数学建模——最优控制

)

v
,
其中 g1(x(T))* 0,
g2
(x(T
)) *

0
vi 0,
vi g2i (x(T )) 0,
*
i 1,l2
30 H对最优控制取极小值.
H x*(t), u *(t), *(t), t min H (x*(t), u(t), *(t), t)
u(t )U ,tt0 ,T
A
B
u
x
x0
O
2. 最优控制的问题一般提法
前述例子是不同的实际问题，但它们有许多共同之处。归纳起来它们 都具有如下四个要素: ( 1 ) 受控对象的数学模型----状态方程
dx(t) f (x(t),u(t),t) x(t) Rn ,u(t) Rr，(1 r n), dt
x(t0 ) x0
1. 末态自由问题 最优控制问题为：
已知 状态方程和初始状态
x f (x, u , t)
x(t0 ) x0 目标集 S Rn
控制域 U 性能指标
T
J K (x(T ),T ) t0L(x, u, t)dt
求 容许控制 u * (t)使J为最小。
定理1 (末态自由问题)
设 u * (t是) 最优控制， x * (t是) 最优轨线，则必存在
X (T )
30 H对最优控制取极小值.
H x * (t), u * (t), * (t), t min H (x * (t), u(t), * (t), t) u(t )U ,tt0 ,T
40 在最优轨线上：
T H
H *(t) H *
当T自由时还有:
(T
)

t
H
其中 g1, g2分别为 l1, l2维向量函数l1 ，n.
容许控制: u(t ) U R r ,u(t) 是分段连续函数。
性能指标:
T
J (u) K ( x(T ), T ) L( x(t), u(t), t)dt
t0
求一容许控制
u(t) U,使系统由初始状态
X
出发，在某
0
时刻T t0 达到目标集 S ,并使性能指标 J ( u ) 达到最小值。
控制域 U 性能指标
T
J K (x(T ),T ) t0L(x, u, t)dt
求 容许控制 u * (t)使J为最小。
定理2 (末态受约束问题)
设 u * (t) 是最优控制，x * (t) 是最优轨线，则必存在
一向量函数 * (，t) 使得：
10 x *(t), *(t) 满足规范方程
F(x) ------鱼的自然增长率
u(t) ------ t 时刻的生产速率，
则鱼的数量x(t)的变化规律为：
dx(t) F(x) u(t) t [t0 ,T ] dt
x(t0 ) x0
( 11 ) ( 12 )
捕鱼率u(t)依赖捕鱼努力量E(t)和鱼的数量x(t)，
有如下关系：
u(t) rx(t)E(t)
dt t *
*(T )
0
2. 末态受约束问题 最优控制问题为：
已知 状态方程和初始状态
x f (x, u , t)
x(t0 ) x0 目标集 S {x | g1(x(T ),T ) 0, g2 (x(T ),T ) 0}
其中g1, g2分别为 l1, l2维向量函数l1 ，n.
单位时间单位产品的库存费用为b, 则t时刻单位时间的成本为：
L(t, x(t), u(t)) h(u(t)) bx(t)
故总成本为
T
J (u) t0L(t, x(t), u(t))dt
(4)
于是问题归结为：求满足条件(2)的生产速率u(t),使库存量满
足(3)，且使J(u)为最小.
例2 飞船的月球软着陆问题
1 最优控制问题实例
最优控制问题是从大量的实际问题中提炼出来 的。下面通过几个典型例子说明什么是最优控制。
例1 生产计划问题
某工厂制定从t0到T时间间隔的生产计划，即要 选择适当的生产速率，使得在时间[t0 , T]内，在保 证供应的前提下，花费的成本最低。
设 x(t) -----表示t时刻产品库存量， r(t) -----表示t时刻产品需求率， u(t) -----表示t时刻表示生产率， 则库存量满足方程
最优控制
一. 最优控制概论
• 最优控制是现代控制理论的重要组成部分. • 最优控制在空间技术、系统工程、经济管理与决策、人口控
制等许多领域得到了广泛的应用。 • 最优控制研究的中心问题是：如何选择控制规律才能使受控
系统的性能和品质在某种意义下为最优。 与最优化相比，最优控制又称为无穷维最优化或动态最优化。 其实质是一种泛函的极值问题。
( 10 )
于是问题归结为：
在满足约束条件 （6）-----（ 10 ）下，求 u ( t ), 使J ( u ) 为最大。
例3. 捕鱼问题
某渔业公司从事捕鱼生产。渔业公司希望获得最大 利润，而管理部门要求不得破坏鱼资源。问渔业公司 应如何进行捕鱼生产？
考察[t0,T ] 记
时间中的捕鱼生产
x(t) ------ t 时刻鱼的数量，
若最优控制问题有解，记为
u * (t), t [t0 ,T ], u *(t)称为最优控制,系统状态方程的相应解称为 最优轨线,相应性能指标称为最优性能指标, 记为
X * (t ), J * J (u*)
此时系统称为最优控制系统.
3. 最优控制问题分类
最优控制问题是多种多样的，下面我们给出一个概
4．数值解法
由于最优控制问题大多是很复杂的，上述求解析解的方法往往不能解 决问题。因此，与计算机相结合的数值方法就迅速发展起来，并得到普遍 应用。
二 极大值原理
前苏联学者庞特里亚金等人经过研究提出了 极大值原理，克服了变分法的缺限，成功地解决了 控制变量受约束情况下的最优控制问题。这个方法 现已得到广泛应用，成为解决最优控制问题的有效 工具。
x * (t) H ,
* H , (H L(x, u, t) f (x, u, t))
*
x *
20 x *(t), *(t) 满足端点条件


x *(t0 ) x0,

* (t0
)

K x(T
)


g1 x(T
)




g2 x(T
dx(t) r(t) u(t) dt
x(t0 ) x0
(1)
因为生产能力是有限的，所以u(t)受到约束
0 u(t) u0 (u0 0 , 为常数） (2)
保证供应即是使
x(t) 0, t t0, T
(3)
设单位时间生产成本是生产速率的函数： h(u (t)),
4 最优控制问题的解法
1．变分法
变分法是求泛函极值的古典方法。它要求的条件很强 ，故适应范围较
窄。但对一些问题使用起来较方便。 2．极大值原理
它是苏联学者庞特里亚金等人在五十年代提出的一种方法。它克服了 变分法的缺点，是变分法的重大发展。它是当前求解最优控制问题的主要 方法之一。
3．动态规划法
它是美国学者贝尔曼在五十年代提出的一种方法。它利用最优化原理 ，把多级求最优策略问题转化为多步的一级求最优策略问题。它是当今求 解最优控制问题的另一主要方法。
(4) 性能指标
T
J (u) K ( x(T ), T ) L( x(t ), u(t ), t )dt t0
最Βιβλιοθήκη Baidu控制的问题一般提法
已知 状态方程与初态
dx(t) f (x(t),u(t),t) dt
x(t0 ) x0
x(t) Rn ,u(t) Rr，
目标集
S {x | g1(x(T ),T ) 0, g2 (x(T ),T ) 0}
按应用领 域分
跟踪问题 时间最优控制
要求系统的状态尽可能地接近希望的状态变化过程，并且要 使消耗的能量最少
要求在最短时间内使系统丛初状态转移到末态
燃料最优控制 要求用最少的燃料消耗使系统从初态转移到末态
能量最优控制 要求用最少的能量消耗使系统从初态转移到末态
按控制方 法分
开环最优控制 闭环最优控制
控制量由参考输入和状态的初值所决定 控制量由参考输入和系统的实时状态所确定
括分类。
最优控制问题分类表
分类特征 按状态 方程分
按性能 指标
问题
说
明
连续控制系统 控制系统状态方程是一阶微分方程组
离散控制系统 控制系统状态方程是一阶差分方程组
末值型性能 指标
积分型性能 指标
强调对末态的要求。在古典变分法中这类问题称为梅伊尔(mayes) 问题
反映对整个控制过程的要求。在古典变分法中这类问题称为拉格朗 日(Lagrange)问题
( 2 ) 目标集
R n 的某个点集
S {x(T ) | g1(x(T ),T ) 0, g2 (x(T ),T ) 0}
其中 g1, g2分别为 l1, l2维向量函数l1 ，n.
( 3 ) 容许控制 控制变量都受到约束，所受约束可表示为：
(u(t )) 0 (是P维向量函数）
不破坏鱼资源：x1 x(T) x2
捕鱼能力： 0 u(t) umax
捕鱼利润:
利润 = 收入- 成本 鱼价：p
( 13 ) ( 14 )
单位努力量成本： q
T时刻的利润为：
g(t) pu(t) qE(t) [ p q ]u(t) x(t )
所以，[t0 ,T ]中的总利润为：
复合型性能 指标
按末端条 件分
末端固定 末端受约束
既有对控制过程的要求，也强调对末态的要求，在古典变分法中， 这类问题称为波尔扎(Bolza)问题
末值状态为指定的一个点
末值状态限制在某个范围
续表：
按末端 状态分
按函数 类型分
末端自由 末端时间固定 末端时间自由 定常问题
时变问题 线性系统问题 非线性系统问题
(k>0 为常数)
.v h
o
图2
(5)
要求飞船从初始状态
h(0) h0 v(0) v0 m(0) M F
实现软着陆
(7)
h(T ) 0 v(T ) 0
发动机的最大推力为 a ,故 0 u(t ) a
(8)
(9)
要求燃料消耗最少，即是要求着陆时飞船质量为最大。
J ( u )= m ( T )
T
q
G [p
]u(t )dt
t0
x(t )
[t0 ,T ]中总利润的现值为：
PV T ect [ p q ]u(t )dt
t0
x(t )
(15)
问题归结为：在满足约束条件(11) ----- (14)下，求u(t)使PV达到最大。
4 机器人手臂传动系统 图1 是机器人手臂控制原理图。液压油缸受作用力，带 动手臂作水平运动。问作用力按什么规律变化时，手臂 才能从初始位置A以最短时间运动到终点B，且达到终点 时的速度为零.
调节器问题
末值状态可以任意 到达末态的时刻 T固定 到达末态的时刻 T 不固定 状态方程，性能指标和末态约束中的函数均不显含时间 t
状态方程，性能指标和末态约束中的函数有显含时间 t 状的态方程中的函数关于 x(t), u(t)均是线性的 状态方程中的函数关于x(t),u(t)是非线性的
控制系统使其回到平衡状态，且消耗能量最少
一向量函数 * (，t) 使得：
10 x *(t), *(t) 满足规范方程
x * (t) H ,
*
* H , (H L(x, u, t) f (x, u, t))
x *
20 x *(t), *(t) 满足端点条件
x *(t0 ) x0
,
*(T ) k
g1 h(T ) 0, g2 v(T ) 0 g g1, g2 )
(2)
0 u(t ) a
40
在最优轨线上：
T H
H *(t) H *(T ) t
t
dt
*
当T自由时还有: H *(T) 0
例2 飞船的月球软着陆问题
已知
dh v dt
h(0) h0
dv u g
v(0) v0
(1)
dt m
m(0) M F
dm ku dt
(k>0 为常数)
如图1所示，宇宙飞船靠发动机产生的与月
球重力相反的推力，控制飞船实现软着陆（落到
月球表面时速度为零）。问如何选择发动机推力
的变化规律，使燃料消耗最少?
.
图1
记：
飞船质量：
m(t)
飞行高度 ： h ( t )
垂直速度： v ( t )
月球重力加速度：g
坐标系选取如图。
则飞船的运动规律为：
dh v dt dv u g dt m dm ku dt