向量的线性相关性及其应用
摘 要:线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对学生来说是很难理解的。向量的相关性所反映的是在数域上的n 维向量空间中向量之间的关系。文章总结出了判断向量线性相关和线性无关的几种方法。同时给出了线性相关性的一些应用。
关键词:线性相关；线性无关；线性组合；极大无关组；坐标变换；过渡矩阵
一． 向量线性相关性及线性组合的基本概念
1． 向量的线性相关性是向量线性相关与线性无关的统称,它刻画的是数域F 上n 维向量
空间中向量之间的关系。在两个向量之间, 最简单的关系是成比例,即是否有一数k 使得k αβ=,而在多个向量之间,成比例的关系表现为线性组合。所谓线性组合,就是如果有数域F 中的数12,s k k k , 使得β =1122s s k k k ααα++ ,那么向量β称为
向量组12,,
s ααα的一个线性组合,或说β可以由向量组12,,s ααα线性表示。特
别地,零向量是任一向量组的线性组合。于是,就引出了线性相关和线性无关的定义:
定义1：对s 个n 维向量12,,s ααα ,若存在一组不全为零的数12,s k k k ,使得
1122s s k k k ααα++=0 ,则称向量组12,,s ααα线性相关; 否则称向量组
12,,s ααα线性无关 。即没有不全为0的数,使1122s s k k k ααα++
= 0 ,就称为
线性无关。 定义2：对于向量组12,,
s ααα 和向量β,如果存在s 个数12,s k k k 使得
1122s s k k k ααα++=β
则称向量β是向量组12,,s ααα的线性组合
二． 关于线性相关性的几种判定
1.
利用定义来判断或证明, 这种方法的证明思路直观,也是证明向量线性相关时最常用
的一种方法。具体步骤是： ⑴可令1122s s k k k ααα++
= 0 ,其中12,s k k k 为常数;
⑵ 把上式展开整理, 解相应的齐次线性方程组; ⑶ 若12
,s k k k 不全为0 , 则原向量组12,,n ααα 线性相关; 若12,s k k k 全
为0 ,则原向量组12,,n ααα 线性无关
2.从逻辑解释上理解我们把线性相关解释为“多余”，线性无关解释为“没有多余”。
由于12,,n ααα 线性无关等价于其中任何一个向量不能由其余向量线性表示，因此向量组12,,
n ααα线性无关看成是12,,n ααα 中“ 没有多余”的向量，如:“如果
一个向量组中的部分组线性相关, 则整个向量组也线性相关”，解释为如果一个向量组中的部分组有多余的向量,则整个向量组也有多余的向量。“如果一个向量组线性无关,则它的任意一个部分组也线性无关”，解释为如果一个向量组中没有多余的向量,则该向量组去掉一些向量后也没有多余的向量。
下面两个定理是学习向量组的线性相关性的过程中最难理解和掌握的。 引理1【1】 设向量组（Ⅰ）12,,
s ααα 可由向量组（Ⅱ）12,,t βββ 线性表示，
且s ＞t ，则12,,
s ααα 线性相关。
我们作如下解释：，向量组（Ⅰ）12,,
s ααα 称为“被表示向量组”，向量组（Ⅱ）
12,,t βββ 称为“表示向量组”。条件s ＞t ，看成是有”多余”的向量。即“被表
示向量组（Ⅰ）12,,s ααα 相对于表示向量组（Ⅱ）12,,
t βββ 有多余的向量，
则12,,
s ααα 线性相关,这样解释便于理解和记忆。
推论1 如果一个向量组12,,
s ααα 线性无关，并且可由向量组12,,
t βββ线性表示。
则s ≤t 。
推论1可解释为：如果“被表示向量组12,,s ααα 线性无关，则被表示的向量组
12,,s ααα 相对于表示向量组12,,t βββ 没有多余的向量，即s ≤t 。
推论2 两个等价的线性无关向量组所含的向量的个数相同。
两个向量组都线性无关，且彼此可相互线性表示，两个向量组彼此相对于另一个向量组都没有多余的向量，得两个向量组所含的向量的个数相同。 下面再举一些例子进行说明。 例1 设向量组12,,
s ααα 线性无关, 且可由向量组12,,t βββ 线性表示,则必有( )。
Ａ.t ≤s Ｂ.t ≥s Ｃ.t ＜s Ｄ.t ＞s
分析：被表示向量组12,,s ααα 线性无关，则被表示向量组12,,s ααα相对于表示向
量组12,,
t βββ 来说，没有多余的向量，因此有t ≥s ，故选择Ｂ。
例2 设向量组（Ⅰ）12,,s ααα；向量组（Ⅱ）12,,t βββ 的秩分别为
1r 和2r ，若（Ⅰ）中每一个向量均可由（Ⅱ）线性表示，则1r 与2r 的关系
是什么？
解：应填“1r ≤2r ”其理由是:
设向量组（Ⅰ）12,,s ααα 的极大无关组为112,,
i i ir a a a ，向量组（Ⅱ）
12,,t βββ
的极大无关组为。则 可由212,,j j jr b b b 线性表示，因112,,i i ir a a a 线性无关, 被表
示向量组112,,
i i ir a a a 相对于表示向量组212,,j j jr b b b 没有多余的向量，则1r ≤
2r 。
3. 向量组12,,
n ααα ( n ≥2) 线性相关的充分必要条件是12,,n ααα 中某一个向量
是其余向量的线性组合 。根据此充要条件可以得到以下两个结论:
⑴ 任一个含零向量的向量组必线性相关, 即零向量是任意向量组的线性组合。
⑵ 单位向量组{1，0，
，0}；{0，1，，0}；{0，0，，1}必线性无关。
4.若向量组A : 12,,
n ααα 均为n 维向量且线性相关,则向量组B : 121,,,n n αααα+也
线性相关。反言之,若向量组B 线性无关,则向量组A 也线性无关 。 利用定义即可证明
5. 向量与矩阵的概念联系向量组12,,n ααα 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵
A = (12,,n ααα) 有r ( A ) n ααα 线性相关,则方程组 ()1212,,
,0n n k k k ααα⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
有非零解。
于是0A = ,等价于秩()r A n < 。
若矩阵A 的秩()r A n < ,则0A = ,因而上述方程组有非零解。即:存在不全为0 的m 个数12
,m k k k ，使得1122n n k k k ααα++= 0 ,也就是12,,n ααα线性相
