下载文档原格式
第4讲 超几何分布一．离散型随机变量的概率分布(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．(2)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表为离散型随机变量X (3)离散型随机变量的概率分布的性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； ②p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 二．两点分布如果随机变量X 的概率分布表为其中0<p <1，则称离散型随机变量X 三．超几何分布1.概念：一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝r )＝C r M C n －rN －MC n N(r ＝0,1,2，…，l )．即其中l ＝min(M ，n )，且n 如果一个随机变量X 的概率分布具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．2.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是： ①考察对象分两类； ②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数X 的概率分布 四．离散型随机变量的均值与方差 1．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X 的分布列为：（1）称1122()n n E X x p x p x p =++⋅⋅⋅+为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． （2）称21()(())nii i D X x E X p ==-∑为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏X 的标准差． 2．均值与方差的性质若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，则Y 也是随机变量， 且E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ；D (aX ＋b )＝a 2D (X )考向一 分布列性质【例1】（1）设离散型随机变量X 的概率分布为下表，求2X ＋1的概率分布．（2）若（1（3）若（1）中条件不变，求随机变量η＝X2的概率分布．【答案】见解析【解析】（1）由概率分布的性质知，0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.列表为从而2X＋1的概率分布为（2）由（1）知m＝0.3∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的概率分布为（3）依题意知η的值为列表为从而η＝X 2的概率分布为【举一反三】1．设X 是一个离散型随机变量，其概率分布为则q ＝________. 【答案】 32－336【解析】 ∵13＋2－3q ＋q 2＝1，∴q 2－3q ＋43＝0，解得q ＝32±336.又由题意知0<q 2<23，∴q ＝32－336.2．设随机变量ξ的概率分布为P (ξ＝k )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫23k(k ＝1,2,3)，则m 的值为________．【答案】2738【解析】 由概率分布的性质得P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝m ×23＋m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝38m 27＝1，∴m ＝2738. 考向二 超几何分布【例2-1】 某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求： (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X 的概率分布． 【答案】（1）47. （2）见解析【解析】(1)设事件A ：选派的3人中恰有2人会法语，则P (A )＝C 25C 12C 37＝47.(2)由题意知，X 服从超几何分布，X 的可能取值为0,1,2,3， P (X ＝0)＝C 34C 37＝435， P (X ＝1)＝C 24C 13C 37＝1835，P (X ＝2)＝C 14C 23C 37＝1235， P (X ＝3)＝C 33C 37＝135，∴X 的概率分布为【例2-2】为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲乙两个单位各有200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如下： （1）若甲单位数据的平均数是122，求x ；（2）现从如图的数据中任取4天的数据（甲、乙两单位中各取2天），记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为1ζ， 2ζ，令12=ηζζ+，求η的分布列和期望.【答案】(1)8；(2)答案见解析.【解析】（1）由题意()10510711311511912612013213414112210x ++++++++++=，解得8x =．（2）由题意知，随机变量η的所有可能取值有0,1,2,3,4.()227622101070;45C C p C C η=== ()112736221010911;225C C C p C C η===()222211113674736422101012;3C C C C C C C C p C C η++=== ()211112364734221010223;225C C C C C C p C C η+=== ()223422101024;225C C p C C η===η∴的分布列为：η0 1 2 34P745 91225 13 22225 2225∴()012344522532252255E η=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．【举一反三】1．某普通高中为了解本校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了n 名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在[]60,150），按下列分组[)60,70，[)70,80，[)80,90，[)90,100，[)100,110，[)110,120，[)120,130，[)130,140，[]140,150作出频率分布直方图，如图1；样本中分数在[)70,90内的所有数据的茎叶图如图2：根据往年录取数据划出预录分数线，分数区间与可能被录取院校层次如表．【套路总结】超几何分布的两个特点①超几何分布是不放回抽样问题； ②随机变量为抽到的某类个体的个数． (2)超几何分布的应用条件 ①两类不同的物品(或人、事)；（1）求n 的值及频率分布直方图中的,x y 值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取2人，求此2人都不能录取为专科的概率；（3）在选取的样本中，从可能录取为自招和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研，用ξ表示所抽取的3名学生中为自招的人数，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）0.014；（2）616625；（3）见解析 【解析】（1）由图2知分数在[)70,80的学生有4名， 又由图1知，频率为：0.008100.08⨯=，则：4500.08n == 50.015010x ∴==⨯，()10.0420.0820.10.120.160.240.01410y -⨯+⨯++++==（2）能被专科院校录取的人数为：()500.0040.008106⨯+⨯=人抽取的50人中，成绩能被专科院校录取的频率是：635025= ∴从该校高三年级学生中任取1人能被专科院校录取的概率为325， 记该校高三年级学生中任取2人，都不能被专科院校录取的事件为A则此2人都不能录取为专科的概率：()23616125625P A ⎛⎫=-=⎪⎝⎭（3）选取的样本中能被专科院校录取的人数为6人成绩能过自招线人数为：()500.0120.0040.0081012⨯++⨯=人， 又随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3∴()363182050816204C P C ξ∴====；()2161231818015181668C C P C ξ====； ()1261231839633281668C C P C ξ====；()03612318220553816204C C P C ξ==== ∴随机变量ξ的分布列为：()012322046868204E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= 【套路运用】1．随机变量X 的概率分布如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝________． 【答案】 23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13【解析】 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据概率分布的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，∴－13≤d ≤13.2．若离散型随机变量X的分布列是则常数c的值为_____.【答案】【解析】由随机变量的分布列知，9c2﹣c≥0，3﹣8c≥0，9c2﹣c+3﹣8c＝1，∴c ＝．故答案为：．3．我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别见下表：空气污染指数空气质量空气污染指数空气质量0--50 优201--250 中度污染51--100 良251--300 中度重污染101--150 轻微污染>300 重污染151----200 轻度污染我们把某天的空气污染指数在0-100时称作A类天，101--200时称作B类天，大于200时称作C类天.下图是某市2018年全年监测数据中随机抽取的18天数据作为样本做的茎叶图：（百位为茎，十、个位为叶）（1）从这18天中任取3天，求至少含2个A类天的概率；（2）从这18天中任取3天，记X是达到A类或B类天的天数，求X的分布列．【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）从这18天中任取3天，取法种数有种，3天中至少有2个A类天的取法种数有种，所以这3天至少有2个A类天的概率；（2）的一切可能的取值是，当时，；当时，；当时，；当时，；的分布列为：X 3 2 1 0P数学期望。
１．离散型随机变量（１）随机变量特点：随着试验结果的变化而变化的变量．表示：常用字母X，Y，ξ，η，…表示．（２）离散型随机变量的特点所有取值可以一一列举出来．２．离散型随机变量的分布列（１）定义：若离散型随机变量X可能取的不同值为x１，x２，…，x i，…，x n，X取每一个值x i（i ＝１，２，…，n）的概率P（X＝x i）＝p i，则下表X x１x２…x i…x nP p１p２…p i…p nP（X＝x i）＝p i，i＝１，２，…，n表示X的分布列．（２）性质：１p i≥0（i＝１，２，…，n）；２错误!p i＝１．３．常见的两类特殊分布列（１）两点分布若随机变量X服从两点分布，则其分布列为X0１P１—p p＝P（X＝１）称为成功概率．（２）超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P（X＝k）＝错误!，k ＝0，１，２，…，m，即：X0１…mP错误!错误!…错误!其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．（）（２）抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．（）（３）离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．（）（４）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．（）（５）从４名男演员和３名女演员中选出４人，其中女演员的人数X服从超几何分布．（）（6）由下表给出的随机变量X的分布列服从两点分布．（）X２５P0．３0．7答案：（１）√（２）√（３）√（４）√（５）√（6）×（教材习题改编）设随机变量X的分布列如下表所示，则p ４的值是（）X１２３４P错误!错误!错误!p４Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．由分布列的性质，得错误!＋错误!＋错误!＋p４＝１，所以p４＝错误!.设某项试验的成功率是失败率的２倍，用随机变量X去描述１次试验的成功次数，则P（X＝0）等于（）Ａ．0 Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选C.设X的分布列为X0１P p２p 即“X＝0”表示试验失败，“X＝１”表示试验成功．由p＋２p＝１，得p＝错误!，故应选Ｃ．设随机变量X的分布列为P（X＝k）＝错误!，k＝１，２，３，４，５，则P错误!＝________．解析：P错误!＝P（X＝１）＋P（X＝２）＝错误!＋错误!＝错误!.答案：错误!在含有３件次品的１0件产品中任取４件，则取到次品数X的分布列为________．解析：由题意知，X服从超几何分布，其中N＝１0，M＝３，n＝４，所以分布列为P（X＝k）＝错误!，k＝0，１，２，３．答案：P（X＝k）＝错误!，k＝0，１，２，３离散型随机变量的分布列的性质设离散型随机变量X的分布列为X0１２３４P0．２0．１0．１0．３m（２）P（１＜X≤４）．【解】由分布列的性质知：0．２＋0．１＋0．１＋0．３＋m＝１，解得m＝0．３．（１）２X＋１的分布列：２X＋１１３５79 P0．２0．１0．１0．３0．３在本例条件下，求|X—１|的分布列．解：|X—１|的分布列：|X—１|0１２３P0．１0．３0．３0．３离散型随机变量分布列的性质的应用（１）利用分布列中各概率之和为１可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值；（２）若X为随机变量，则２X＋１仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．设随机变量X等可能地取１，２，３，…，n，若P（X＜４）＝0．３，则n的值为（）Ａ．３Ｂ．４Ｃ．１0 Ｄ．不确定解析：选Ｃ．“X＜４”的含义为X＝１，２，３，所以P（X＜４）＝错误!＝0．３，所以n＝１0．离散型随机变量的分布列（高频考点）离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．高考对离散型随机变量分布列的考查有以下三个命题角度：（１）用频率代替概率的离散型随机变量的分布列；（２）古典概型的离散型随机变量的分布列；（３）与独立事件（或独立重复试验）有关的分布列的求法．（下一讲内容）角度一用频率代替概率的离散型随机变量的分布列某商店试销某种商品２0天，获得如下数据：日销售量（件）0１２３频数１５9５结束后检查存货，若发现存量少于２件，则当天进货补充至３件，否则不进货，将频率视为概率．（１）求当天商店不进货的概率；（２）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．【解】（１）P（当天商店不进货）＝P（当天商品销售量为0件）＋P（当天商品销售量为１件）＝错误!＋错误!＝错误!.（２）由题意知，X的可能取值为２，３．P（X＝２）＝P（当天商品销售量为１件）＝错误!＝错误!；P（X＝３）＝P（当天商品销售量为0件）＋P（当天商品销售量为２件）＋P（当天商品销售量为３件）＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.所以X的分布列为X２３P错误!错误!（２0１7·高考山东卷节选）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A，A２，A３，A４，A５，A6和４名女志愿者B１，B２，B３，B４，从中随机抽取５人接受甲种心理暗示，１另５人接受乙种心理暗示．（１）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A１但不包含B１的概率；（２）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．【解】（１）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A１但不包含B１的事件为M，则P（M）＝错误!＝错误!.（２）由题意知X可取的值为：0，１，２，３，４，则P（X＝0）＝错误!＝错误!，P（X＝１）＝错误!＝错误!，P（X＝２）＝错误!＝错误!，P（X＝３）＝错误!＝错误!，P（X＝４）＝错误!＝错误!.因此X的分布列为X0１２３４P错误!错误!错误!错误!错误!错误!离散型随机变量分布列的求解步骤（１）明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．（２）求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．（３）画表格：按规范要求形式写出分布列．（４）做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友（n>8且n∈N*），其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出２位校友代表，若选出的２位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．（１）若随机选出的２位校友代表为“最佳组合”的概率不小于错误!，求n的最大值；（２）当n＝１２时，设选出的２位校友代表中女校友人数为X，求X的分布列．解：（１）由题意可知，所选２人为“最佳组合”的概率为错误!＝错误!，则错误!≥错误!，化简得n２—２５n＋１４４≤0，解得9≤n≤１6，故n的最大值为１6．（２）由题意得，X的可能取值为0，１，２，则P（X＝0）＝错误!＝错误!，P（X＝１）＝错误!＝错误!，P（X＝２）＝错误!＝错误!，X的分布列为X0１２P错误!错误!错误!超几何分布一个袋中有大小相同的黑球和白球共１0个．已知从袋中任意摸出２个球，至少得到１个白球的概率是错误!.（１）求白球的个数；（２）从袋中任意摸出３个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．【解】（１）记“从袋中任意摸出２个球，至少得到１个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P（A）＝１—错误!＝错误!，得到x＝５．故白球有５个．（２）X服从超几何分布，其中N＝１0，M＝５，n＝３，P（X＝k）＝错误!，k＝0，１，２，３．于是可得其分布列为X0１２３P错误!错误!错误!错误!超几何分布的特点（１）对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出；（２）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．１．从装有３个白球、４个红球的箱子中，随机取出了３个球，恰好是２个白球、１个红球的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝错误!＝错误!.２．第二十八届亚洲男篮锦标赛在长沙举行，为了做好亚锦赛期间的接待服务工作，长沙大学学生实践活动中心从8名学生会干部（其中男生５名，女生３名）中选３名参加亚锦赛的志愿者服务活动．若所选３名学生中的女生人数为X，求X的分布列．解：因为8名学生会干部中有５名男生，３名女生，所以X的分布列服从超几何分布．X的所有可能取值为0，１，２，３，其中P（X＝i）＝错误!（i＝0，１，２，３）．由公式可得P（X＝0）＝错误!＝错误!，P（X＝１）＝错误!＝错误!，P（X＝２）＝错误!＝错误!，P（X＝３）＝错误!＝错误!.所以X的分布列为X0１２３P错误!错误!错误!错误!对于随机变量X的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．易错防范（１）确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．（２）对于分布列易忽视其性质p１＋p２＋…＋p n＝１及p i≥0（i＝１，２，…，n），其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．１．设随机变量X的概率分布列如下表所示：X0１２P a错误!错误!若F（x）＝P（XＡ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．由分布列的性质，得a＋错误!＋错误!＝１，所以a＝错误!.而x∈[１，２），所以F（x）＝P（X≤x）＝错误!＋错误!＝错误!.２．在１５个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选１0个村庄，用X表示这１0个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于错误!的是（）Ａ．P（X＝２）B．P（X≤２）Ｃ．P（X＝４）D．P（X≤４）解析：选Ｃ．X服从超几何分布，P（X＝k）＝错误!，故k＝４，故选Ｃ．３．抛掷２颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P（X≤４）＝________．解析：抛掷２颗骰子有３6个基本事件，其中X＝２对应（１，１）；X＝３对应（１，２），（２，１）；X＝４对应（１，３），（２，２），（３，１）．所以P（X≤４）＝P（X＝２）＋P（X＝３）＋P（X＝４）＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.答案：错误!４．已知随机变量ξ只能取三个值：x１，x２，x３，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．解析：设ξ取x１，x２，x３时的概率分别为a—d，a，a＋d，则（a—d）＋a＋（a＋d）＝１，所以a＝错误!，由错误!得—错误!≤d≤错误!.答案：错误!５．抛掷一枚质地均匀的硬币３次．（１）写出正面向上次数X的分布列；（２）求至少出现两次正面向上的概率．解：（１）X的可能取值为0，１，２，３．P（X＝0）＝错误!＝错误!；P（X＝１）＝错误!＝错误!；P（X＝２）＝错误!＝错误!；P（X＝３）＝错误!＝错误!.所以X的分布列为P错误!错误!错误!错误!P（X≥２）＝P（X＝２）＋P（X＝３）＝错误!＋错误!＝错误!.6．（２0１8·惠州市第三次调研考试）某大学志愿者协会有6名男同学，４名女同学．在这１0名同学中，３名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这１0名同学中随机选取３名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（１）求选出的３名同学是来自互不相同学院的概率；（２）设X为选出的３名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．解：（１）设“选出的３名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P（A）＝错误!＝错误!.所以选出的３名同学是来自互不相同学院的概率为错误!.（２）随机变量X的所有可能值为0，１，２，３．P（X＝k）＝错误!（k＝0，１，２，３）．所以随机变量X的分布列是X0１２３P错误!错误!错误!错误!7理后，画出了频率分布直方图如图所示，已知次数在[１00，１１0）间的频数为7，次数在１１0以下（不含１１0）视为不达标，次数在[１１0，１３0）间的视为达标，次数在１３0以上视为优秀．（１）求此次抽样的样本总数为多少人？（２）在样本中，随机抽取一人调查，则抽中不达标学生、达标学生、优秀学生的概率分别是多少？（３）将抽样的样本频率视为总体概率，若优秀成绩记为１５分，达标成绩记为１0分，不达标成绩记为５分，现在从该校高一学生中随机抽取２人，他们的分值和记为X，求X的分布列．解：（１）设样本总数为n，由频率分布直方图可知：次数在[１00，１１0）间的频率为：0．0１４×１0＝0．１４，所以错误!＝0．１４，解得n＝５0．（２）记抽中不达标学生的事件为C，抽中达标学生的事件为B，抽中优秀学生的事件为A.P（C）＝0．006×１0＋0．0１４×１0＝0．２0；P（B）＝0．0２8×１0＋0．0２２×１0＝0．５0；P（A）＝１—P（B）—P（C）＝0．３0．（３）在高一学生中随机抽取２名学生的成绩和X＝１0，１５，２0，２５，３0．P（X＝１0）＝0．２×0．２＝0．0４；P（X＝１５）＝２×0．２×0．５＝0．２；P（X＝２0）＝0．５２＋２×0．２×0．３＝0．３7；P（X＝２５）＝２×0．３×0．５＝0．３；P（X＝３0）＝0．３２＝0．09．X的分布列为X１0１５２0２５３0P 0．0４0．２0．３70．３0．09１．（２0１8·广东省五校协作体第一次诊断考试）下图是某市１１月１日至１４日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于１00表示空气质量优良，空气质量指数大于２00表示空气重度污染，某人随机选择１１月１日至１２日中的某一天到达该市，并停留３天．（１）求此人到达当日空气重度污染的概率；（２）设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列．解：设A i表示事件“此人于１１月i日到达该市”（i＝１，２，…，１２）．依题意知，P（A i）＝错误!，且A i∩A j＝∅（i≠j）．（１）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A１∪A２∪A３∪A7∪A１２，所以P（B）＝P（A１∪A２∪A３∪A7∪A１２）＝P（A１）＋P（A２）＋P（A３）＋P（A7）＋P（A１２）＝错误!.即此人到达当日空气重度污染的概率为错误!.（２）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，１，２，３，P（ξ＝0）＝P（A４∪A8∪A9）＝P（A４）＋P（A8）＋P（A9）＝错误!＝错误!，P（ξ＝２）＝P（A２∪A１１）＝P（A２）＋P（A１１）＝错误!＝错误!，P（ξ＝３）＝P（A１∪A１２）＝P（A１）＋P（A１２）＝错误!＝错误!，P（ξ＝１）＝１—P（ξ＝0）—P（ξ＝２）—P（ξ＝３）＝１—错误!—错误!—错误!＝错误!.所以ξ的分布列为２．（２0一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行的方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了５0人，将调查结果进行整理后制成下表：求恰有２人不赞成的概率；（２）在（１）的条件下，令选中的４人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．解：（１）由表知，年龄在[１５，２５）内的有５人，不赞成的有１人，年龄在[２５，３５）内的有１0人，不赞成的有４人，恰有２人不赞成的概率为P＝错误!·错误!＋错误!·错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.（２）ξ的所有可能取值为0，１，２，３．P（ξ＝0）＝错误!·错误!＝错误!×错误!＝错误!，P（ξ＝１）＝错误!·错误!＋错误!·错误!＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!，P（ξ＝２）＝错误!，P（ξ＝３）＝错误!·错误!＝错误!×错误!＝错误!，所以ξ的分布列是。
专题二十一概率统计【真题典例】21.1离散型随机变量及其概率分布、超几何分布挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点离散型随机变量及其概率分布,超几何分布1.离散型随机变量及其分布列2.超几何分布2014江苏,22随机事件的概率★★★分析解读随机变量的分布列及期望是江苏高考附加题的热点和重点,试题一般涉及随机事件的概率和随机变量的分布列及期望,难度不大.对于两点分布、超几何分布的分布列和期望要求不高.破考点【考点集训】考点离散型随机变量及其概率分布、超几何分布1.设X是一个离散型随机变量,其分布列为X-101P1-2q q 2求q的值.解析由分布列的性质知∴q=1-.2.已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每个球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出此3球所得分数之和.求X的分布列.解析由题意得X取3,4,5,6,且P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==,P(X=6)==,所以X的分布列为X3456P3.(2019届江苏前黄中学月考)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望.(注:若三个数a,b,c满足a≤b≤c,则称b为这三个数的中位数)解析(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为P==.(2)X的所有可能值为1,2,3,且P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,故X的分布列为X123P从而E(X)=1×+2×+3×=.炼技法【方法集训】方法求离散型随机变量分布列的方法1.(2019届江苏盛泽中学月考)一批零件中有9个合格品与3个废品,安装机器时,从这批零件中随机抽取,取出废品不放回,求在第一次取到合格品之前已取出的废品数的概率分布列.解析设在第一次取到合格品之前已取出的废品数为X,则X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)==;P(X=1)=×=;P(X=2)=××=;P(X=3)=××=.所以所求的概率分布列为X0123P2.(2018江苏丹阳中学月考)某品牌汽车4S店经销A,B,C三种排量的汽车,其中A,B,C三种排量的汽车依次有5,4,3款不同车型.某单位计划购买3辆不同车型的汽车,且购买每款车型等可能.(1)求该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车的概率;(2)记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X,求X的分布列.解析(1)设“该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车”为事件M,则P(M)==.所以该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3.则P(X=1)==,P(X=3)==,P(X=2)=1-P(X=1)-P(X=3)=.所以X的概率分布为X123P过专题【五年高考】A 组自主命题·江苏卷题组(2014江苏,22,10分)盒中共有9个球,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3中的最大数.求X的概率分布和数学期望E(X).解析(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球,所以P===. (2)随机变量X的所有可能取值为2,3,4.{X=4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”,故P(X=4)==;{X=3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球或3个黄球和1个其他颜色的球”,故P(X=3)===;于是P(X=2)=1-P(X=3)-P(X=4)=1--=.所以随机变量X的概率分布如下表:X234P因此随机变量X的数学期望E(X)=2×+3×+4×=.思路分析(1)取出两个颜色相同的球:取出两个绿球,有种情况,取出两个黄球,有种情况,取出两个红球,有种情况,任取两个球有种情况,根据古典概型概率公式求概率即可.(2)先确定X的所有可能取值,然后分别求出每个取值情况下的概率,然后可得分布列,进而求得数学期望.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点随机变量及其分布、超几何分布1.(2018天津理,16,13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.解析本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).所以,随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.(ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥.由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=.所以,事件A发生的概率为.名师点睛超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到某类个体的个数.超几何分布的特点:(1)考察对象分两类;(2)已知各类对象的个数;(3)从中抽取若干个个体,考察某类个体个数X的概率分布.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.2.(2017课标全国Ⅲ理,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?解析本题考查随机变量的分布列,数学期望.(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P(X=200)==0.2,P(X=300)==0.4,P(X=500)==0.4.因此X的分布列为X200300500P0.20.40.4(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.当200≤n<300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.3.(2017山东理,18,12分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.解析本题考查离散型随机变量的分布列,期望.(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,则P(M)==.(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==.因此X的分布列为X01234 PX的数学期望是EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0+1×+2×+3×+4×=2.解后反思(1)求离散型随机变量X的分布列的步骤:①理解X的含义,写出X所有可能的取值.②求X取每个值时的概率;③写出X的分布列.(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取各个值时对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理,古典概型概率公式等知识.4.(2016山东理,19,12分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望EX.解析(1)记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,记事件C:“甲第二轮猜对”,记事件D:“乙第二轮猜对”,记事件E:“‘星队’至少猜对3个成语”.由题意,E=ABCD+BCD+A CD+AB D+ABC,由事件的独立性与互斥性,得P(E)=P(ABCD)+P(BCD)+P(A CD)+P(AB D)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(D)+P()P(B)P(C)P(D)+P(A)·P()P(C)P(D)+P(A)P(B)P()P(D)+P(A)P(B)P(C)·P() =×××+2×=.所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.(2)由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性,得P(X=0)=×××=,P(X=1)=2×==,P(X=2)=×××+×××+×××+×××=,P(X=3)=×××+×××==, P(X=4)=2×==,P(X=6)=×××==.可得随机变量X的分布列为X012346 P所以数学期望EX=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.评析本题考查了随机事件发生的概率及离散型随机变量的分布列与数学期望,确定随机变量可能的取值是解题的关键.属于中档题.C组教师专用题组1.(2015重庆,17,13分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个.(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.解析(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)==.(2)X的所有可能值为0,1,2,且P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.综上知,X的分布列为X012P故E(X)=0×+1×+2×=(个).2.(2012江苏,22,10分)设ξ为随机变量.从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1.(1)求概率P(ξ=0);(2)求ξ的分布列,并求其数学期望E(ξ).解析(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的1个,过任意1个顶点恰有3条棱,所以共有8对相交棱,因此P(ξ=0)===.(2)若两条棱平行,则它们的距离为1或,其中距离为的共有6对,故P(ξ=)==,于是P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=)=1--=,所以随机变量ξ的分布列是ξ01P(ξ)因此E(ξ)=1×+×=.评析本题主要考查概率分布、数学期望等基础知识,考查运算求解能力.3.(2013课标全国Ⅰ理,19,12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是不是优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.解析(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=×+×=.(2)X可能的取值为400,500,800,并且P(X=400)=1--=,P(X=500)=,P(X=800)=.所以X的分布列为X400500800PEX=400×+500×+800×=506.25.4.(2014北京,16,13分)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立):场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;(3)记为表中10个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中的命中次数.比较EX与的大小.(只需写出结论)解析(1)根据投篮统计数据,在10场比赛中,李明投篮命中率超过0.6的场次有5场,分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”.则C=A∪B,A,B独立.根据投篮统计数据,可知P(A)=,P(B)=.P(C)=P(A)+P(B)=×+×=.所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为.(3)EX=.【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共20分)1.(2019届江苏扬州中学月考)已知随机变量X的分布列为P(X=i)=(i=1,2,3),则P(X=2)等于.答案2.(2019届江苏苏州十中月考)随机变量X的概率分布列如下:X1234P0.20.3p0.3则p的值为.答案0.23.(2019届江苏兴化中学月考)设随机变量X等可能取1,2,3,…,n,如果P(X<4)=0.3,则n的值为.答案104.(2018江苏昆山中学月考)已知随机变量X只能取三个值x1,x2,x3,其概率依次成等差数列,则公差d的取值范围为.答案-≤d≤二、解答题(共50分)5.(2019届江苏南京十三中月考)设袋子中装有3个红球,2个黄球,1个蓝球,且规定:取出一个红球得1分,取出一个黄球得2分,取出一个蓝球得3分.从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2个球,记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和,求ξ的分布列.解析由题意得,ξ=2,3,4,5,6.P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,P(ξ=4)==,P(ξ=5)==,P(ξ=6)==,所以ξ的分布列为ξ23456P6.(2019届江苏如皋中学月考)在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张,求:(1)该顾客中奖的概率;(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列.解析(1)该顾客中奖,说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张,由于是等可能地抽取,所以该顾客中奖的概率P===.(2)依题意可知,X的所有可能取值为0,10,20,50,60(元),且P(X=0)==,P(X=10)==,P(X=20)==,P(X=50)==,P(X=60)==.所以X的分布列为:X010205060P7.(2018江苏常州高三期末,22)已知正四棱锥P-ABCD的侧棱和底面边长相等,在这个正四棱锥的8条棱中任取两条,按下列方式定义随机变量ξ的值:若这两条棱所在的直线相交,则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小(弧度制);若这两条棱所在的直线平行,则ξ=0;若这两条棱所在的直线异面,则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制).(1)求ξ=0的概率;(2)求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ).解析根据题意知四棱锥的四个侧面均为等边三角形,底面为正方形,容易得到△PAC,△PBD为等腰直角三角形.ξ的可能取值为0,,,共=28种情况,其中:ξ=0时,有2种;ξ=时,有3×4+2×4=20种;ξ=时,有2+4=6种.(1)P(ξ=0)==.(2)P==,P==.随机变量ξ的分布列如下表:ξ0P故E(ξ)=0×+×+×=π.评析理解随机变量ξ的含义,按照变量的取值分类,求出分布列,进而求得期望,难度适中.8.(2017江苏苏州高三调研测试)口袋里装有大小相同的卡片八张,其中三张标有数字1,三张标有数字2,两张标有数字3.第一次从口袋里任意抽取一张,放回口袋后第二次再任意抽取一张,记第一次与第二次取到卡片上数字之和为ξ.(1)ξ为何值时,其发生的概率最大?说明理由;(2)求随机变量ξ的数学期望E(ξ).解析(1)依题意,随机变量ξ的取值是2,3,4,5,6.因为P(ξ=2)==;P(ξ=3)==;P(ξ=4)==;P(ξ=5)==;P(ξ=6)==.所以,当ξ=4时,其发生的概率最大,最大值为P(ξ=4)=.(2)由(1)知E(ξ)=2×+3×+4×+5×+6×=,所以,随机变量ξ的数学期望E(ξ)=.9.(2018江苏南通高三调研,22)在某公司举行的年终庆典活动中,主持人利用随机抽奖软件进行抽奖,由电脑随机生成一张3×3表格,其中1格设奖300元,4格各设奖200元,其余4格各设奖100元,点击某一格即显示相应金额.某人在表中随机不重复点击3格,记中奖的总金额为X元.(1)求概率P(X=600);(2)求X的概率分布列及数学期望E(X).解析(1)从3×3表格中随机不重复地点击3格,共有种不同情形.则事件:“X=600”包含两类情形:第一类是3格各为200元;第二类是1格为300元,一格为200元,一格为100元,其中第一类包含种情形,第二类包含··种情形.所以P(X=600)==.(2)X的所有可能值为300,400,500,600,700.则P(X=300)===,P(X=400)===,P(X=500)===,P(X=600)=,P(X=700)===.所以X的概率分布列为X300400500600700 P所以E(X)=300×+400×+500×+600×+700×=500(元).。
