小学五年级逻辑思维学习—裂项综合
知识定位
本讲知识点属于计算大板块内内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
知识梳理
一、 “裂差”型运算
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b
=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)
n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)
n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1） 11a b a b a b a b a b b a
+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
三、整数裂项
(1) n n ⨯-++⨯+⨯+⨯)1(...433221)1()1(3
1+⨯⨯-=n n n (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4
n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+ 【重点难点解析】
1．常规分数裂差型题目的计算
2. 常规裂和型题目的凑整
3. 整数裂项公式的记忆与灵活应用
【竞赛考点挖掘】
1. 隐藏在平方差公式与等差数列求和公式背后的分数裂差型运算
2. 分子隐蔽的裂和型运算
3. 阶乘的裂项运算
例题精讲 【题目】
11111223344950++++⨯⨯⨯⨯
【题目】
111 (101111125960)
+++⨯⨯⨯
【题目】
1111 133******** ++++
⨯⨯⨯⨯
【题目】
2222
...... 1335579799 ++++
⨯⨯⨯⨯
【题目】
4444
...... 135357939597959799 ++++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【题目】
111
...... 1234234517181920 +++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【题目】
333
...... 1234234517181920 +++
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【题目】
1111135246357202224++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【题目】100
211321121111++++++++++
【题目】222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)23454849-
⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-
【题目】234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(12350)++++⨯++⨯++++⨯+++++++⨯++++
【题目】1223344950⨯+⨯+⨯+
+⨯=________
【题目】14477104952⨯+⨯+⨯+
+⨯=_________
【题目】12349223234234523410+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=_________
【题目】
10
91099898878776766565⨯++⨯+-⨯++⨯+-⨯+
【题目】20
192019191819183232212122222222⨯++⨯++⋯⋯+⨯++⨯+
【题目】
42
133011209127657653++++++
【题目】
！
10099!43!32!21+⋯⋯+++（最后的结果可以用阶乘表示）
【题目】11111(......)1200722006(2008)200622007120071111(......)20081200622005(2007)20061
n n n n +++++-⨯⨯⨯-⨯⨯+++++⨯⨯⨯-⨯
习题演练 【题目】
1111135357579192123++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
【题目】1111111648244880120168224⎛⎫++++++⨯ ⎪⎝⎭
【题目】113 +2115 +3135 +4163 +……+81255
