2012年中考数学卷精析版——北京卷
（本试卷满分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
3．（2012北京市4分）正十边形的每个外角等于【】
A．18︒B．36︒C．45︒D．60︒
【答案】B。
【考点】多边形外角性质。
【分析】根据外角和等于3600的性质，得正十边形的每个外角等于3600÷10=360。
故选B。
4．（2012北京市4分）下图是某个几何体的三视图，该几何体是【】
A．长方体B．正方体C．圆柱D．三棱柱
【答案】D。
【考点】由三视图判断几何体。
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，由于主视图和左视图为矩形，可得为柱体，俯视图为三角形可得为三棱柱。
故选D。
5．（2012北京市4分）班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵”称号的同学．这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票．小英同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是【】
A．1
6
B．
1
3
C．
1
2
D．
2
3
【答案】B。
【考点】概率。
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率。
本题全部等可能情况的总数6，取到科普读物的情况是2。
∴取到科普读物的概率是
21
63
=。
故选B。
6．（2012北京市4分）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOD，若∠BOD=760，则∠BOM 等于【】
A．38︒B．104︒C．142︒D．144︒
【答案】C。
【考点】角平分线定义，对顶角的性质，补角的定义。
【分析】由∠BOD=760，根据对顶角相等的性质，得∠AOC=760，根据补角的定义，得∠BOC=1040。
由射线OM平分∠AOD，根据角平分线定义，∠COM=380。
∴∠BOM=∠COM＋∠BOC=1420。
故选C。
7．（2012北京市4分）某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：
用电量（度）120 140 160 180 200 户数 2 3 6 7 2 A．180，160 B．160，180 C．160，160 D．180，180
【答案】A。
【考点】众数，中位数。
【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是180，故这组
数据的众数为180。
中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）。
由此将这组数据重新排序为120，120，140，140，140，160，160，160，160，160，160，180，180，180，180，180，180，180，200，200，∴中位数是第10和11个平均数，它们都是160，故这组数据的中位数为160。
故选A。
8．（2012北京市4分）小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B 跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的【】
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】D。
【考点】动点问题的函数图象.
【分析】分别在点M、N、P、Q的位置，结合函数图象进行判断，利用排除法即可得出答案：
A、在点M位置，则从A至B这段时间内，弧AB上每一点与点M的距离相等，即y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；
B、在点N位置，则根据矩形的性质和勾股定理，NA=NB=NC，且最大，与函数图象不符，故本选项错误；
C、在点P位置，则PC最短，与函数图象不符，故本选项错误；
D、在点P位置，如图所示，①以Q为圆心，QA为半径画圆交AB于点E，其中y最大的点是
y=y，AE的中垂线与弧AB的交点H；②在弧AB上，从点E到点C上，y逐渐减小；③QB=QC，即B C
且BC的中垂线QN与BC的交点F是y的最小值点。
经判断点Q符合函数图象，故本选项正确。
故选D。
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．（2012北京市4分）分解因式：2
mn+6mn+9m=▲ ．
【答案】()2
m n+3。
【考点】提公因式法和应用公式法因式分解。
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。
因此，
()()2
22
mn+6mn+9m=m n+6n+9=m n+3。
10．（2012北京市4分）若关于x的方程2x2x m=0
--有两个相等的实数根，则m的值是▲ ．【答案】－1。
【考点】一元二次方程根的判别
【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可：∵关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，∴△=0，
∴（－2）2－4×1×（－m）=0，解得m=－1。
11．（2012北京市4分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= ▲ m．
【答案】5.5。
【考点】相似三角形的判定和性质。
【分析】利用Rt△DEF和Rt△BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB：
∵∠DEF=∠BCD=90°，∠D=∠D，∴△DEF∽△DCB。
∴BC DC EF DE
=。
∵DE=40cm=0.4m ，EF=20cm=0.2m ，AC=1.5m ，CD=8m ，∴BC 8
0.20.4
=。
∴BC=4（m ）。
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5（m ）。
12．（2012北京市4分）在平面直角坐标系xOy 中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点 A （0，4），点B 是x 轴正半轴上的整点，记△AOB 内部（不包括边界）的整点个数为m ．当m=3时，点 B 的横坐标的所有可能值是 ▲ ；当点B 的横坐标为4n （n 为正整数）时，m= （用含n 的代数式表示．）
【答案】3或4；6n －3。
【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标，矩形的性质。
【分析】根据题意画出图形，再找出点B 的横坐标与△AOB 内部（不包括边界）的整点m 之间的关系即可求出答案：
如图：当点B 在（3，0）点或（4，0）点时，△AOB 内部（不包括边界）的整点为（1，1），
（1，2），（2，1），共三个点，∴当m=3时，点B 的横坐标的所有可能值是3或4。
当点B 的横坐标为4n （n 为正整数）时，
∵以OB 为长OA 为宽的矩形内（不包括边界）的整点个数为（4n －1）×3=12 n －3，对角线AB
上的整点个数总为3，
∴△AOB 内部（不包括边界）的整点个数m=（12 n －3－3）÷2=6n －3。
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．（2012北京市5分）计算：()1
2
15+182sin 458π-⎛⎫-- ⎪⎝⎭
.
【答案】解：原式=2
1+3228=227。
【考点】实数的运算，零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂。
【分析】针对零指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。
16．（2012北京市5分）已知：如图，点E ，A ，C 在同一条直线上，AB ∥CD ，AB=CE ，AC=CD ． 求证：BC=ED.
【答案】证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC=∠ECD ，
∵在△BAC 和△ECD 中，AB=EC ，∠BAC=∠ECD ，AC=CD ， ∴△BAC ≌△ECD （SAS ）。
∴CB=ED 。
【考点】平行线的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】首先由AB ∥CD ，根据平行线的性质可得∠BAC=∠ECD ，再由条件AB=CE ，AC=CD 可证出△BAC 和△ECD 全等，再根据全等三角形对应边相等证出CB=ED 。
17．（2012北京市5分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，函数()4
y=x 0x
>的图象与一次函数y=kx －k 的 图象的交点为A （m ，2）. （1）求一次函数的解析式；
（2）设一次函数y=kx －k 的图象与y 轴交于点B ，若P 是x 轴上一点， 且满足△PAB 的面积是4， 直接写出点P 的坐标．
【答案】解：（1）将A （m ，2）代入()4
y=
x 0x
>得，m=2，则A 点坐标为A （2，2）。
将A （2，2）代入y=kx －k 得，2k －k=2，解得k=2。
∴一次函数解析式为y=2x －2。
（2）（3，0），（－1，0）。
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】（1）将A 点坐标代入()4
y=x 0x
>求出m 的值为2，再将（2，2）代入y=kx －k ，求出k 的值，即可得到一次函数的解析式。
（2）将三角形以x 轴为分界线，分为两个三角形计算，再把
它们相加：
∵一次函数y=2x －2与x 轴的交点为C （1，0），与y
轴的交点为B （0，－2），
∴
11
2CP 2CP 422
⋅⋅+⋅⋅=，解得CP=2。
∴P 点坐标为（3，0），（－1，0）。
18．（2012北京市5分）列方程或方程组解应用题：
据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．
【答案】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x 毫克，
则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为（2x －4）毫克， 由题意得：
1000550
2x 4x
=-，解得：x=22。
经检验：x=22是原分式方程的解。
答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克。
【考点】分式方程的应用。
【分析】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x 毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为（2x －4）毫克，根据关键语句“若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片
数相同，”可得方程
1000550
2x 4x
=-，解方程即可得到答案。
注意最后一定要检验。
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．（2012北京市5分）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点E ，∠BAC=900，∠CED=450，∠DCE=900，DE=2，BE=22．求CD 的长和四边形ABCD 的面积．
【答案】解：过点D 作DH ⊥AC ，
∵∠CED=45°，DH ⊥EC ，DE=2，∴EH=DH=1。
又∵∠DCE=30°，∴DC=2，HC=3。
∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=22， ∴AB=AE=2。
∴AC=2+1+3 =3+3。
∴ABCD 11933
S 233133 222
+=
⨯⨯++⨯⨯+=四形（）（）边 。
【考点】勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，
【分析】利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD 的长，求出AC ，AB 的长即可得出四边形ABCD 的面积。
20．（2012北京市5分）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC 于点D ，过点C 作 ⊙O 的切线，交OD 的延长线于点E ，连结BE ．
（1）求证：BE 与⊙O 相切；
（2）连结AD 并延长交BE 于点F ，若OB=9，2
sin ABC=
3
∠，求BF 的长．
【答案】证明：（1）连接OC ，
∵OD ⊥BC ，∴OC=OB ，CD=BD （垂径定理）。
∴△CDO ≌△BDO （HL ）。
∴∠COD=∠BOD 。
在△OCE和△OBE中，
∵OC=OB，∠COE=∠BOE，OE=OE，
∴△OCE≌△OBE（SAS）。
∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE。
∴BE与⊙O相切。
（2）过点D作DH⊥AB，
∵OD⊥BC，∴△ODH∽△OBD ，∴OD OH DH OB OD BD
==。
又∵
2
sin ABC=
3
∠，OB=9，∴OD=6。
∴OH=4，HB=5，DH=25。
又∵△ADH∽△AFB，∴AH DH
AB FB
=，即
18525
18FB
-
=，解得FB=
365
13。
【考点】垂径定理，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。
【分析】（1）连接OC，先证明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，从而可证得结论。
（2）过点D作DH⊥AB，根据
2
sin ABC=
3
∠，可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由
△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长。
21．（2012北京市5分）近年来，北京市大力发展轨道交通，轨道运营里程大幅增加，2011年北京市又调整修订了2010至2020年轨道交通线网的发展规划．以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据制作的统计图表的一部分．
北京市轨道交通已开通线路
相关数据统计表（截至2010年底）
开通时间开通线路运营里程(千米)
1971 1号线31 1984 2号线23
2003 13号线41 八通线19
2007 5号线28
2008 8号线 5 10号线25 机场线28
2009 4号线28
2010 房山线22 大兴线22 亦庄线23 昌平线21 15号线20
请根据以上信息解答下列问题：
（1）补全条形统计图并在图中标明相应数据；
（2）按照2011年规划方案，预计2020年北京市轨道交通运营里程将达到多少千米？
（3）要按时完成截至2015年的轨道交通规划任务，从2011到2015这4年中，平均每年需新增运营里程多少千米？
【答案】解：（1）根据表格所给数据即可得出：2009年运营路程为：200+28=228。
补全条形统计图如图所示：
（2）∵根据统计表和扇形图，截止2010年已开通运营总路程336千米，占计划的33.6%，∴预计2020年北京市轨道交通运营总里程将达到：336÷33.6%=1000（千米）。
（3）∵截止2015年新增运营路程为：1000×36.7=367（千米），
∴从2011到2015年这4年中，平均每年需新增运营里程（367-36）÷4=82.75（千米）。
【考点】统计表，条形统计图，扇形统计图，频数、频率和总量的关系，平均数。
【分析】（1）根据表格所给数据即可得出：2009年运营路程为：2008年运营总路程+28求出即可。
（2）根据统计表和扇形图：截止2010年已开通运营总路程和占计划的百分比，即可得出答案。
（3）根据截止2015年新增运营路程为：1000×36.7=367（千米）；从而得出从2011到2015年这4年中，平均每年需新增运营里程。
22．（2012北京市5分）操作与探究：
（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以1
3
，再把所得数对应的点向右平移1个
单位，得到点P的对应点P′.
点A，B在数轴上，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是3
，则点A′表示的数是；若点B′表示的
数是2，则点B表示的数是；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E′与点E重合，则点E表示的数是；。
