2017中考数学专题复习之数与式
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第一章 数与式第一讲 实数
【基础知识】
一、实数的分类:
1、按实数的定义分类: 实数 有限小数或无限循环数
2、按实数的正负分类:
实数
【名师提醒:1、正确理解实数的分类。
如:
是
数,不是 数,
2
π
是 数,不是 数。
2、0既不是 数,也不是 数,但它是自然数】
7
22
二、实数的基本概念和性质
1、数轴:规定了 、 、 的直线叫做数轴, 和数轴上的点是一一对应的,数轴的作用有 、 、 等。
2、相反数:只有 不同的两个数叫做互为相反数,a 的相反数是 ,0的相反数是 ,a 、b 互为相反数
⇔3、倒数:实数a 的倒数是 , 没有倒数,a 、b 互为倒数 ⇔4、绝对值:在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。
=
a 因为绝对值表示的是距离,所以一个数的绝对值是 数,我们学过的非负数有三个: 、 、 。
【名师提醒:a+
b 的相反数是 ,a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数,相反数等于本身的数是 ,倒数等于本身的数是 ,绝对值等于本身的数是
】
三、科学记数法、近似数和有效数字。
1、科学记数法:把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。
其中
a 的取值范围是 。
2、近似数和有效数字:
⎪⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨
⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪
⎨⎧正无理数无理数负分数 零正整数整数有理数 无限不循环小数
⎧
⎨
⎩⎧⎨
⎩
正数正无理数
零 负有理数
负数 (a >0) (a <0)
0 (a=0)
e
a
t
h
n
g
一般的,将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数,这时,从数字起到近似数的最后一位止,中间所有的数字都叫这个数的有效数字。
【名师提醒:1、科学记数法不仅可以表示较大的数,也可以表示较小的数,其中a的取值范围一样,n的取值不同,当表示较大数时,n的值是原整数数位减一,表示较小的数时,n是负整数,它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数数位上的零)。
2、近似数3.05万是精确到位,而不是百分位】
四、数的开方。
1、若x2=a(a 0),则x叫做a的,记做±,其中正数a的平方根叫做a的
a
算术平方根,记做,正数有个平方根,它们互为,0的平方根是,负数平方根。
2、若x3=a,则x叫做a的,记做,正数有一个的立方根,0的立方根是
3a
,负数立方根。
【名师提醒:平方根等于本身的数有个,算术平方根等于本身的数有,立方根等于本身的数有。
】
【重点考点例析】
考点一:无理数的识别。
A.πB.C.0D.-1
1
5
.对应训练
考点二、实数的有关概念。
例2 (2015•遵义)如果+30m表示向东走30m,那么向西走40m表示为( )
A.+40m B.-40m C.+30m D.-30m
例3 (2015•资阳)16的平方根是( )
A B.C D.
2.(2015•盐城)如果收入50元,记作+50元,那么支出30元记作( )
A.+30B.-30C.+80D.-80 3.(2015•珠海)实数4的算术平方根是( )
g
s
i
n
t
h
e
i
b
e
i
a
r
e
o
A B C.D.
5.(2015•南京)-3的相反数是;-3的倒数是。
6.(2015•湘西州)-2013的绝对值是.
7.(2015•宁波)实数-8的立方根是.
考点三:实数与数轴。
例5 (2015•广州)实数a在数轴上的位置如图所示,则|a-2.5|=( )
A.a-2.5B.2.5-a C.a+2.5D.-a-2.5
对应训练
8.(2015•连云港)如图,数轴上的点A、B分别对应实数a、b,下列结论中正确的是( )
A.a>b B.|a|>|b|C.-a<b D.a+b<0
考点四:科学记数法。
例6 (2015•威海)花粉的质量很小,一粒某种植物花粉的质量约为0.000037毫克,已知
1克=1000毫克,那么0.000037毫克可用科学记数法表示为( )
A.3.7×10-5克B.3.7×10-6克C.37×10-7克D.3.7×10-8克
对应训练
9.(2015•潍坊)2012年,我国财政性教育经费支出实现了占国内生产总值比例达4%的目标,其中在促进义务教育均衡方面,安排农村义务教育经费保障机制改革资金达865.4亿元,数据“865.4亿元”用科学记数法可表示为( )元.
A.865×108B.8.65×109C.8.65×1010D.0.865×1011 10.(2015•绵阳)2013年,我国上海和安徽首先发现“H7N9”禽流感,H7N9是一种新型禽
流感,其病毒颗粒呈多形性,其中球形病毒的最大直径为0.00000012米,这一直径用科学
记数法表示为( )
A.1.2×10-9米B.1.2×10-8米C.12×10-8米D.1.2×10-7米
考点五:非负数的性质
A.0B.1C.-1D.±1
对应训练
A.m>6B.m<6C.m>-6D.m<-6
【2016中考名题赏析】
1.(2016•威海)﹣的相反数是( )
A.3 B.﹣3 C. D.﹣
e a
l 2.(2016•贺州)
的相反数是( )
A .﹣
B .
C .﹣2
D .2
3.(2016•咸宁)冰箱冷藏室的温度零上
5℃,记作+5℃,保鲜室的温度零下
7℃,记作( )
A .7℃
B .﹣7℃
C .2℃
D .﹣12℃
4.(2016•临沂)四个数﹣3,0,1,2,其中负数是( )
A .﹣3
B .0
C .1
D .2
5.(2016•天津)实数a ,b 在数轴上的对应点的位置如图所示,把
﹣a ,﹣b ,0按照从小到大的顺序排列,正确的是( )
A .﹣a <0<﹣b
B .0<﹣a <﹣b
C .﹣b <0<﹣a
D .0<﹣b <﹣a 6.(2016•常德)下面实数比较大小正确的是( )
A .3>7
B .
C .0<﹣2
D .22<3
7.(2016•江西)下列四个数中,最大的一个数是(
)
A .2
B .
C .0
D .﹣2
8.(2016•泰安)如图,四个实数m ,n ,p ,q 在数轴上对应的点分别为
M ,N ,P ,Q ,若n+q=0,则m ,n ,p ,q 四个实数中,绝对值最大的一个是(
)
A .p
B .q
C .m
D .n 9.(2016•北京)实数a ,b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是( )
A .a >﹣2
B .a <﹣3
C .a >﹣b
D .a <﹣b
10.(2015•临沂)拒绝“餐桌浪费”,刻不容缓.据统计全国每年浪费食物总量约50 000 000 000千克,这个数据用科学记数法表示为( )A .0.5×1011千克 B .50×109千克 C .5×109千 D .5×1010千克11.(2015•德州)森林是地球之肺,每年能为人类提供大约28.3亿吨的有机物.28.3亿吨用科学记数法表示为( )A .28.3×107B .2.83×108C .0.283×1010D .2.83×109
12.(2015•菏泽)明明同学在“百度”搜索引擎输入“钓鱼岛最新消息”,能搜索到与之相关
A.点A的左边B.点A与点B之间
C.点B与点C之间D.点B与点C之间或点C的右边
【真题过关】
一、选择题
1.(2016•广州)中国人很早开始使用负数,中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章,在世界数学史上首次正式引入负数.如果收入100元记作+100元.那么﹣80元表示( )
A.支出20元B.收入20元C.支出80元D.收入80元2.(2016•宜昌)如果“盈利5%”记作+5%,那么﹣3%表示( )A.亏损3% B.亏损8% C.盈利2% D.少赚3% 3.(2016•金华)如图是加工零件的尺寸要求,现有下列直径尺寸的产品(单位:mm),其中不合格的是( )
A.Φ45.02 B.Φ44.9 C.Φ44.98 D.Φ45.01
4.(2016•衢州)在,﹣1,﹣3,0这四个实数中,最小的是( )
A. B.﹣1 C.﹣3 D.0
5.(2016•达州)下列各数中最小的是( )
A.0 B.﹣3 C.﹣D.1
6.(2016•桂林)下列实数中小于0的数是( )
A.2016 B.﹣2016 C. D.
7.(2015•包头)若|a|=-a,则实数a在数轴上的对应点一定在( )
A.原点左侧B.原点或原点左侧
C.原点右侧D.原点或原点右侧
h i n
8.(2015•遵义)如图,A 、B 两点在数轴上表示的数分别是a 、b ,则下列式子中成立的是( )A .a+b <0B .-a <-b C .1-2a >1-2b D .|a|-|b|>0
二.填空题
12.(2015•的平方根是
.
13.(2015•+|a+b+1|=0,则a b =
.
第二讲 实数的运算
【重点考点例析】
考点一:实数的大小比较。
对应训练
1.(2015•内江)下列四个实数中,绝对值最小的数是( )A .-5
B .
C .1
D .4
考点二:估算无理数的大小
A .1与2之间
B .2与3之间
C .3与4之间
D .4与5之间
考点三:有关绝对值的运算
对应训练
n g
a r
e g
o 3.(2015•永州)已知
,则
的值为 .
0||||a b a b +=||
ab
ab
考点四:实数的混合运算。
考点五:实数中的规律探索。
例5 (2015•永州)我们知道,一元二次方程x 2=-1没有实数根,即不存在一个实数的平方等于-1.若我们规定一个新数“i”,使其满足i 2=-1(即方程x
2=-1有一个根为i ).并且进一步规定:一切实数可以与新数进行四则运算,且原有运算律和运算法则仍然成立,于是有i 1=i ,i 2=-1,i 3=i 2•i=(-1)•i=-i ,i 4=(i 2)2=(-1)2=1,从而对于任意正整数n ,我们可以得到i 4n+1=i 4n •i=(i 4)n •i=i ,同理可得i 4n+2=-1,i 4n+3=-i ,i 4n =1.那么i+i 2+i 3+i 4+…+i 2012+i 2013的值为( )A .0B .1C .-1D .i 对应训练
【2016中考名题赏析】1.(2016•永州)下列运算正确的是( )A .﹣a •a 3=a 3B .﹣(a 2)2=a 4C .x ﹣
x=
D .(﹣2)(
+2)=﹣1
2.(2016•咸宁)下列运算正确的是( )
A .
﹣
=
B .
=﹣3 C .a •a 2=a 2D .(2a 3)2=4a 6
3.(2016•河南)下列计算正确的是( )
A .
﹣
=
B .(﹣3)2=6
C .3a 4﹣2a 2=a 2
D .(﹣a 3)2=a 5
4.(2016•桂林)计算3
﹣2
的结果是( )
A .
B .2
C .3
D .6
5.(2016•天津)估计的值在( )
A .2和3之间
B .3和4之间
C .4和5之间
D .5和6之间6.(2016•资阳)的运算结果应在哪两个连续整数之间( )A .2和3 B .3和4 C .4和5 D .5和6【备考真题过关】一、选择题
e n
t h
e 1.(2015•广州)比0大的数是( )A .-1
B .-
C .0
D .1
12
2.(2015•重庆)在-2,0,1,-4这四个数中,最大的数是( )A .-4B .-2C .0D .13.(2015•天津)计算(-3)+(-9)的结果等于( )A .12B .-12C .6D .-64.(2015•河北)气温由-1℃上升2℃后是( )A .-1℃B .1℃C .2℃D .3℃5.(2015•自贡)与-3的差为0的数是( )
A .3
B .-3
C .
D .-
13
1
3
6.(2015•温州)计算:(-2)×3的结果是( )A .-6B .-1C .1D .6
7.(2015•厦门)下列计算正确的是( )A .-1+2=1B .-1-1=0C .(-1)2=-1
D .-12=18.(2015•南京)计算:12-7×(-4)+8÷(-2)的结果是( )A .-1
B .1
C .
D .7
10.(2015•南京)设边长为3的正方形的对角线长为a .下列关于a 的四种说法:①a 是无理数;②a 可以用数轴上的一个点来表示;③3<a <4;④a 是18的算术平方根.其中,所有正确说法的序号是( )A .①④B .②③C .①②④D .①③④14.(2015•河南)计算:=
.
15.(2015•且小于
的整数是
.
17.(2015•牡丹江)定义一种新的运算a ﹠b=a b ,如2﹠3=23=8,那么请试求(3﹠2)
﹠2= .
三、解答题
n t
n
h
i
e
n
第三讲整式
【基础知识回顾】
一、整式的有关概念:
:由数与字母的积组成的代数式
1、整式:
多项式:。
单项式中的叫做单项式的系数,所有字母的叫做单项式的次数。
组成多项式的每一个单项式叫做多项式的,多项式的每一项都要带着前面的符号。
2、同类项:
①定义:所含相同,并且相同字母的也相同的项叫做同类项,常数项都是同类项。
②合并同类项法则:把同类项的相加,所得的和作为合并后的,不变。
【名师提醒:1、单独的一个数字或字母都是式。
2、判断同类项要抓住两个相同:一是相同,二是相同,与系数的大小和字母的顺序无关。
】
二、整式的运算:
1、整式的加减:①去括号法则:a+(b+c)=a+ ,a-(b+c)=a- .
②添括号法则:a+b+c= a+( ),a-b-c= a-( )
③整式加减的步骤是先,再。
【名师提醒:在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号,特别强调:括号前是负号去
括号时括号内每一项都要。
】
2、整式的乘法:
①单项式乘以单项式:把它们的系数、相同字母分别,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的作为积的一个因式。
②单项式乘以多项式:用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积,即
m(a+b+c)= 。
③多项式乘以多项式:先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项,再把所得
的积,即(m+n)(a+b)= 。
④乘法公式:Ⅰ、平方差公式:(a+b)(a—b)=,
Ⅱ、完全平方公式:(a±b)2 = 。
【名师提醒:1、在多项式的乘法中有三点注意:一是避免漏乘项,二是要避免符号的错误,三是展开式中有同类项的一定要。
2、两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用,要注意各自的形式特点,灵活进行运用。
】
3、整式的除法:
e t h i e i r
①单项式除以单项式,把 、 分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
②多项式除以单项式,先用这个多项式的每一项 这个单项式,再把所得的商 。
即(am+bm )÷m= 。
三、幂的运算性质:
1、同底数幂的乘法: 不变 相加,即:a m a n = (a >0,m 、n 为整数)
2、幂的乘方: 不变 相乘,即:(a m ) n = (a >0,m 、n 为整数)
3、积的乘方:等于积中每一个因式分别乘方,再把所得的幂 。
即:(ab ) n = (a >0,b >0,n 为整数)。
4、同底数幂的除法: 不变 相减,即:a m ÷a n = (a >0,m 、n 为整数)
【名师提醒:运用幂的性质进行运算一是要注意不要出现符号错误,(-a )n = (n 为奇数),(-a )n = (n 为偶数),二是应知道所有的性质都可以逆用,如:已知3m =4,2n =3,则9m 8n = 。
】【重点考点例析】
考点一:代数式的相关概念。
对应训练
1.(2015•苏州)计算-2x 2+3x 2的结果为( )A .-5x 2B .5x 2C .-x 2D .x 2
考点二:代数式求值
A .1
B .
C .
D .
325272
的值为 .
3.(2015•绥化)按如图所示的程序计算.若输入x 的值为3,则输出的值为
.
考点三:单项式与多项式。
例4 (2015•云南)下列运算,结果正确的是( )A .m 6÷m 3=m 2B .3mn 2•m 2n=3m 3n 3C .(m+n )2=m 2+n 2D .2mn+3mn=5m 2n 2对应训练4.(2015•沈阳)下面的计算一定正确的是( )A .b 3+b 3=2b 6B .(-3pq )2=-9p 2q 2
e a
n d
A
l l t h i n
i r
b e
i n g
C .5y 3•3y 5=15y 8
D .b 9÷b 3=b 3考点四:幂的运算。
例5 (2015•株洲)下列计算正确的是( )A .x+x=2x 2B .x 3•x 2=x 5C .(x 2)3=x 5D .(2x )2=2x 2
对应训练5.(2015•张家界)下列运算正确的是( )A .3a-2a=1B .x 8-x 4=x 2
C .
=-2
D .-(2x 2y )3=-8x 6y 3
考点五:完全平方公式与平方差公式对应训练
A .a 2-b 2=(a+b )(a-b )
B .(a+b )2=a 2+2ab+b 2
C .(a-b )2=a 2-2ab+b 2
D .(a+2b )(a-b )=a 2+ab-2b 2
考点六:整式的运算
例8 (2015•株洲)先化简,再求值:(x-1)(x+1)-x (x-3),其中x=3.
例9 (2015•宁波)7张如图1的长为a ,宽为b (a >b )的小长方形纸片,按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD 内,未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S ,当BC 的长度变化时,按照同样的放置方式,S 始终保持不变,则a ,b 满足( )
A .a=
b B .a=3b
C .a=
b D .a=4b
52
7
2
d
A
l l t
h i n
g a r
e g
o o
对应训练
8.(2015•扬州)先化简,再求值:(x+1)(2x-1)-(x-3)2,其中x=-2.当x=-2时,原式=4-14-10=-20.9.(2015•泰州)把三张大小相同的正方形卡片A 、B 、C 叠放在一个底面为正方形的盒底上,底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示,若按图1摆放时,阴影部分的面积为S 1;若按图2摆放时,阴影部分的面积为S 2,则S 1与S 2的大小关系是( )A .S 1>S 2B .S 1<S 2C .S 1=S 2D .无法确定考点七:规律探索。
对应训练10.(2015•淮安)观察一列单项式:1x ,3x 2,5x 2,7x ,9x 2,11x 2,…,则第2013个单项A .
B .2
C .-1
D .-2
12
o r
s
12.(2015•十堰)如图,是一组按照某种规律摆放成的图案,则图5中三角形的个数是( )
A .8
B .9(
C .16 )
D .17
【2016中考名题赏析】
1.1.(2016•常德)若﹣x 3y a 与x b y 是同类项,则a+b 的值为( )
A .2
B .3
C .4
D .5
2.(2016•上海)下列单项式中,与a 2b 是同类项的是( )
A .2a 2b
B .a 2b 2
C .ab 2
D .3ab
3.(2016•泸州)计算3a 2﹣a 2的结果是( )
A .4a 2
B .3a 2
C .2a 2
D .3
4.(2016•连云港)计算:5x ﹣3x=( )A .2x B .2x 2C .﹣2x D .﹣2
5.(2016•舟山)计算2a 2+a 2,结果正确的是( )A .2a 4B .2a 2C .3a 4D .3a 26.(2015•崇左)下列各组中,不是同类项的是( )
A .52与25
B .﹣ab 与ba
C .0.2a 2b 与﹣
a 2
b D .a 2b 3与﹣a 3b 2
7.(2016•荆州)下列运算正确的是(
)
A .m 6÷m 2=m 3
B .3m 2﹣2m 2=m 2
C .(3m 2)3=9m 6
D .
m •2m 2=m 2
8.(2016•桂林)下列计算正确的是(
)
A .(xy )3=xy 3
B .x 5÷x 5=x
C .3x 2•5x 3=15x 5
D .5x 2y 3+2x 2y 3=10x 4y 9
9.(2016•台湾)计算(2x 2﹣4)(2x ﹣1﹣
x )的结果,与下列哪一个式子相同?(
)
A .﹣x 2+2
B .x 3+4
C .x 3﹣4x+4
D .x 3﹣2x 2﹣2x+4
10.(2016•怀化)下列计算正确的是(
)
A .(x+y )2=x 2+y 2
B .(x ﹣y )2=x 2﹣2xy ﹣y 2
C .(x+1)(x ﹣1)=x 2﹣1
D .(x ﹣1)2=x 2﹣111.(2015•滨州)观察下列各式的计算过程:5×5=0×1×100+25,
15×15=1×2×100+25,
25×25=2×3×100+25,
35×35=3×4×100+25,
…
.(用n表示,n是正整数)
13.n2+4n
【真题过关】
一、选择题
1.(2016•贵港)下列运算正确的是( )
A.3a+2b=5ab B.3a•2b=6ab C.(a3)2=a5D.(ab2)3=ab6 2.(2016•贵州)下列运算正确的是( )
A.﹣2(a+b)=﹣2a+2b B.(a2)3=a5C.a3+4a=a3D.3a2•2a3=6a5 3.(2016•青岛)计算a•a5﹣(2a3)2的结果为( )
A.a6﹣2a5B.﹣a6C.a6﹣4a5D.﹣3a6
4.(2016•江西)下列运算正确的是( )
A.a2+a2=a4B.(﹣b2)3=﹣b6C.2x•2x2=2x3D.(m﹣n)2=m2﹣n2 5.(2016•吉林)计算(﹣a3)2结果正确的是( )
A.a5B.﹣a5C.﹣a6D.a6
6.(2016•淮安)下列运算正确的是( )
A.a2•a3=a6B.(ab)2=a2b2C.(a2)3=a5D.a2+a2=a4 7.(2016•枣庄)下列计算,正确的是( )
A.a2•a2=2a2B.a2+a2=a4C.(﹣a2)2=a4D.(a+1)2=a2+1
8.(2016•岳阳)下列运算结果正确的是( )
A.a2+a3=a5B.(a2)3=a6C.a2•a3=a6D.3a﹣2a=1
s
i n
t h
e i r
b e
i n g
d 9.(2015•达州)甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市先降价
20%,后又降价10%;乙超市连续两次降价15%;丙超市一次降价30%.那么顾客到哪家超市购买这种商品更合算( )A .甲B .乙C .丙D .一样10.(2015•黄冈)矩形AB=a ,AD=b ,AE=BF=CG=DH=c ,则图中阴影部分面积是( )A .bc-ab+ac+b 2B .a 2+ab+bc-ac C .ab-bc-ac+c 2D .b 2-bc+a 2-ab
11.(2015•保康)如图,边长为(a+2)的正方形纸片剪出一个边长为a
的正方形之后,剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),若拼成的矩形一边长为2,则另一边长是( )
A .2
B .a+4
C .2a+2
D .2a+412.C
13.(2015•新华区一模)定义运算a ⊕b=a (1-b ),下面给出了这种运算的四个结论:
①2⊕(-2)=6;
②若a+b=0,则(a ⊕a )+(b ⊕b )=2ab ;
③a ⊕b=b ⊕a ;
④若a ⊕b=0,则a=0或b=1.其中结论正确的有( )A .①②B .①②③C .②③④D .①②④
13.D
二、填空题
14.(2015•晋江市)计算:2a 2+3a 2= .15.(2015•天津)计算a•a 6的结果等于 .16.(2015•上海模拟)计算:6x 2y 3÷2x 3y 3= .
17.(2015•同安区一模)“比a 的2倍大
的数”用代数式表示是 .
1
5
21.(2015•沈阳)如果x=1时,代数式2ax 3+3bx+4的值是5,那么x=-1时,代数式2ax 3+3bx+4的值是 .
22.(2013•苏州)按照如图所示的操作步骤,若输入x 的值为2,则输出的值为 .
i d 23.((2015•永州)定义
为二阶行列式.规定它的运算法则为=ad-bc .那么a
b c d a b
c d
当x=1时,二阶行列式
的值为
.
11
01
x x --沙滩上摆成各种形状来研究数.例如:称图中的数1,5,12,22…为五边形数,则第6个五边形数是 . (26.51)
27.(2015•青岛)要把一个正方体分割成8个小
正方体,至少需要切3刀,因为这8个小正方体都只有三个面是现成的.其他三个面必须用三刀切3次才能切出来.那么,要把一个正方体分割成27个小正方体,至少需用刀切 三、解答题33.(2015•义乌市)如图1所示,从边长为a 的正方形纸片中减去一个边长为b 的小正方形,再沿着线段AB 剪开,把剪成的两张纸拼成如图2的等腰梯形,
(1)设图1中阴影部分面积为S 1,图2中阴影部分面积为S 2,请直接用含a ,b 的代数式
g
o o
d f
o r
s 表示S 1和S 2;
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式.。