如图所示，电阻为R的矩形导线框abcd，边长ab=L，ad=h，质量为m，从某一高度自由落下，通过一匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁场区域的宽度为h。线框恰好以恒定速度通过磁场，此过程中线框中产生的焦耳热是多少？（不考虑空气阻力）
解法一：以线框为研究对象，线框穿过磁场（设线框的速度为v）的时间t=2h/v
线框穿过磁场时产生的感应电流I=Blv/R
由平衡条件可知线框在穿过磁场时所受的安培力F=BIl=mg
由焦耳定律，线框中产生的热量Q=I2Rt
由以上各式解得Q=2mgh
解法二：根据能量守恒定律，线框以恒定速率通过磁场的过程中，重力与线框所受安培力平衡，因此这一过程实质是重力势能转化为内能的过程，所以此过程中线框产生的焦耳热为2mgh
如图所示，abcd为静止于水平面上宽度为L而长度足够长的U形金属滑轨，bc连接电阻R，其他部分电阻不计，ef 为一可在滑轨平面上滑动、质量为m的均匀金属棒，一匀强磁场B 垂直滑轨面。金属棒以一水平细绳跨过定滑轮，连接一质量为M的重物，若重物从静止开始下落，假定滑轮无质量，且金属棒在运动中均保持与bc边平行，忽略所有摩擦力，则：（1）当金属棒做匀速运动时，其速度是多少（忽略bc边对金属棒的作用力）？
（2）若重物从静止开始至匀速运动之后的某一时刻下落的总高度为h，求这一过程中电阻R 上产生的热量?
（1）解析视重物M与金属棒m为一系统，使系统运动状态改变的力只有重物受到的重力
与金属棒受到的安培力，由于系统在开始一段时间里处于加速运动状态，由此产生的安培力是变化的，安培力做功属于变力做功，系统的运动情况分析可以用如下关系表示：
当a=0时，有Mg－F安=0，得v=
（2）题设情况涉及的能量转化过程可用如下关系表示：
显然应有
得
如图所示，相距为L的足够长的光滑平行金属导轨水平放置，处于磁感应强度为B，方向竖直向上的匀强磁场中。导轨一端连接一阻值为R的电阻，导轨本身的电阻不计，一质量为m，电阻为r的金属棒ab横跨在导轨上。现对金属棒施一外力F，使其从静止开始运动，运动过程中外力F的功率恒定为P0
(1)金属棒能达到的最大速度为多大？
(2)若金属棒从静止开始到最大速度用时为t，此过程金属棒产生了多少热量？
如图所示，两光滑金属导轨平行放置于磁感应强度为B 的匀强磁场中，它们相距L ，阻值不计，两阻值都为R 的金属杆垂直导轨放置，ab,cd 的质量都为m 。开始时都静止，现给ab 杆一个垂
直于ab 杆的初速度V0，试求两杆从开始运动到稳定过程
中，回路产生的电能和电热。
解析：设两杆最终速度为V ，由动量守恒有：mV mV 20=,解得2
V V =
。再设ab 杆克服安培力做功为W ，回路产生的热量为Q ，对ab 杆应用动能定理有：2202121mV mV W -=
，将V 代人可得：208
3
mV W =。根据能量守恒有：202204
1
22121mV mV mV Q =⨯-=,由计算可知W ＞Q,这时克服安培力做功等
于回路产生的电能，但大于回路产生的电热；另一部分的电能通过安培力对cd 杆做功转化成了机械能。也就是说，在纯电阻回路中有两个以上部分切割磁感线时，克服安培力做功等于回路产生的电能，但不一定等于回路产生的电热。
如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r 0＝0.10 Ω/m ，导轨的端点P 、Q 用电阻可以忽略的导线相连，两导轨间的距离L ＝0.20 m ．有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感应强度B 与时间t 的关系为B ＝kt ，比例系数k ＝0.020 T/s.一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直．在t ＝0时刻，金属杆紧靠在P 、Q 端，在外力作用下，杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在t s 时间内金属杆克服安培力所做的功及回路产生的电能和电热．
解析：用a 表示杆的加速度，则在t 时刻杆与初始位置的距离为22
1at X =
此时杆的速度为V=at ，这时杆与导轨构成回路的面积为S=LX 。
回路中的感应电动势为BLV SK BLV S t
B
E +=+∆∆=，回路总电阻为02Xr R =，回路感应电流为I=E/R ，作用在杆上的安培力为F=BIL ，解得t r L K
F 0
2
223=
，杆克
服安培力做功atdt r t L K FVdt W ⨯==⎰02223，积分得03
222r at L K W =
。回路产生的电能和电热为⎰⎰⨯==dt Xr I Rdt I Q 02
2
2，积分得0
3
2243r at L K Q =，从计算知W ＜Q ，
这是因为克服安培力做功把机械能转化成电能的同时，还有感生电动势把磁场能转化成回路的电能的缘故，所以克服安培力做功在有感生电动势的纯电阻回路中不等于回路产生的电能和电热。
如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 间距为l=0.5 m ，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角，完全相同的两金属棒ab 、cd 分别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，已知两棒质量均为m=0.02 kg ，电阻均为R=0.1 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B=0.2 T ，棒ab 在平行于导轨向上的力F 作用下，沿导轨向上匀速运动，而棒cd 恰好能够保持静止。取g=10 m/s2，问： (1)通过棒cd 的电流I 是多少，方向如何？ (2)棒ab 受到的力F 多大？
(3)棒cd 每产生Q=0.1 J 的热量，力F 做的功W 是多少？
(1)棒cd 受到的安培力为：F cd =IlB ①
棒cd 在共点力作用下平衡，则：F cd =mgsin30° ② 由①②式，代入数据解得：I=1 A ③
根据楞次定律可知，棒cd 中的电流方向由d 至c ④ (2)棒ab 与棒cd 受到的安培力大小相等，即：F ab =F cd 对棒ab ，由共点力平衡知：F=mgsin30°+IlB ⑤ 代入数据解得：F=0.2 N ⑥
(3)设在时间t 内棒cd 产生Q=0.1 J 热量，由焦耳定律知：Q=I 2Rt ⑦ 设棒ab 匀速运动的速度大小为v ，其产生的感应电动势为：E=Blv ⑧
由闭合电路欧姆定律知： ⑨
