必修一函数的单调性讲义

降
O x1
xx 2
如果 y＝f(x)(在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有（严格 的）单调性，这个区间叫做 y＝f(x)的单调区间。
注意：（1）区间 D，必须在定义域 I 内，即 D I，一个函数在不同区间上的单
调性可以不同。 （2）自变量的大小关系与函数的大小关系有直接联系，如：f(x)是增函数，则 x1＜x2 f(x1)＜f(x2)。 （3）函数在其单调区间上的图象特征：f(x)在 D 上是增函数，则图象在 D 上从 左到右呈上升趋势；f(x)在 D 上是减函数，则图象在 D 上从左到右呈下降趋势。 （4）函数单调性受区间限制。如函数 f(x)＝ 1 分别在(－∞,0)，(0,＋∞)上是
A： 0 a 1 2
B： a 1 2
C： a ＜－1 或 a ＞1
D： a ＞－2
ax＋1 a(x＋2)＋1－2a 1－2a
x 1
变式练习 2：判断函数 f(x)＝ x 4 在(0，＋∞)上的单调性。 x
2
注意：定义法证明单调性的等价形式，设 x1、x2∈[ a ， b ]，x1≠x2，则
（1）(x1－x2)×[f(x1)－f(x2)]＞0
f (x1 ) f (x2 ) ＞0 f(x)在[ a ， b ]是增函数； x1 x2
（2）(x1－x2)×[f(x1)－f(x2)]＜0
f (x1 ) f (x2 ) ＜0 f(x)在[ a ， b ]是减函数。 x1 x2
三、判断函数单调性的方法
1、图象法（观）
2、定义法（证）
确定函数单调性3、直接判断法增 增 增
增 增，减 减 增，减 减， 减
(2a 1)x 7a 1, x
f(x)＝
a
x
,
x

1
1
在(－∞，＋∞)上单调递减，则实
数 a 的取值范围是____________。
【解析】：

1 4
,
1 2

变式练习 3：函数 f (x) ax 1 在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么 a 的取值范围是（ ） x2
2
22
四、函数单调性的应用 例 5：二次函数 f(x)＝x2＋2(1－a)x＋2 在区间 ,4 上是减函数，求实数 a 的范围。
【解析】：二次函数的对称轴为 x＝2(a－1)，由数形结合法：2(a－1)≥4，解之得：a≥5
3
变式练习：二次函数 f(x)＝x2＋bx＋c 在区间(－∞，1)上是单调减函数，求实数 b 的范围。
【解析】：b≤－2
例 6：若函数 f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则（
）
A：f( a )＞f(2 a ) B：f( a 2)＜f( a ) C：f( a 2－1)＜f( a ) D：f( a 2＋1)＜f( a )
【解析】：∵a2＋1－a＝a2－a＋1＝(a－ 1 )2＋ 3 ＞0 24
∴ a2＋1＞a
x1
x2
x1 x2 x1 x2
由 0≤x1＜x2，得 x1－x2＜0 且 x1 x2 ＞0
于是 f(x1)－f(x2)＜0。即 f(x1)＜f(x2)
所以函数 f (x) x 在区间[0，＋∞）上为增函数。
总结：利用定义法证明函数单调性的步骤。
（1）取值 （2）作差 （3）变形（因式分解、配方、分母有理化、分子有理化） （4）定号 （5）定论 变式练习 1：判断函数 f(x)＝ 2x 的单调性。
意两个自变量的值 x1、x2 ，当． x．1．＜．x．2． 时．，．都．有．f．(．x．1．)．＞．f．(．x．2．)．，．那么就说 f(x)
在区间 D 上是减函数。
y y f (x)
f (x1 )
图 f (x2 ) 象
上 升
O x1
x2 x
y
图
f (x1)y f (x) f (x2 )
象 下
减 增 增

减 减

f (x)
1 [相反]，f (x)


f (x)
4、导数法【在导数章节重点学习】
f (xwenku.baidu.com相同
例 4：下图分别是 y＝f(x)与 y＝g(x)的图象，根据图象试写出函数 y＝f(x)与 y＝g(x)的单调 递增区间。
【解析】（1）[1，4]， 4,6（2）[－ 3 ，0]，[ 3 ， 5 ]
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，∴ f(a2＋1)＜f(a) 选：D
变式练习 1：已知函数 f(x)在(0，＋∞)上为减函数，则 f( a 2－ a ＋1)与 f( 3 )的大小关系是： 4
___________________。
【解析】：(a2－a＋1)≥f( 3 ) 4
变式练习
2：已知函数
x 减函数，但不能说成它在整个定义域内(－∞,0)∪(0,＋∞)上是减函数。单调区 间用“，”逗开，不能用“∪”。 （5）有些函数不具备单调性。如 f(x)＝x＋1，x∈Z。
（6）熟记常见函数在其定义域内的单调性。
二、用定义证明函数的单调性
例 2：证明函数 f(x)＝－3x＋2 在 R 上是减函数。
1.3.1 函数的单调性
一、单调函数的定义
函数 f(x)的定义域为 I：
如果对于属于定义域 I 内某个区间 D 上
的任意两个自变量的值 x1、x2 ，当 x．1． ＜．x．2． 时．，．都．有．f．(．x．1．)．＜．f．(．x．2．)．，．那么就
说 f(x)在区间 D 上是增函数。
如果对于属于定义域 I 内区间 D 上的任
分析：按定义只需设 x1，x2 是 R 上的任意两个实数，当 x1＜x2，我们来证明 f(x1,)＞f(x2)。
证明：设 x1，x2 是 R 上的任意两个实数，且 f(x1)－f(x2)＝(－3x1＋2)－(－3x2＋2) ＝3(x2－x1)
x1＜x2，
取值 作差 变形
由 x1＜x2 ，得 x2－x1＞0
1
于是 f(x1)－f(x2)＞0 即 f(x1,)＞f(x2) 所以，函数 f(x)＝－3x＋2 在 R 上是减函数。
定号 定论
例 3：证明函数 f (x) x 在区间[0，＋∞）上为增函数。
证明：设 x1，x2 是[0，＋∞）上的任意两个实数，且 0≤x1＜x2，则
f (x1 ) f (x2 )