中值定理和导数的应用.ppt

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注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满 足,其结论可能不成立.
如图3.1.2(b)
yx,x[1,1];
在 [2,2]上除 f(0)不存,在 满外 足罗尔定理 一切条 ,但件 在 (1,1)内找不到一f点 (x)能 0.使
如图3.1.2(a),函数f (x)=
x0, ,0x≤=x1＜1
它在闭区间［0,1］上不连续；
(2) 若M m，则 M 和 m 之中至少有一个不等于 f (a)， 否则 f (x)必恒为常数。 不妨设M f (a)，即最大值M不是端点处的函数值。
设在点(a, b)处，函数f (x)取得最大值f () = M，
则对一切x(a, b)， 都有f (x) f ()，
即f ( x) f ( ) 0. 由条件(ii)，f (x)在点可导，
显然，f (x)在[x1, x2]上连续, 在(x1 ,x2)内可导， 由拉格朗日定理知，
f ( x x ) f ( x ) f ( x x ) x (0,1)
拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 拉格朗日中值定理又称有限增量定理.
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推论1 设函数f (x)在区间I上可导，且f (x) 0，
则f (x)在I上为常数。
证 在I内任取两点x1和x2， 不妨设x1 < x2.
伯努利家族
伯努利家族，这个非凡的瑞士家族产生过十一个数学家的家族。伯努利 家族在数学与科学上的地位正如巴赫家族在音乐领域的地位一样地显赫。 （其中三位是杰出的，他们是雅可布、约翰、丹尼尔），他们又生出了在许 多领域里崭露头角的成群后代。
⑴雅科布·伯努利（Jakob Bernoulli,1654～1705)。巴塞尔大学教授。变分 法的创始人之一。曾和莱布尼茨共同获得过微积分学的不少结果，对常微分 方程的积分法有贡献，也是概率论的早期研究者，提出了关于大数法则的伯 努利定理及伯努利数。
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如图3.1.2(c)，函数f (x)=x2，在闭区间［0,1］
上端点处函数值不相等.
y
y
ywenku.baidu.com
1
1
O
x
1
O
1x O
1x
图3.1.2
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例1 证明方x5程 5x10有且仅有一个 1的正实 . 根
证 设 f(x )x 5 5 x 1 , 则f(x)在 [0,1]连,续
且 f(0 ) 1 ,f( 1 ) 3 . 由介值定理
第三章 中值定理和导数的应用
数数学学家家----------伯伯努努利利家家族族 第第一一节节 微微分分中中值值定定理理 第第二二节节 洛洛必必达达法法则则
第第三三节节 第第四四节节
函函数数的的单单调调性性极急值值和和最最大大最最小小值值 曲曲线线的的凹凹凸凸性性和和函函数数作作图图
第第五五节节 弧弧微微分分 曲曲率率
x 0 ( 0 ,1 )使 ,f( x 0 ) 0 .即为方程的小于1的正实根. 设x 1 另 (0 ,1 )x 有 1 , x 0 ,使 f(x1)0.
f(x)在x0,x1之间满足罗尔件 定, 理的条
至少存 (在 x 在 0,x1之 一 )使 间 ,个 f得 ()0.
但 f(x )5 (x4 1 )0,(x (0,1))矛盾,
⑵约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667～1748）。雅科布的弟弟。巴塞 尔大学的医学博士。历任荷兰格罗宁根大学和巴塞尔大学教授。也是变分法 的创始人之一。在微积、微分方程、几何和力学方面有贡献。
⑶丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli,1700～1782)。约翰的次子。巴塞尔大 学医学博士。曾去俄国彼得堡科学院任教，回国后任巴塞尔大学教授。在流 体力学、气体动力学、微分方程和概率论等方面都有贡献。1738年出版《流 体动力学》一书，提出的著名的伯努利定理。他解决的微分方程现称为伯努 利方程。
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几何解释:
y
C1
在曲线弧AB上至少有
一点C,在该点处的切 A
线平行于弦AB.
O a
B
C1
b
x
若令f (a) = f (b)， 则结论成为f () = 0。
可见, 罗尔定理是拉格朗日定理的特例。
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公式可写成下列形式:
拉格朗日中值公式
f ( b ) f ( a ) f ( a ( b a )b ) a )(
为惟一实根 .
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二、拉格朗日定理
定理2 (拉格朗日定理)
设函数f (x)满足（：i）在闭区间[a, b]上连续；
（ii）在开区间(a, b)内可导，
则至少存在一点(a,
b)，使f()f(b)f(a)
ba
（分析）要证
f()f(b)f(a),
ba
即
f()f(b)f(a)0.
ba 只需证： [f(x)f(b b ) a f(a)x]x 0. 以下作辅助函数，利用罗尔定理给出证明. 返回
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§3.1 微分中值定理
➢1 罗尔定理 ➢2 拉格朗日定理 ➢3. 柯西定理
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微分中值定理
微分学的理论基础
导数与应用的桥梁
核心是拉格朗日中值定理，罗尔定理是 它的特例，柯西定理是它的推广。
我们首先介绍罗尔定理
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一、罗尔定理
定理1（罗尔定理） 设函数 f (x)满足： （i）在闭区间[a, b]上连续；
（ii）在开区间(a, b)内可导； （iii）f (a)= f (b). 则至少存在一点 (a,b)使 f() 0 证: 由(i )知: f (x)在[a, b]上必取得最大值M和最小值m . (1) 若M = m，则f (x)在[a, b]上恒为常数， 因此 f (x) 0，
所以对于任一点 (a, b)，都有f () = 0；返回
证明 令 F (x ) f(x ) f( b ) f( a )x , x [ a ,b ] b a
F(b)b(fa)a(fb)F(a) ba
由罗尔定理知，至少存在一点 (a,b),
使得 F()0, 即 f()f(b)f(a).
ba
或
f( b ) f( a ) f()b (a )
该公式对 a< b及a >b均成立。
于是，当x >0时， f(x)f()0,
x
从而，
lx i0 m f( x x )f()f ()0.
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同理, 当x<0时,有 f(x)0
因导数存在, f() f (x ) f (x )
所以
f()0.
几何解释:
在曲线弧AB上至少有一 点C, 在该点处的切线是 水平的.
C y
yf(x)
A
B
O
a
x b