导数与函数的单调性
〖模型总结〗
1、 关系式为“加”型
（1）若'()()0f x f x +≥，
则构造[()]'['()()]x
x
e f x e f x f x =+ （2）若'()()0xf x f x +≥， 则构造[()]''()()xf x xf x f x =+ （3）若'()()0xf x nf x +≥， 则构造1
1[()]''()()['()()]n
n
n n x f x x f x nx
f x x xf x nf x --=+=+
(4)若'()()()'()0f x g x f x g x +<，
则构造[])()()()()()('
'
'
x g x f x g x f x g x f ⋅+⋅=⋅
2、关系式为“减”型
（1）若'()()0f x f x -≥，
构造2
()'()()'()()
[]'()x x x x x
f x f x e f x e f x f x e e e --== （2）若'()()0xf x f x -≥， 构造2
()'()()
[
]'f x xf x f x x x -=
（3）若'()()0xf x nf x -≥，
则构造121
()'()()'()()
[]'()n n n n n f x x f x nx f x xf x nf x x x x -+--=
=（备注：本类型仅作了解）
(4)若()()()()x g x f x g x f '-'≥0，
则构造[]2)()
()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f '-'='
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡
口诀：1.加减形式积商定 2.系数不同幂来补 3.符号讨论
不能忘〖教学过程〗
一、真题体验
真题体验Ⅰ (2015年全国新课标卷二理科数学第12题）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当x > 0时，()()0xf x f x '-<，则使得函数()0f x >成立的x 的取值范围是 A.(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞ C ．(,1)(1,0)-∞-- D ．(0,1)
(1,)+∞
真题体验Ⅱ （2017年淮北市第一次模拟理科数学第12题）已知定义在（0，+∞）的函数f （x ），其导函数为f ′（x ），满足：f （x ）＞0且
总成立，则下列不等式成立的是（ ）
A ．e 2e +3f （e ）＜e 2ππ3f （π）
B ．e 2e +3f （π）＞e 2ππ3f （e ）
C ．e 2e +3f （π）＜e 2ππ3f （e ）
D ．e 2e +3f （e ）＞e 2ππ3f （π）
二、考点分析
通过这两题及最近的模拟题我们发现：解决这类单调性问题需要
借助构造新函数，结合函数的导数与函数单调性之间的关系来解决，那么怎样合理的构造新函数就是问题的关键，今天我们一起系统的通过“两大类型及它们蕴含的八大小类型”来探讨一下如何构造新函数解决这类问题。
三、关系式为“加”型 关系式为“加”型Ⅰ：
若'()()0f x f x +≥(≤0、<0、>0，下同) ， 则构造[()]'['()()]x
x
e f x e f x f x =+
例1、设()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足()()f x f x '<-，对于任意的正数a ，下面不等式恒成立的是（ ）
A.()()0a f a e f <
B.()()0a f a e f >
C.()()0a f f a e <
D.()()
0a
f f a e
> 试题分析：构造函数()()x g x e f x =，则''()()()x x g x e f x e f x =+0<，∴()g x 在R
内单调递减，所以(a)g(0)g <，即：()(0)a
e f a f <，∴()()0a
f f a e <.
关系式为“加”型Ⅱ： 若'()()0xf x f x +≥ ， 则构造2
()'()()
[]'f x xf x f x x x -=
例2、已知函数()y f x =是定义在数集R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时，
()()xf x f x '<-成立，若)3(3f a =,)3(lg )3(lg f b =,)4
1
(log )41(log 22f c =,则
,,a b c 的大小关系是（ ）
A. c a b >>
B. c b a >>
C. a b c >>
D. a c b >> 试题分析：因为(,0)x ∈-∞时，()()xf x f x '<-，所以当(,0)x ∈-∞时，()()0xf x f x '--<，又因为函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以当(,0)x ∈-∞时，()()0xf x f x '+<，构造函数()()g x xf x =，则
()()()0,(,0)g x xf x f x x ''=+<∈-∞，所以()g x 在(,0)-∞上是减函数，又
()()g x g x -=，所以()g x 是R 上的偶函数，所以()g x 在(0,)+∞上是增函数，因
2lg 30>>>，所以(2)(lg 3)g g g >>，而21
(2)(2)(log )4
g g g =->，所以
有c a b >>，选A.
关系式为“加”型Ⅲ： 若'()()()'()0f x g x f x g x +<，
则构造
[])()()()()()(''
'x g x f x g x f x g x f ⋅+⋅=⋅
例3、设()()f x g x 、是R 上的可导函数，'()()()'()0f x g x f x g x +<，(3)0g -=，
求不等式()()0f x g x <的解集
变式1：设()()f x g x 、分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，当0x <时，
'()()()'()0f x g x f x g x +>，(3)0g -=，求不等式()()0f x g x <的解集.
关系式为“加”型Ⅳ：
若'()()()'()0f x g x f x g x +<，
