一、幂函数
1、幂的有关概念
正整数指数幂：
...()
n
n
a a a a n N
=∈
零指数幂：
01(0)
a a
=≠
负整数指数幂：
1
(0,)
p
p
a a p N
a
-=≠∈
分数指数幂：正分数指数幂的意义是：
(0,,,1)
m
n m
n
a a a m n N n
=>∈>
且
负分数指数幂的意义是：
11
(0,,,1) m
n
m n m
n
a a m n N n
a
a
-
==>∈>
且
2、幂函数的定义
一般地，函数
a
y x
=叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数
的情况)．3、幂函数的图象
幂函数a
y x
=
当
11
,,1,2,3
32
a=
时的图象见左图；当
1
2,1,
2
a=---
时的图象见上图：
由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质：
a y x =有下列性质： (1)0a >时：
①图象都通过点(0,0)，(1,1)；
②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时：
①图象都通过点(1,1)；
②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点．
二、指数函数
①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x
且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞；
3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a .
5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=⋅-=
三、对数函数
如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =
log b a a N N b =⇔=（0a >，1a ≠，0N >）．
1．对数的性质
()log log log a a a MN M N =+． log log log a
a a M
M N N
=-． log log n a a M n M =．（00M N >>，，0a >，1a ≠）b m
n
b a n a
m log log =（ a, b > 0且均不为1）
2．换底公式：log log log m a m N
N a
=
( a > 0 , a 1 ；0,1m m >≠)
常用的推论：
（1）log log 1a b b a ⨯= ；1log log log =⋅⋅a c b c b a ．
（2）log log m n
a a n
b b m
=
（a 、0b >且均不为1）．1
log log log 1n m N
N N a a a m
n
n m
=
=． （3）01log =a ，1log =a a （4）对数恒等式N a N a =log ．
一、对数函数的图像及性质
① 函数log a y x =（0a >，1a ≠）叫做对数函数
② 对数函数的性质：定义域：(0,)+∞； 值域：R ； 过点(1,0)，即当1
x =时，0y =．
当0a >时，在（0，+∞）上是增函数；当01a <<时，在（0，+∞）上是减函数．
1o
y
x
二、对数函数与指数函数的关系
对数函数log a y x =与指数函数x y a =图像关于直线y x =对称． 指数方程和对数方程主要有以下几种类型：
()()log ,log ()()f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=（定义法）
()()()(),log ()log ()()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>（转化法） ()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔= (取对数法)
