限时作业62 随机变量的数学期望与方差
一、选择题
1.下列说法中，正确的是( )
A.离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的概率平均值
B.离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的平均水平
C.离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的平均水平
D.离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的概率平均值
解析:离散型随机变量X的均值反映了离散型随机变量×取值的平均水平,随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.
答案:C
则D(X)等于( )
A.0
B.0.8
C.2
D.1
解析:根据方差的计算公式,易求V(X)＝0.8.
答案:B
3.若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则E(X)和D(X)分别为( )
A.0.5和0.25
B.0.5和0.75
C.1和0.25
D.1和0.75
解析:∵X服从两点分布，
∴X的概率分布为
D(X)＝0.52×0.5+(1－0.5)2×0.5＝0.25.
答案:A
4.离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝p k q1－k(k＝0,1,p+q＝1)，则EX与DX依次为( )
A.0和1
B.p和p2
C.p和1－p
D.p和p(1－p)
解析:根据题意，EX＝0×q+1×p＝p,DX＝(0－p)2q+(1－p)2p＝p(1－p)或可以判断随机变量X 满足两点分布，所以EX与DX依次为p和p(1－p)，选D.
答案:D
5.已知X～B(n,p),EX＝8,DX＝1.6，则n与p的值分别是( )
A.100,0.08
B.20,0.4
C.10,0.2
D.10,0.8
解析:由于X～B(n,p),EX＝8,DX＝1.6，即np＝8,np(1－p)＝1.6，
可解得p＝0.8，n＝10，应选D.
答案:D
二、填空题
6.①连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数为X;②南京长江大桥一天经过的车辆数为X;③某型号彩电的寿命为X；④连续抛掷两枚骰子，所得点数之和为X；⑤某种水管的外径与内径之差X.
其中是离散型随机变量的是____________.(请将正确的序号填在横线上)
解析:②④中X的取值有限，故均为离散型随机变量；①中X的取值依次为1,2,3,…,虽然无限，但可按从小到大顺序列举，故为离散型随机变量;而③⑤中X的取值不能按次序一一列举，故均不是离散型随机变量.
答案:①②④
7.设l 为平面上过点(0，1)的直线，l 的斜率等可能地取2
5,3,22-
--,0,22,3,25,
用X 表示坐标原点到l 的距离，则随机变量ξ的数学期望EX ＝__________. 解析:设直线方程为y ＝kx+1，则点(0，1)到直线的距离1
12
+=
k X ，将k 取
2
5
,3,22-
--0,22,3,25代入，分别求得距离为32,21,31,1,31,21,32,由于l 的斜率
取什么值是等可能的，
因此771737273=⨯+⨯+⨯+⨯=EX .
答案:7
4
8.一只青蛙从数轴的原点出发，当投下的硬币正面向上时，它沿数轴的正方向跳动两个单位;当投下的硬币反面向上时，它沿数轴的负方向跳动一个单位.若青蛙跳动4次停止，设停止时青蛙在数轴上对应的坐标为X ，则E(X)＝__________. 解析:所有可能出现的情况分别为
硬币4次都反面向上，则青蛙停止时坐标为x 1＝－4,此时概率16
11=
p ; 硬币3次反面向上而1次正面向上，则青蛙停止时坐标为x 2＝－1,此时概率
16
121)21(33
42=⨯⨯=C p ;
硬币2次反面向上而2次正面向上，则青蛙停止时坐标为x 3＝2,此时概率
16
1)21()21(222
43=⨯⨯=C p ;
硬币1次反面向上而3次正面向上，则青蛙停止时坐标为x 4＝5,此时概率
16
4)21()21(311
44=⨯⨯=C p ;
硬币4次都正面向上，则青蛙停止时坐标为x 5＝8,此时概率16
1)2
1
(4
45=
⨯=C p , ∴E(X)＝x 1p 1+x 2p 2+x 3p 3+x 4p 4+x 5p 5＝2. 答案:2
三、解答题
9.设有甲、乙两门火炮，它们的弹着点与目标之间的距离为随机变量X 1和X 2(单位：cm),其分布列为：
求EX 1,EX 2,DX 1,DX 2，并分析两门火炮的优劣. 解:根据题意，有EX 1＝82×0.2+83×0.2+90×0.2+92×0.2+98×0.2＝89, EX 2＝(82+86.5+90+92.5+94)×0.2＝89， DX 1＝(82－89)2×0.2+(83－89)2×0.2+(90－89)2×0.2+(92－89)2×0.2+(98－89)2×0.2＝35.2， DX 2＝(82－89)2×0.2+(86.5－89)2×0.2+(90－89)2×0.2+(92.5－89)2×0.2+(94－89)2×0.2＝18.5. ∵EX 1＝EX 2，故两门火炮的平均性能相当，
但DX 1＞DX 2，故乙火炮相对性能较稳定，则甲火炮相对分布较分散，性能不够稳定. 10.设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率为4
3，遇到红灯(禁止通行)的概率为
4
1
.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地才停止前进，X 表示停车时已经通过的路口数，求： (1)X 的概率分布及期望EX;
(2)停车时最多已通过3个路口的概率. 解:(1)X 的所有可能值为0，1，2，3，4,
用A k 表示“汽车通过第k 个路口时不停(遇绿灯)”，
则P(A k )＝
4
3
(k ＝1,2,3,4),且A 1,A 2,A 3,A 4独立. 故P(X ＝0)＝P(1A )＝4
1
,
P(X ＝1)＝P(A 1·2A )＝163
4143=⨯,
P(X ＝2)＝P(A 1·A 2·3A )＝649
41)43(2=⨯
P(X ＝3)＝P(A 1·A 2·A 3·4A )＝25627
41)43(3=⨯,
P(X ＝4)＝P(A 1·A 2·A 3·A 4)＝256
81
)43(4=,
256
2564256364216140=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=EX .
(2)P(X ≤3)＝1－P(X ＝4)＝256
175
256811=-. ∴停车时最多已通过3个路口的概率为256
175
.
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