量法已经进行了分析说明。
对于非齐次方程的解法在这里详加分析说明。
例如：强迫振动的定解问题：
该弦的振动位移可以认为是由三部分干扰引起的：第一部分是由初始位移 和初始速度 引起的振动；第二部分是由边界条件 干扰引起的振动；第三部分是由强迫力 干扰引起的振动。因此，求解上述问题强迫振动问题，可以转化为求解下面三个定解问题：
（8-4.13）
利用 ，得出
因此， 可以写为
（8-4.14）
方法2：把半无界拓展为无界
如何拓展？
先看无界热传导问题在坐标原点的温度分布具有什么样的特点。
由第三节可知，无界热传导问题的解为
在 点，有：
当 为奇函数时， 满足第一类齐次边界条件。
当 为偶函数时， 满足第二类齐次边界条件。
所以：
（1）当半边界为第一类齐次边界条件时，把半无限问题扩展为无限问题为：
第八章热传导方程的傅里叶解
第一节 热传导方程和扩散方程的建立
8.1.1 热传导方程的建立
推导热传导方程和前面弦振动所用的数学方法完全相用，不同之处在于具体的物理规律不同。这里用到的是热学方面的两个基本规律，即能量守恒和热传导的傅里叶实验定律。
热传导的傅里叶实验定律：设有一块连续的介质，选定一定的坐标系，并用 表示介质内空间坐标为的一点在t时刻的温度。若沿x方向有一定的温度差，在x方向也就一定有热量的传递。从宏观上看，单位时间内通过垂直x方向的单位面积的热量q与温度的沿x方向的空间变化率成正比，即
解式（8-4.4）得到：
（8-4.7）
由公式（8-4.7）可以看出：当 时，温度随时间的变化将趋于无穷大，这与物理事实不符，因此， ，令 。（8-4.4）和（8-4.5）的解为与 有关系的一系列解，记为
（8-4.8）
解式（8-4.5）得到：
把边界条件（8-4.6）代入上式得到： ，因此
于是得到热传导的一系列解为
则其解为
把第二项积分变量和区间变为0- ，则
（2）当半边界为第二类齐次边界条件时，把半无限问题扩展为无限问题为：
则其解为
把第二项积分变量和区间变为0- ，则
非齐次偏微分方程的求解
齐次偏微分方程和齐次边界条件在分离法中起着关键的作用：因为方程和边界条件是齐次的，分离变量法才得以实现。如果定解问题中的方程和边界条件不是齐次的，还有没有可能应用分离变量法呢？
基本解法二非齐次方程齐次化找出特解
令 ，保持原有的齐次边界条件不变，使得 满足：
则 满足常微分方程的边值问题：
该方法的关键在于找出特解 ，适用于 比较简单的情形。
第七章习题第11题、第14题为非齐次方程，其中的自由项比较简单，可以用该方法求解。
第七章第11题：
分析：由于方程（1）的非齐次项知识x的函数，就可以把特解函数也取为只是x的函数，即令
其中 满足：
（4）式的解两次积分很容易求出来。求出 后，再求 的定解问题：
基本方法三 冲量定理法
该方法的基本思路是将强迫振动问题转化为无穷多个自由振动的叠加，而每一个自由振动的初始位移和初始速度为前一个自由振动产生的位移和速度。
思路：将非齐次项 （单位质量所受的力或者强迫力引起的加速度）分解成无穷多个前后相继的瞬时力的叠加。 时刻的力 不会影动位移 满足：
（8-2.8）
公式（8-2.7）给出了均匀细杆上温度场的分布，表明温度场随时间做指数衰减。
第三节 初值问题的傅里叶解
8.3.1 利用傅里叶积分求出热传导的初值问题
对于无穷长一维介质上的热传导问题，可以表示为
解：令
代入泛定方程（8-3.1），得到两个常微分方程：
（8-3.3）
（8-3.4）
解式（8-3.3）得到：
:
:
:
设方程 的解为 ，方程 的解为 ，方程 的解为 ，则原定解问题的解为以上三个定解问题解的和，即
方程 直接用分离变量法求解；方程 为非齐次边界条件，先将边界条件齐次化后用分离变量法求解。
下面研究方程 的解法。
基本解法一 将未知解展开为本征函数法
该方法的前提条件是必须知道对应齐次方程的本征函数，第七章第四节“非齐次方程的求解”例题用该方法求解，但最后落脚点还是非齐次常微分方程，非齐次常微分方程的解法用冲量法（基本方法三）或积分变换法（拉普拉斯变换法或傅里叶变换法）。
（8-4.9）
由于这里的 没有边界条件的限制，所以为任意实数值。则 的一般解为公式（8-4.9）对所有 值对应解的叠加，由于 为连续实数，因此， 的一般解为公式（8-4.9）对 从 到 进行积分。即
（8-4.10）
把初始条件代入上式得到：
（8-4.11）
得出：
（8-4.12）
把公式（8-4.12）带入公式（8-4.10）得到：
（8-1.3）
在t到 时间内，同过 位置处的横截面的热量为：
（8-1.4）
如果在微元段内有其他的热源，假设在单位时间单位体积内产生的热量为 ，则该热源在微元内产生的热量为：
（8-1.5）
第五步，列方程。根据能量守恒定律，净流入的热量应该等于介质在此时间内温度升高所需要的热量。
即
得到：
令
，
则得到热传导方程为
由傅里叶实验定律可知，在单位时间内，端点x=l流出热量为：
由 ，就可以得出第三边界条件为
其中，k为热传导系数，h为热交换系数。
第二节 混合问题的傅里叶解
8.2.1 混合问题的解
对于有界杆的热传导问题，我们先考虑齐次方程和齐次边界条件下的混合问题。即：
第一步,分离变量，将二阶偏微分方程转化为两个常微分方程。
求解上述 的定解问题，然后对 按时间叠加后，持续强迫力 所产生的振动位移为：
对于热传导问题的非齐次方程，处理方法相同。
第八章习题解答
（8-3.5）
由公式（8-3.5）可以看出：当 时，温度随时间的变化将趋于无穷大，这与物理事实不符，因此， ，令 。（8-3.3）和（8-3.4）的解为与 有关系的一系列解，记为
（8-3.6）
解式（8-3.4）得到：
于是得到热传导的一系列解为
（8-3.7）
由于这里的 没有边界条件的限制，所以为任意实数值。则 的一般解为公式（8-3.7）对所有 值对应解的叠加，由于 为连续实数，因此， 的一般解为公式（8-3.7）对 从 到 进行积分。即
（8-1.6）
当介质内部无其他热源时，热传导方程是齐次的，为
（8-1.7）
8.1.2 扩散方程的建立
扩散问题研究的是杂质在其他介质中的浓度分布，得到的扩散方程与热传导方程有完全一样的形式。过程略。
8.1.3 热传导问题的定解条件
与弦的振动一样，其定解条件包括边界条件和初始条件。
初始条件为：已知初始时刻细杆上各点的温度分布
（8-3.8）
把初始条件代入上式得到：
（8-3.9）
其中傅里叶系数：
（8-3.10）
（8-3.11）
把公式（8-3.10）与（8-3.11）带入公式（8.3-9）得到：
（8-3.12）
利用 ，得出
因此， 可以写为
（8-3.12）
8.3.2热传导傅里叶解的物理意义
细杆上 位置的点热源在整个细杆上引起的温度分布为：
其边界条件有三种：
第一边界条件：已知细杆端点的温度 或者 。
第二边界条件：已知通过端点的热量，即已知端点的 。例如：当介质x=0端和外界绝热，此时 。
第三边界条件：例如，已知端点x=l与某种介质按热传导中的牛顿实验定律进行着热量交换，已知端点的温度为 ，与其接触的介质的温度为 ，有牛顿实验定律知道：在单位时间内由端点x=l流入介质的热量为
解（8-3.12）式可以看作是由各个瞬时点热源引起的温度分布的叠加。
第四节 一端有界的热传导问题
8.4.1左端有界热传导定解问题的解
方法1：直接用分离变量法求解。
解：令
将此代入泛定方程（8-4.1），得到两个常微分方程：
（8-4.4）
（8-4.5）
将此代入边界条件（8-4.2），得到：
（8-4.6）
即
于是
，即 .
得到本征值：
相应的本征函数是：
第四步,求特解，并进一步叠加出一般解：
对于每一个本征值 ，解（8-2.5）式得出相应的 :
.
得到了满足偏微分方程和边界条件的特解:
.
得到方程的一般解为
（8-2.7）
第五步,利用本征函数的正交性确定叠加系数：
现在根据初始条件中的已知函数 定出叠加系数 ，将上面的一般解代入初始条件，并利用本征函数 的正交性得到系数为
（8-1.1）
q称为热流密度，k称为导热系数。公式中的负号表示热流的方向和温度变化的方向正好相反，即热量由高温流向低温。
研究三维各向同性介质中的热传导，在介质中三个方向上存在温度差，则有
第二步，取局部。在介质内部隔离出从x到 一段微元长度，在t到 时间内温度的变化 。
第三步，立假设。假设均匀介质的横截面积为A，质量密度为 ，比热为c，热传导系数为k。
第四步，找规律。隔离出来的微元长度在t到 时间内吸收的热量为：
（8-1.2）
在t到 时间内，同过x位置处的横截面的热量为：
令
将此代入泛定方程（8-2.1），得到两个常微分方程：
（8-2.4）
（8-2.5）
第二步，将 原来的边界条件转化为 的边界条件。
将此 代入边界条件，得 的边界条件：
， （8-2.6）
第三步,求解本征值问题
通过讨论分析得出只有 时，方程（8-2.5）的解才有意义。因此， 时解（8-2.5）式得
.
将这个通解代入边界条件（8-2.6），就有
在第七章弦的振动问题中针对非齐次边界条件先要进行齐次化处理，才能用分离变量法已经进行了分析说明。
对于非齐次方程的解法在这里详加分析说明。
例如：强迫振动的定解问题：
该弦的振动位移可以认为是由三部分干扰引起的：第一部分是由初始位移 和初始速度 引起的振动；第二部分是由边界条件 干扰引起的振动；第三部分是由强迫力 干扰引起的振动。因此，求解上述问题强迫振动问题，可以转化为求解下面三个定解问题：
（8-4.13）
利用 ，得出
因此， 可以写为
（8-4.14）
方法2：把半无界拓展为无界
如何拓展？
先看无界热传导问题在坐标原点的温度分布具有什么样的特点。
由第三节可知，无界热传导问题的解为
在 点，有：
当 为奇函数时， 满足第一类齐次边界条件。
当 为偶函数时， 满足第二类齐次边界条件。
所以：
（1）当半边界为第一类齐次边界条件时，把半无限问题扩展为无限问题为：
第八章热传导方程的傅里叶解
第一节 热传导方程和扩散方程的建立
8.1.1 热传导方程的建立
推导热传导方程和前面弦振动所用的数学方法完全相用，不同之处在于具体的物理规律不同。这里用到的是热学方面的两个基本规律，即能量守恒和热传导的傅里叶实验定律。
热传导的傅里叶实验定律：设有一块连续的介质，选定一定的坐标系，并用 表示介质内空间坐标为的一点在t时刻的温度。若沿x方向有一定的温度差，在x方向也就一定有热量的传递。从宏观上看，单位时间内通过垂直x方向的单位面积的热量q与温度的沿x方向的空间变化率成正比，即
解式（8-4.4）得到：
（8-4.7）
由公式（8-4.7）可以看出：当 时，温度随时间的变化将趋于无穷大，这与物理事实不符，因此， ，令 。（8-4.4）和（8-4.5）的解为与 有关系的一系列解，记为
（8-4.8）
解式（8-4.5）得到：
把边界条件（8-4.6）代入上式得到： ，因此
于是得到热传导的一系列解为
则其解为
把第二项积分变量和区间变为0- ，则
（2）当半边界为第二类齐次边界条件时，把半无限问题扩展为无限问题为：
则其解为
把第二项积分变量和区间变为0- ，则
非齐次偏微分方程的求解
齐次偏微分方程和齐次边界条件在分离法中起着关键的作用：因为方程和边界条件是齐次的，分离变量法才得以实现。如果定解问题中的方程和边界条件不是齐次的，还有没有可能应用分离变量法呢？
基本解法二非齐次方程齐次化找出特解
令 ，保持原有的齐次边界条件不变，使得 满足：
则 满足常微分方程的边值问题：
该方法的关键在于找出特解 ，适用于 比较简单的情形。
第七章习题第11题、第14题为非齐次方程，其中的自由项比较简单，可以用该方法求解。
第七章第11题：
分析：由于方程（1）的非齐次项知识x的函数，就可以把特解函数也取为只是x的函数，即令
其中 满足：
（4）式的解两次积分很容易求出来。求出 后，再求 的定解问题：
基本方法三 冲量定理法
该方法的基本思路是将强迫振动问题转化为无穷多个自由振动的叠加，而每一个自由振动的初始位移和初始速度为前一个自由振动产生的位移和速度。
思路：将非齐次项 （单位质量所受的力或者强迫力引起的加速度）分解成无穷多个前后相继的瞬时力的叠加。 时刻的力 不会影动位移 满足：
（8-2.8）
公式（8-2.7）给出了均匀细杆上温度场的分布，表明温度场随时间做指数衰减。
第三节 初值问题的傅里叶解
8.3.1 利用傅里叶积分求出热传导的初值问题
对于无穷长一维介质上的热传导问题，可以表示为
解：令
代入泛定方程（8-3.1），得到两个常微分方程：
（8-3.3）
（8-3.4）
解式（8-3.3）得到：
:
:
:
设方程 的解为 ，方程 的解为 ，方程 的解为 ，则原定解问题的解为以上三个定解问题解的和，即
方程 直接用分离变量法求解；方程 为非齐次边界条件，先将边界条件齐次化后用分离变量法求解。
下面研究方程 的解法。
基本解法一 将未知解展开为本征函数法
该方法的前提条件是必须知道对应齐次方程的本征函数，第七章第四节“非齐次方程的求解”例题用该方法求解，但最后落脚点还是非齐次常微分方程，非齐次常微分方程的解法用冲量法（基本方法三）或积分变换法（拉普拉斯变换法或傅里叶变换法）。
（8-4.9）
由于这里的 没有边界条件的限制，所以为任意实数值。则 的一般解为公式（8-4.9）对所有 值对应解的叠加，由于 为连续实数，因此， 的一般解为公式（8-4.9）对 从 到 进行积分。即
（8-4.10）
把初始条件代入上式得到：
（8-4.11）
得出：
（8-4.12）
把公式（8-4.12）带入公式（8-4.10）得到：
（8-1.3）
在t到 时间内，同过 位置处的横截面的热量为：
（8-1.4）
如果在微元段内有其他的热源，假设在单位时间单位体积内产生的热量为 ，则该热源在微元内产生的热量为：
（8-1.5）
第五步，列方程。根据能量守恒定律，净流入的热量应该等于介质在此时间内温度升高所需要的热量。
即
得到：
令
，
则得到热传导方程为
由傅里叶实验定律可知，在单位时间内，端点x=l流出热量为：
由 ，就可以得出第三边界条件为
其中，k为热传导系数，h为热交换系数。
第二节 混合问题的傅里叶解
8.2.1 混合问题的解
对于有界杆的热传导问题，我们先考虑齐次方程和齐次边界条件下的混合问题。即：
第一步,分离变量，将二阶偏微分方程转化为两个常微分方程。
求解上述 的定解问题，然后对 按时间叠加后，持续强迫力 所产生的振动位移为：
对于热传导问题的非齐次方程，处理方法相同。
第八章习题解答
（8-3.5）
由公式（8-3.5）可以看出：当 时，温度随时间的变化将趋于无穷大，这与物理事实不符，因此， ，令 。（8-3.3）和（8-3.4）的解为与 有关系的一系列解，记为
（8-3.6）
解式（8-3.4）得到：
于是得到热传导的一系列解为
（8-3.7）
由于这里的 没有边界条件的限制，所以为任意实数值。则 的一般解为公式（8-3.7）对所有 值对应解的叠加，由于 为连续实数，因此， 的一般解为公式（8-3.7）对 从 到 进行积分。即
（8-1.6）
当介质内部无其他热源时，热传导方程是齐次的，为
（8-1.7）
8.1.2 扩散方程的建立
扩散问题研究的是杂质在其他介质中的浓度分布，得到的扩散方程与热传导方程有完全一样的形式。过程略。
8.1.3 热传导问题的定解条件
与弦的振动一样，其定解条件包括边界条件和初始条件。
初始条件为：已知初始时刻细杆上各点的温度分布
（8-3.8）
把初始条件代入上式得到：
（8-3.9）
其中傅里叶系数：
（8-3.10）
（8-3.11）
把公式（8-3.10）与（8-3.11）带入公式（8.3-9）得到：
（8-3.12）
利用 ，得出
因此， 可以写为
（8-3.12）
8.3.2热传导傅里叶解的物理意义
细杆上 位置的点热源在整个细杆上引起的温度分布为：
其边界条件有三种：
第一边界条件：已知细杆端点的温度 或者 。
第二边界条件：已知通过端点的热量，即已知端点的 。例如：当介质x=0端和外界绝热，此时 。
第三边界条件：例如，已知端点x=l与某种介质按热传导中的牛顿实验定律进行着热量交换，已知端点的温度为 ，与其接触的介质的温度为 ，有牛顿实验定律知道：在单位时间内由端点x=l流入介质的热量为
解（8-3.12）式可以看作是由各个瞬时点热源引起的温度分布的叠加。
第四节 一端有界的热传导问题
8.4.1左端有界热传导定解问题的解
方法1：直接用分离变量法求解。
解：令
将此代入泛定方程（8-4.1），得到两个常微分方程：
（8-4.4）
（8-4.5）
将此代入边界条件（8-4.2），得到：
（8-4.6）
即
于是
，即 .
得到本征值：
相应的本征函数是：
第四步,求特解，并进一步叠加出一般解：
对于每一个本征值 ，解（8-2.5）式得出相应的 :
.
得到了满足偏微分方程和边界条件的特解:
.
得到方程的一般解为
（8-2.7）
第五步,利用本征函数的正交性确定叠加系数：
现在根据初始条件中的已知函数 定出叠加系数 ，将上面的一般解代入初始条件，并利用本征函数 的正交性得到系数为
（8-1.1）
q称为热流密度，k称为导热系数。公式中的负号表示热流的方向和温度变化的方向正好相反，即热量由高温流向低温。
研究三维各向同性介质中的热传导，在介质中三个方向上存在温度差，则有