二阶线性偏微分方程的分类

我们在解析几何中知道对于二次实曲线
其中
为常数，且设
则当
时，上述二次曲线分别为双
曲线、抛物线和椭圆．受此启发，下面我们来对二阶线性偏
微分方程进行分类. 下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行
理论分析．而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨 论的基本方法是一样的．
两个自变量(x, y)的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为
含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下 面的形式：
其中 L 是二阶线性偏微分算符，G是x,y的函数．
线性偏微分算符有以下两个基本特征：
2．抛物型偏微分方程
因为抛物型偏微分方程的判别式 线是一族实函数曲线． 其特征方程的解为
因此令 进行自变量变换，则原偏微分方程变为
，所以特征曲 (10.3.5)
(10.3.6)
上式称为抛物型偏微分方程的标准形式．
3.椭圆型偏微分方程
椭圆型偏微分方程的判别式
，所以特征曲线是
一组共轭复变函数族．其特征方程的解为
（10.4.6）
还可以进一步化简．上式中小写字母 为了化简，不妨令 从而有
均为常系数． (10.4.7)
3.椭圆型
对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(含常系数) (10.4.8)
还可以进一步进行化简．上式中小写字母的 为常系数．
为了化简，不妨令 从而有 其中
(10.4.9)
10.5 线性偏微分方程解的特征
和
是一
对共轭的复函数，或者说，偏微分方程(10.2.1)的两条特征线是
一对共轭复函数族．于是
是一对共轭的复变量．进一步引进两个新的实变量
于是 所以 方程(10.2.11)又可以进一步化为
这种类型的方程称为椭圆型方程．拉普拉斯(Laplace)方程、 泊松(Poisson)方程和Helmholtz 方程都属于这种类型．
(5)准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最
高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程．
(6)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的
项称为自由项．
例如 ： 方程的通解和特解概念
二阶线性非齐次偏微分方程
的通解为
其中
是两个独立的任意函数．因为方程为
二阶的，所以是两个任意的函数．若给函数
设特征方程的解为
令
(10.3.2)
进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式
(10.3.3) 上式称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式，再作变量 代换，令 或
则偏微分方程又变为
(10.3.4) 上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式．
注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如
与
是两个不同的函数。
第十章 二阶线性偏微分方程的 分类
本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方 法和偏微分方程的标准化. 特别对于常系数的二阶线性偏 微分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微 分方程求解是十分有用的.
10.1 基本概念
(1) 偏微分方程 含有未知多元函数及其偏导数的方程，如
其中 是未知变量；
若令
(10.3.7)
作自变量变换，则偏微分方程变为
(10.3.8)
上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式．
(10.3.9)
10.4 二阶线性常系数偏微分方程的进一步 化简
如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还 可以进一步化简．下面按三种类型分别介绍化简的方法
1.双曲型
对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还 可进一步化简
注：上式中用小写字母
代表常系数，以便与
大写字母代表某函数区别开来, 例如
．为了化简，
我们不妨令
从而有
பைடு நூலகம்
(10.4.2)
其中
由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进 一步化简
(10.4.3)
式中
均为常系数．若令
则有 其中
(10.4.4) (10.4.5)
2.抛物型
对于含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）
是未知多元函数，而 为 的偏导数. 有时为了书
写方便，通常记
(2)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方
程的阶．
(3)方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微
分方程的次数．
(4)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所
有（组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程， 高于一次以上的方程称为非线性方程．
即可使得
．同时，根据(10.2.4)式，就可以断定
．所以，方程(10.2.6) 即为
(10.2.4)
或者进一步作变换 于是有 所以
又可以进一步将方程(10.2.11)化为
这种类型的方程称为双曲型方程．我们前面建立的波动方 程就属于此类型．
2．当判别式
时：这时方程
(10.2.10)一定有重根
因而只能求得一个解，例如，
指定为
特殊的
，则得到的解
称为方程的特解．
n阶常微分方程的通解含有n个任意常数，而n阶偏微分方 程的通解含有n个任意函数．
10.2 数学物理方程的分类
在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的 偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程．这三类方 程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解 也表现出各自不同的特点．
，特征线为
一条实特征线．作变换
就可以使
由(10.2.4)式可以得出，一定有
，故可推出
．这样就可以任意选取另一个变换，
只要它和
彼此独立，即雅可俾式
即可．这样，方程(10.2.6)就化为
此类方程称为抛物型方程．热传导（扩散）方程就属于 这种类型．
3. 当判别式
时：这时，可以重复上
面的讨论，只不过得到的
其中
定理10.2.1 如果
的一般积分，则
（10.2.1）
为
的已知函数．
是方程
(10.2.2)
是方程
(10.2.3) 的一个特解． 在具体求解方程(10.2.10)时，需要分三种情况讨论判别式
1. 当判别式 以求得两个实函数解
时，从方程(10.2.10)可
也就是说，偏微分方程(10.2.1)有两条实的特征线．于是，令
综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只
需讨论判别式
即可.
10.3 二阶线性偏微分方程标准化
对于二阶线性偏微分方程
若判别式为 线性偏微分方程分为三类：
(10.3.1) ，则二阶
时，方程称为双曲型; 时，方程称为抛物型; 时，方程称为椭圆型;
1.双曲型偏微分方程
因为双曲型方程对应的判别式 所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，