2019二次函数培优专题

2019-2020二次函数培优专题——图像与性质（真题含答案) 1．如图,函数y=ax2−2x+1和y=ax−a(a是常数,且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）A．B．C．D．2．如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P.若点P的横坐标为−1，则一次函数y=(a−b)x+b的图象大致是()A．B．C．D．3．（已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．44．若二次函数y=ax2+bx+a2−2（a，b为常数）的图象如图，则a的值为（ （A ．1B ．√2C ．−√2D ．-25．函数y=ax 2+2ax+m（a（0）的图象过点（2（0），则使函数值y（0成立的x 的取值范围是（ ） A ．x（（4或x（2 B ．（4（x（2 C ．x（0或x（2 D ．0（x（26．如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab ＜0；②2a+b=0；③3a+c ＞0；④a+b≥m （am+b ）（m 为实数）；⑤当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，其中正确的是（ ）A ．①②④B ．①②⑤C ．②③④D ．③④⑤ 7．如图，已知二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象如图所示，有下列5个结论 abc 0>①（b ac ->②（4a 2b c 0++>③（3a c >-④（()a b m am b (m 1+>+≠⑤的实数).其中正确结论的有（ ）A．①②③B．②③⑤C．②③④D．③④⑤8．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=（1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc（0（②b2（4ac（0（③9a（3b+c=0（④若点（﹣0.5（y1（（（（2（y2）均在抛物线上，则y1（y2（⑤5a（2b+c（0（其中正确的个数有（）A．2B．3C．4D．59．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论：①2a+b<0;②abc>0;③4a−2b+c>0;④a+c>0,其中正确结论的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点是（1（n），且与x的一个交点在点（3（0）和（4（0）之间，则下列结论：①a-b+c（0（②3a+b=0（③b2=4a（c-n（（④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．411．如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点（（1（0（和（4（0（，那么下列说法正确的是（（A．ac（0 B．b2（4ac（0C．对称轴是直线x=2.5 D．b（012．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（12，y1），点N（52，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣35＜a＜﹣25．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个13．已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）经过点(−1,0)，(0,3)，其对称轴在y 轴右侧，有下列结论：①抛物线经过点(1,0)（②方程ax 2+bx +c =2有两个不相等的实数根；③−3<a +b <3.其中，正确结论的个数为（ （A ．0B ．1C ．2D ．314．如图，已知二次函数y=（x +1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y 的最小值和最大值（）A ．﹣3和5B ．﹣4和5C ．﹣4和﹣3D ．﹣1和515．已知二次函数y =a (x +3)2+b 有最大值0，则a,b 的大小关系为（ （A ．a ＜ bB ．a =bC ．a ＞ bD ．大小不能确定16．对于抛物线y （ax 2（(2a （1)x （a （3，当x （1时，y （0，则这条抛物线的顶点一定在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限17．若二次函数y（(a（1)x 2（3x（a 2（1的图象经过原点，则a 的值必为（ （A ．1或－1B ．1C ．（1D ．018．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论中正确的是( )①0abc <②240b ac -<③2a b >④22()a c b +<A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个19．如图，边长为2的正（ABC 的边BC 在直线l 上，两条距离为l 的平行直线a 和b 垂直于直线l（a 和b 同时向右移动（a 的起始位置在B 点），速度均为每秒1个单位，运动时间为t （秒），直到b 到达C 点停止，在a 和b 向右移动的过程中，记（ABC 夹在a 和b 之间的部分的面积为s ，则s 关于t 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．20．如图是在同一平面直角坐标系内,二次函数y=ax 2+(a+c )x+c 与一次函数y=ax+c 的大致图象,正确的是 ( )A ．B ．C ．D ． 21．已知一次函数y=b ax+c 的图象如图，则二次函数y=ax 2+bx+c 在平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．22．已知,a b 是非零实数，a b >，在同一平面直角坐标系中，二次函数21y ax bx =＋与一次函数2y ax b =＋的大致图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．23．如图，已知抛物线y1=（x2+4x和直线y2=2x．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较小值为M；若y1=y2，记M=y1=y2（①当x（2时，M=y2（②当x（0时，M随x的增大而增大；③使得M大于4的x的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是_____（填写所有正确结论的序号）．24．抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线上求一点P，使S△PAB=S△ABC，写出P点的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QBC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（（1（0（B（3（0）两点，与y 轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A（P（C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．26．已知二次函数y=2(x−1)(x−m−3)（m为常数）.（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点；（2）当m取什么值时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方？27．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1（0）和点B与y轴交于点C（0（3），抛物线的对称轴与x轴交于点D（（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M（N同时停止运动，问点M（N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．28．如图，抛物线y=﹣1x2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．2（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．29．如图（抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（（1（0（（B（3（0（两点（（1（求该抛物线的解析式（（2（求该抛物线的对称轴以及顶点坐标（（3（设（1（中的抛物线上有一个动点P（当点P在该抛物线上滑动到什么位置时（满足S△P AB=8（并求出此时P点的坐标（30．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由；（3）将直线BC向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当△AMN为直角三角形时，求t的值．参考答案1．B【解析】分析：可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．详解（A（由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误；B（由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣−2＞0．故选项正确；2aC（由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误；向上，对称轴x=﹣−22aD（由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误．故选B．点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．2．D【解析】【分析】根据二次函数的图象可以判断a（b（a−b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，观察各选项即可得答案．【详解】由二次函数的图象可知，a<0（b<0（当x=−1时，y=a−b<0（∴y=(a−b)x+b的图象经过二、三、四象限，观察可得D选项的图象符合，故选D（【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，认真识图，会用函数的思想、数形结合思想解答问题是关键.3．D【解析】【分析】由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①∵抛物线对称轴是y轴的右侧，∴ab＜0，∵与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵a＞0，x=﹣b＜1，2a∴﹣b＜2a，∴2a+b＞0，故②正确；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；④当x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．4．C【解析】【分析】根据图象开口向下可知a（0，又二次函数图象经过坐标原点，把原点坐标代入函数解析式解关于a 的一元二次方程即可．【详解】由图可知，函数图象开口向下，∴a（0（又∵函数图象经过坐标原点（0（0（（∴a2-2=0（解得a1=√2（舍去），a2=-√2（故选C（【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，观察图象判断出a是负数且经过坐标原点是解题的关键．5．A【解析】【分析】先求出抛物线的对称轴方程，再利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-4，0），然后利用函数图象写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．【详解】抛物线y=ax2+2ax+m的对称轴为直线x=-2a2a=-1，而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-4，0），∵a＜0，∴抛物线开口向下，∴当x＜-4或x＞2时，y＜0．故选A．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．6．A【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b=0；当x=（1时，y=a（b+c；然后由图象确定当x取何值时，y（0（【详解】①∵对称轴在y轴右侧，∴a（b异号，∴ab（0，故正确；=1,②∵对称轴x=−b2a∴2a+b=0；故正确；③∵2a+b=0（∴b=（2a（∵当x=（1时，y=a（b+c（0（∴a（（（2a（+c=3a+c（0，故错误；④根据图示知，当m=1时，有最大值；当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c（所以a+b≥m（am+b（（m为实数）．故正确．⑤如图，当﹣1（x（3时，y不只是大于0（故错误．故选：A（【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a（0时，抛物线向上开口；当a（0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab（0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab（0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0（c（（7．B【解析】【分析】由抛物线对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所给结论进行判断即可．【详解】①对称轴在y轴的右侧，Q∴<（ab0>（由图象可知：c0∴<，故①不正确；abc0=-+<（②当x1=-时，y a b c0∴->，故②正确；b a c③由对称知，当x 2=时，函数值大于0，即y 4a 2b c 0=++>，故③正确；b x 12a=-=Q ④（ b 2a ∴=-（a b c 0-+<Q （a 2a c 0∴++<（3a c <-，故④不正确；⑤当x 1=时，y 的值最大·此时，y a b c =++（而当x m =时，2y am bm c =++（所以()2a b c am bm c m 1++>++≠（ 故2a b am bm +>+，即()a b m am b +>+，故⑤正确，故②③⑤正确，故选B（【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数2y ax bx c =++系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键． 8．B【解析】【分析】分析：根据二次函数的性质一一判断即可．【详解】详解：∵抛物线对称轴x=-1，经过（1（0（（∴-2b a=-1（a+b+c=0（ ∴b=2a（c=-3a（∵a（0（∴b（0（c（0（∴abc（0，故①错误，∵抛物线对称轴x=-1，经过（1（0（（可知抛物线与x 轴还有另外一个交点（-3（0（∴抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2-4ac（0，故②正确，∵抛物线与x 轴交于（-3（0（（∴9a -3b+c=0，故③正确，∵点（-0.5（y 1（（（-2（y 2）均在抛物线上，（-0.5（y 1（关于对称轴的对称点为（-1.5（y 1（（-1.5（y 1（（（-2（y 2）均在抛物线上，且在对称轴左侧，-1.5（-2（则y 1（y 2；故④错误，∵5a -2b+c=5a -4a -3a=-2a（0，故⑤正确，故选：B（【点睛】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．B【解析】【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴判断①；根据抛物线与y轴的交点和对称轴判断②；根据x=-2时，y<0判断③；根据x=±1时，y>0判断④．【详解】①∵抛物线开口向下，∴a<0，<1，∵−b2a∴2a+b<0，①正确；②抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，>0，a<0，∵−b2a∴b>0，∴abc<0，②错误；③当x=−2时，y<0，∴4a−2b+c<0，③错误；x=±1时，y>0，∴a−b+c>0，a+b+c>0，∴a+c>0，④正确，故选：B【点睛】本题考核知识点：二次函数图象与系数的关系.解题关键点：理解二次函数图象与系数的关系. 10．C【解析】试题解析：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．∴当x=-1时，y＞0，即a-b+c＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1，即b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴4ac−b 24a=n，∴b2=4ac-4an=4a（c-n），所以③正确；∵抛物线与直线y=n有一个公共点，∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选B．11．D【解析】分析：直接利用二次函数图象与系数的关系进而分析得出答案．详解：A（∵抛物线开口向下，∴a（0（∵抛物线与y轴交在正半轴上，∴c（0（∴ac（0，故此选项错误；B（∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2-4ac（0，故此选项错误；C（∵抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点（-1（0）和（4（0（（∴对称轴是直线x=1.5，故此选项错误；D（∵a（0，抛物线对称轴在y轴右侧，∴a（b异号，∴b（0，故此选项正确．故选：D（点睛：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，正确掌握各项符号判断方法是解题关键．12．D【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】①由开口可知：a ＜0， ∴对称轴x=−2ba＞0， ∴b ＞0，由抛物线与y 轴的交点可知：c ＞0， ∴abc ＜0，故①正确；②∵抛物线与x 轴交于点A （-1，0）， 对称轴为x=2，∴抛物线与x 轴的另外一个交点为（5，0）， ∴x=3时，y ＞0，∴9a+3b+c ＞0，故②正确；③由于12＜2＜52， 且（52，y 2）关于直线x=2的对称点的坐标为（32，y 2），∵12＜32， ∴y 1＜y 2，故③正确， ④∵−2ba=2，∵x=-1，y=0，∴a-b+c=0，∴c=-5a，∵2＜c＜3，∴2＜-5a＜3，∴-35＜a＜-25，故④正确故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．13．C【解析】分析：根据抛物线的对称性可以判断①错误，根据条件得抛物线开口向下，可判断②正确；根据抛物线与x轴的交点及对称轴的位置，可判断③正确，故可得解.详解：抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(−1,0)，其对称轴在y轴右侧，故抛物线不能经过点(1,0)，因此①错误；抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(−1,0)，(0,3)，其对称轴在y轴右侧，可知抛物线开口向下，与直线y=2有两个交点，因此方程ax2+bx+c=2有两个不相等的实数根，故②正确；∵对称轴在y轴右侧，∴−b2a>0∵a<0∴b>0∵y=ax2+bx+c经过点(−1,0)，∴a-b+c=0∵y=ax2+bx+c经过点(0,3)，∴c=3∴a-b=-3∴b=a+3，a=b-3∴-3<a<0，0<b<3∴-3<a+b<3.故③正确.故选C.点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，不等式的性质等知识，难度适中．14．B【解析】【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x=-1，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可．【详解】∵二次函数y=（x+1（2-4（对称轴是：x=-1∵a=-1（0（∴x（-1时，y随x的增大而增大，x（-1时，y随x的增大而减小，由图象可知：在-2≤x≤2内，x=2时，y有最大值，y=（2+1（2-4=5（x=-1时y有最小值，是-4（故选B（【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象可得函数的最值是解题的关键．15．A【解析】【分析】根据二次函数有最大值可判断a（0，再根据最大值为0可判断b=0，据此即可进行比较a（b的大小．【详解】∵二次函数y=a（x+1（2-b（a≠0）有最大值，∴抛物线开口方向向下，即a<0（又最大值为0（∴b=0（∴a<b（故选A（【点睛】本题考查了二次函数的顶点式以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.16．C【解析】【分析】先由题意得到关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围，然后再确定抛物线的顶点坐标的取值范围，据此即可得出答案.【详解】由题意得：a+(2a-1)+a-3>0，解得：a>1（∴2a-1>0（∴−2a−12a<0（4a(a−3)−(2a−1)24a=−8a+14a<0（∴抛物线的顶点在第三象限， 故选C.【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标公式，熟知抛物线的顶点坐标公式是解题的关键. 17．C 【解析】 【分析】将（0,0）代入求出a 的值，因为二次函数二次项系数不能为0，排除一个a 的值即可. 【详解】将（0,0）代入y（(a（1)x 2（3x（a 2（1，得a=±1（∵a≠1（∴a=-1. 【点睛】本题考查二次函数求常数项，解题的关键是将已知二次函数过的点代入，注意二次函数二次项系数不能为0. 18．A 【解析】 【分析】由函数图象可知a ＜0，对称轴-1＜x ＜0，20b a ->；0b <，图象与y 轴的交点c ＞0，函数与x 轴有两个不同的交点；△=b 2-4ac ＞0；再由图象可知当x=1时，y ＜0，即a+b+c ＜0；当x=-1时，y ＞0，即a -b+c ＞0；即可求解． 【详解】解：由函数图象可知0a <，对称轴10x -<<，图象与y 轴的交点0c >，函数与x 轴有两个不同的交点，∴2b a >，0b <；③错误240b ac ∆=->；②错0abc >；①错误当1x =时，0y <，即0a b c ++<；当1x =-时，0y >，即0a b c -+>；∴()()0a b c a b c ++-+<，即22()a c b +<； ∴只有④是正确的； 故选：A ． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数的图象及性质，能够通过图象获取信息，推导出a ，b ，c ，△，对称轴的关系是解题的关键． 19．B 【解析】 【分析】依据a 和b 同时向右移动，分三种情况讨论，求得函数解析式，进而得到当0≤t ＜1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当1≤t ＜2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，当2≤t≤3时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分． 【详解】如图①，当0≤t ＜1时，BE=t ，DE=√3t ，∴s=S △BDE =12×t×√3t=√32t 2；如图②，当1≤t ＜2时，CE=2-t ，BG=t-1，∴DE=√3（2-t ），FG=√3（t-1），∴s=S五边形AFGED=S △ABC -S △BGF -S △CDE =12×2×√3-12×（t-1）×√3（t-1）-12×（2-t ）×√3（2-t ）=-√3t 2+3√3t-32√3；如图③，当2≤t≤3时，CG=3-t ，GF=√3（3-t ），∴s=S △CFG =12×（3-t ）×√3（3-t ）=√32t 2-3√3t+9√32，综上所述，当0≤t ＜1时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当1≤t ＜2时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分；当2≤t≤3时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故选B．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．20．C【解析】【分析】本题可先由一次函数y=ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax2+（a+c（x+c的图象相比较看是否一致，用排除法即可解答．【详解】一次函数图像过二、四象限，则a<0（二次函数开口向上，a>0，故A选项错误；∵y=ax2+(a+c)x+c=(ax+c)(x+1)∴图像与x轴的交点为（-ca（0（（（-1（0（（∵y=0时，一次函数ax+c=0（∴x=-ca ，即图像与x轴的交点为（-ca（0（（∴二次函数与一次函数在x轴上有交点（-ca（0（（故B选项错误；根据A（B选项的判断，C选项正确，一次函数图像过一、三象限，则a>0，二次函数开口向下，a<0，故D选项错误，【点睛】本题考查二次函数与一次函数的图象性质，熟练掌握相关知识是解题关键. 21．A 【解析】 【分析】由一次函数的图象判断出ba<0, c>0，再判断二次函数的图象特征，进而求解. 【详解】由一次函数的图象可得：b a <0, c>0，所以二次函数y=ax 2+bx+c 图象的对称轴=2b a->0,与y 轴的交点在正半轴，符合题意的只有A.故选A. 【点睛】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，解题的关键是根据一次函数的图象判断出ba<0, c>0. 22．D 【解析】 【分析】采用赋值法，选取符合图形条件的未知数的值，再采用排除法即可确定答案. 【详解】解答本题可采用赋值法. 取2,1a b ==，可知A 选项是可能的；取2,1a b ==-，可知B 选项是可能的；取2,1a b =-=-，可知C 选项是可能的，那么根据排除法，可知D 选项是不可能的. 故选：D.本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点．23．②③【解析】分析：①观察函数图象，可知：当x＞2时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，进而可得出当x＞2时，M=y1，结论①错误；②观察函数图象，可知：当x＜0时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，进而可得出当x ＜0时，M=y1，再利用二次函数的性质可得出M随x的增大而增大，结论②正确；③利用配方法可找出抛物线y1=-x2+4x的最大值，由此可得出：使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；④利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征求出当M=2时的x值，由此可得出：若M=2，则x=1或2+√2，结论④错误．此题得解．详解：①当x＞2时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，∴当x＞2时，M=y1，结论①错误；②当x＜0时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，∴当x＜0时，M=y1，∴M随x的增大而增大，结论②正确；③∵y1=-x2+4x=-（x-2）2+4，∴M的最大值为4，∴使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；④当M=y1=2时，有-x2+4x=2，解得：x1=2-√2（舍去），x2=2+√2；当M=y2=2时，有2x=2，解得：x=1．∴若M=2，则x=1或2+√2，结论④错误．综上所述：正确的结论有②③．故答案为：②③．点睛：本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．24．（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）所求P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1+√7，﹣3）或（﹣1﹣√7，﹣3）；（3）点Q的坐标是（﹣1，2）．【解析】【分析】（1）将A（-3（0（（B（1（0）两点代入y=-x2+bx+c，利用待定系数法求解即可求得答案；（2）首先求得点C的坐标为（0（3），然后根据同底等高的两个三角形面积相等，可得P点的纵坐标为±3，将y=±3分别代入抛物线的解析式，求出x的值，即可求得P点的坐标；（3）根据两点之间线段最短可得Q点是AC与对称轴的交点．利用待定系数法求出直线AC的解析式，将抛物线的对称轴方程x=-1代入求出y的值，即可得到点Q的坐标．【详解】（1（∵抛物线y=（x2+bx+c与x轴交于A（（3（0（（B（1（0）两点，∴{−9+3b +c =0−1+b +c =0 ，解得{b =−2c =3 （∴抛物线的解析式为：y=（x 2（2x+3（ （2（∵y=（x 2（2x+3（ ∴x=0时，y=3（∴点C 的坐标为（0（3（（设在抛物线上存在一点P（x（y ），使S △PAB =S △ABC （ 则|y|=3，即y=±3（如果y=3，那么﹣x 2（2x+3=3，解得x=0或﹣2（ x=0时与C 点重合，舍去，所以点P（（2（3（（ 如果y=（3，那么﹣x 2（2x+3=（3，解得x=（1±√7（ 所以点P（（1±√7（（3（（综上所述，所求P 点的坐标为（﹣2（3）或（﹣1+√7（（3）或（﹣1（√7（（3（（ （3）连结AC 与抛物线的对称轴交于点Q ，此时△QBC 的周长最小． 设直线AC 的解析式为：y=mx+n（ ∵A（（3（0（（C（0（3（（∴{−3m +n =0n =3 ，解得：{m =1n =3 （∴直线AC 的解析式为：y=x+3（ ∵y=（x 2（2x+3的对称轴是直线x=（1（ ∴当x=（1时，y=（1+3=2（ ∴点Q 的坐标是（﹣1（2（（【点睛】此题考查了抛物线与x 轴的交点，待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积以及轴对称-最短路线问题．正确求出函数的解析式是解此题的关键．25．（1）抛物线解析式为y=（x 2+2x+3；直线AC 的解析式为y=3x+3（（2）点M 的坐标为（0（3（（ （3）符合条件的点P 的坐标为（73（209）或（103（（139（（【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1（（x -3），展开得到-2a=2，然后求出a 即可得到抛物线解析式；再确定C（0（3），然后利用待定系数法求直线AC 的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D 的坐标为（1（4），作B 点关于y 轴的对称点B′，连接DB′交y 轴于M ，如图1，则B′（-3（0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD 的值最小，则此时△BDM 的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M 的坐标；（3）过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC 的解析式为y=-13x+b ，把C 点坐标代入求出b 得到直线PC 的解析式为y=-13x+3，再解方程组{y ＝−x 2+2x +3y ＝−13x +3得此时P 点坐标；当过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P 时，利用同样的方法可求出此时P 点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1（（x（3（（ 即y=ax 2（2ax（3a（ ∴（2a=2，解得a=（1（∴抛物线解析式为y=（x 2+2x+3（当x=0时，y=（x 2+2x+3=3，则C（0（3（（ 设直线AC 的解析式为y=px+q（把A（（1（0（（C（0（3）代入得{−p +q =0q =3 ，解得{p =3q =3 （∴直线AC 的解析式为y=3x+3（（2（∵y=（x2+2x+3=（（x（1（2+4（∴顶点D的坐标为（1（4（（作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（（3（0（（∵MB=MB′（∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3（当x=0时，y=x+3=3（∴点M的坐标为（0（3（（（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2（∵直线AC 的解析式为y=3x+3（ ∴直线PC 的解析式可设为y=（13x+b（把C（0（3）代入得b=3（ ∴直线PC 的解析式为y=（13x+3（解方程组{y ＝−x 2+2x +3y ＝−13x +3，解得{x =0y =3 或{x =73y =209，则此时P 点坐标为（73（209（（过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P ，直线PC 的解析式可设为y=（x+b（把A（（1（0）代入得13+b=0，解得b=（13（ ∴直线PC 的解析式为y=（13x（13（解方程组{y ＝−x 2+2x +3y ＝−13x −13 ，解得{x =−1y =0 或{x =103y =−139 ，则此时P 点坐标为（103（（139（. 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（73（209（或（103（（139（.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．26．（1）证明见解析；（2）m >−3时，该函数的图像与y 轴的交点在x 轴的上方. 【解析】分析：（1）首先求出与x 轴交点的横坐标x 1=1，x 2=m +3,即可得出答案; (2)求出二次函数与y 轴的交点纵坐标.根据交点纵坐标大于0即可求出. 详解：（1）证明：当y =0时，2(x −1)(x −m −3)=0.解得x1=1，x2=m+3.当m+3=1，即m=−2时，方程有两个相等的实数根；当m+3≠1，即m≠−2时，方程有两个不相等的实数根.所以，不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点.（2）解：当x=0时，y=2m+6，即该函数的图像与y轴交点的纵坐标是2m+6.当2m+6>0，即m>−3时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方.点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点坐标,熟练掌握抛物线与x轴的交点的证明方法，求出抛物线与y轴交点的纵坐标是解决问题（2）的关键.27．（1）二次函数的表达式为：y=x2（4x+3（（2（点P的坐标为：（）或（）或（0（-3）或（0（0（（（3）当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．【解析】【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=12×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB最大面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．【详解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，。

二次函数培优专题一、二次函数的基本概念1. 二次函数的定义- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。

- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b = 3，c=-1。

- 题目解析：判断一个函数是否为二次函数，关键看其是否符合y = ax^2+bx + c(a≠0)的形式。

比如y=3x + 2就不是二次函数，因为它不符合二次函数的定义形式，其中x的最高次数是1；而y=(1)/(x^2)也不是二次函数，因为它不是整式函数。

2. 二次函数的图象- 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象是一条抛物线。

- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

- 例如，对于二次函数y = x^2，a = 1>0，其图象开口向上；对于y=-2x^2，a=-2 < 0，其图象开口向下。

- 题目解析：给定二次函数，判断其图象开口方向是常见题型。

如y = 3x^2-2x + 1，因为a = 3>0，所以图象开口向上。

对于二次函数图象开口方向的理解，可以从二次函数的增减性角度来看，当a>0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a < 0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小。

3. 二次函数的对称轴和顶点坐标- 对于二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)，其对称轴公式为x =-(b)/(2a)，顶点坐标公式为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。

- 例如，对于二次函数y = 2x^2-4x + 3，a = 2，b=-4，c = 3。

对称轴x=-(-4)/(2×2)=1，顶点纵坐标y=frac{4×2×3-(-4)^2}{4×2}=(24 - 16)/(8)=1，所以顶点坐标为(1,1)。

2019学年度九年级数学二次函数培优训练题三（附答案）1．将抛物线y=2x ﹣4x ﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（ ）.A ．y=()21x +﹣13 B ．y=()25x -﹣3 C ．y=()25x -﹣13 D ．y=()21x +﹣32．已知二次函数269y kx x =--的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围为 A ． k>-1 B ． k>-1且k≠0 C ． k≥-1 D ． k<-13．已知二次函数)0a (c bx ax y 2≠++=的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc <； ②0c b 3a 9<++； ③0ac 4b 2<-；④b 3c 2>；⑤)b am (m b a +>+（1≠m 的实数）. 其中正确的结论有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个4．在同一坐标系中，一次函数b ax y +=与二次函数bx x a y +=2的大致图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5．二次函数y=-2x 2+1的图象如图所示，将其绕坐标原点O 旋转，则旋转后的抛物线的解析式为( )A ． y=-2x 2-1B ． y=2x 2+1C ． y=2x 2D ． y=2x 2-1 6．如图，已知函数y=－3x与y=a 2x +bx （a ＞0，b ＞0）的图象交于点P ．点P 的纵坐标为1．则关于x 的方程a 2x +bx+3x=0的解为_________.7．用配方法将二次函数化成的形式，则y=______．8．如图，某涵洞的截面是抛物线型，现测得水面宽AB ＝1.6m ，涵洞顶点O 到水面的距离CO ＝2.4m ，在图中直角坐标系内涵洞截面所在抛物线的表达式是______________．2则123,,y y y 的大小关系是 ．10．若二次函数y=（m ＋1）x 2＋m 2－9有最大值，且图象经过原点，则m= ． 11．已知二次函数y=-x 2-2x+3的图象与x 轴分别交于A 、B 两点（如图所示），与y 轴交于点C ，点P 是其对称轴上一动点，当PB+PC 取得最小值时，点P 的坐标为 ．12．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++．则他将铅球推出的距离是 m ．13．如图，圆心在坐标原点的⊙O 的半径为1，若抛物线y=﹣x 2+c 和⊙O 刚好有三个公共点，则此时c= ．若抛物线和⊙O 只有两个公共点，则c 可以取的一切值为 ．14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线m m m x y -+--=2241)(41的顶点为A ，与y 轴的交点为B ，连结AB ，AC ⊥AB ，交y 轴于点C ，延长CA 到点D ，使AD ＝AC ，连结BD ．作AE ∥x 轴，DE ∥y 轴．（1）当m ＝2时，则点B 的坐标为 ； （2）求DE 的长?（3）①设点D 的坐标为（x ，y ），求y 关于x 的函数关系式？ ②过点D 作AB 的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P ，当m 为何值时，以：A 、B 、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形？15．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．求抛物线的解析式及顶点的坐标；判断的形状，证明你的结论；点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标．16．某服装店销售一种品牌的羽绒服，平均每天可以销售件，每件盈利元，为了扩大销售，减少库存，商店决定降价销售，经调查，每件羽绒服每降价元时，平均每天就多卖出件，但是综合多方因素，降价后，每件盈利不能低于原来每件利润的一半．若商场要求该羽绒服每天盈利元，每件羽绒服应降价多少元？试说明每件羽绒服降价多少元时，盈利最多？17．在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，要求每件销售价格不得高于27元，并将所得利润捐给贫困母亲。

2018-2019学年度第一学期浙教版九年级数学上第1章_二次函数_培优提高单元检测试题考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.如果函数是关于的二次函数，那么的值是（）A.或B.或C.D.2.如图的半径为，是函数的图象，是函数的图象，则阴影部分的面积为（）A. B. C. D.根据表格提供的信息，下列说法错误的是（）A.该抛物线的对称轴是直线B.该抛物线与轴的交点坐标为C. D.若点是该抛物线上一点．则4.已知：抛物线在平面直角坐标系的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.5.二次函数的部分图象如图所示，则下列正确的说法有（）点在第二象限；时随的增大而增大；；关于的一元二次方程解为，；关于的不等式的解集为．A.个B.个C.个D.个6.一男生推铅球，铅球在运动过程中，高度不断发生变化．已知当铅球飞出的水平距离为时，其高度为米，则这位同学推铅球的成绩为（）A.米B.米C.米D.米7.已知点，是函数图象上的两点，且当时，有，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.同一坐标平面内，图象不可能由函数的图象通过平移变换、轴对称变换和旋转变换得到的函数是（）A. B.C. D.9.将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到的抛物线表达式是（）A. B.C. D.．10.如图，一边靠墙（墙有足够长），其他三边用米长的篱笆围成一个矩形花园，这个花园的最大面积是（）平方米．A. B.C. D.以上都不对二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.函数，当时，的取值范围________．12.如图，经过原点的抛物线与轴的另一交点为，过点作直线轴于点，交抛物线于点．点关于抛物线对称轴的对称点为．连接，，，要使得，则的值为________．13.若二次函数的最小值是，则________．14.二次函数，当时，函数有最小值，则________．15.已知关于的二次函数的图象如图，则可化简为________．16.已知抛物线经过点，，，则该抛物线上纵坐标为的另一点的坐标是________．17.已知二次函数的图象经过点，且与轴交于点，若，则该二次函数解析式中，一次项系数为________，常数为________．18.已知抛物线经过点与，则的值是________．19.把二次函数改写成的形式是________，其顶点坐标是________．20.已知抛物线与轴的公共点是，，则这条抛物线的对称轴是直线________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.如图，抛物线经过点．试确定的符号；求证：方程的另一根满足；求证：．22.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件赢利元．为了扩大销售，增加赢利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场平均每天可多售出件．若商场平均每天要赢利元，每件衬衫降价元，请你写出与之间的关系式．23.在平面直角坐标系中，抛物线过，两点．试求抛物线的解析式；记抛物线顶点为，求的面积；若直线向上平移个单位所得的直线与抛物线段（包括端点、）部分有两个交点，求的取值范围．24.如图，一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线运行，然后准确落入篮框内．已知篮框的中心离地面的距离为米．球在空中运行的最大高度为多少米？如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为米，请问他距离篮框中心的水平距离是多少？25.已知抛物线经过，，三点，其顶点为点，对称轴与轴交于点．求抛物线顶点的坐标；将抛物线平移得到将抛物线，的对称轴与轴交于点，与轴交于点、顶点为，若与相似，试求出此时抛物线的顶点坐标．26.抛物线过，，三点．求抛物线的表达式；如图①，抛物线上一点在线段的上方，交于点，若满足，求点的坐标；如图②，为抛物线顶点，过作直线，若点在直线上运动，点在轴上运动，是否存在这样的点、，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求、的坐标，并求此时的面积；若不存在，请说明理由．答案1.D2.B3.C4.D5.B6.B7.A8.A9.B10.B11.12.13.14.15.16.17.或或18.19.20.21.解：由图得．，∵抛物线经过过，∴ ，∴ ，∴ ；由图象得出方程的一个根是，∵对称轴在和，∴ 到对称轴的距离大于小于，从而得出另一个根到对称轴的距离大于小于，即另一根在和之间； ∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ．22.解：降价元后的销量为：，单价的利润为：，故可得利润．23.解：由题意解得，∴抛物线解析式为．∵ ．∴顶点坐标，∵直线为，∴对称轴与的交点，∴．由消去得到，当时，直线与抛物线相切，，∴ ，当直线经过点时，，当直线经过点时，，∵直线向上平移个单位所得的直线与抛物线段（包括端点、）部分有两个交点，∴．24.解：因为抛物线的顶点坐标为所以球在空中运行的最大高度为米；当时，，解得：又因为所以当时，又因为所以，由米，故运动员距离篮框中心水平距离为米．25.解：设抛物线的解析式为，将点代入，得：，解得：，∴抛物线解析式为，∵ ，∴抛物线的顶点的坐标为．如图中，作交抛物线于，作抛物线的对称轴于交抛物线于，作交对称轴于，连接．则．∵ ，，∴直线的解析式为，∵ ，∴直线的解析式为，由解得或，∴点的坐标为，根据对称性可知，∵ ，∴直线的解析式为，∴ ，∴ ，，观察图象可知，①当点平移到时，与相似，此时抛物线的顶点坐标．②当点平移到时，与相似，此时抛物线的顶点坐标．③当点平移到时，与相似，此时抛物线的顶点坐标．④当点平移到时，与相似，此时抛物线的顶点坐标．如图中，取，连接交抛物线于，抛物线的对称轴交于，作抛物线的对称轴于交抛物线于，作交对称轴于，连接．则．∵直线的解析式为，由解得或，∴，根据对称性，∵ ，∴直线的解析式为，∴，∴，，观察图象可知，①当点平移到时，与相似，此时抛物线的顶点坐标．②当点平移到时，与相似，此时抛物线的顶点坐标．③当点平移到时，与相似，此时抛物线的顶点坐标．④当点平移到时，与相似，此时抛物线的顶点坐标．综上所述，满足条件的抛物线的顶点坐标为或或或或或或或．26.解：根据题意，设抛物线表达式为．把，代入得：，解得：，故抛物线的表达式为：；设直线的表达式为，则：，解得：，，∴直线的表达式为，设点，，则点，∴ ，设直线与直线交于点，∵ ，∴ ，，，在中，∴，由，得，化简得，，解得：，（舍去），则．根据题意得：为等腰直角三角形，假设存在满足条件的点、，则为等腰直角三角形，分三种情况：①若，，如图，过作轴，过作于，过作于，易证得：，∴ ，，∴ ，，在中，，，由勾股定理得：，∴；如图，易证得：，∴ ，，∴ ，，在中，，，由勾股定理得：，∴ ；②若，，如图，易得：，∴ ，，∴ ，∴ ，∴，∴；如图，易得，∴ ，∴ ，，∴，∴，③若，，如图，过作，交的延长线于，易得：，∵ ，，∴此时不存在符合条件的、．。

九下二次函数培优（1）（学生版）（2019.7.19）二次函数知识点总结二次函数知识点：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

总结：2.2y ax c =+的性质：结论：上加下减。

总结：3. ()2y a x h =-的性质：结论：左加右减。

总结：4.()2y a x h k =-+的性质：总结：二次函数图象的平移 1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．三、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++的比较请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。

请将2y ax bx c =++配成()2y a x h k =-+。

总结：从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．二、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a++≠本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x2y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)222-32一．选择题（共17小题）1．（2014秋•忠县校级期末）下列函数关系式中，是二次函数的是（）A．y＝x3﹣2x2﹣1 B．y＝x2C．D．y＝x+12．（2012秋•招远市期末）若函数y＝（m﹣3）是关于x的二次函数，则m的值是（）A．3 B．0 C．3或0 D．任何实数3．（2019•攀枝花）在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（）A．B．C．D．4．（2015•潮阳区一模）在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝ax2+c的图象大致为（）A．B．C．D．5．（2015•宁夏）函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．6．（2014•富顺县校级模拟）函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C． D．7．（2009•赣县二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1，对于整个抛物线来说，当y≤0时，x的取值范围是（）A．0＜x≤3 B．﹣2≤x≤3 C．﹣1≤x≤3 D．x≤﹣1或x≥38．（2015•新疆）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（1，﹣2）D．（1，2）9．（2014•福州校级模拟）已知抛物线y＝﹣x2+4x+3，则该抛物线的顶点坐标为（）A．（1，1）B．（4，11）C．（4，﹣5）D．（﹣4，11）10．（2010•滨州模拟）二次函数y＝﹣x2+2x﹣5图象的顶点坐标为（）A．（﹣1，﹣4）B．（1，﹣4）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）11．（2018秋•包河区校级期中）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（8，y3）都在二次函数y＝ax2（a＜0）的图象上，则下列结论正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y212．（2014•承德二模）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（1，m），B（3，m），若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），K（8，y3）也在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，则下列结论正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y213．（2008•西湖区校级模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a＜0）图象上三点A（﹣1，y1），B（2，y2）C（4，y3），则y1、y2、y3的大小关系为（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y214．（2011•广安）若二次函数y＝（x﹣m）2﹣1，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m＝1 B．m＞1 C．m≥1 D．m≤115．（2010•郴州校级自主招生）已知二次函数y＝ax2+c，且当x＝1时，﹣4≤y≤﹣1，当x＝2时，﹣1≤y≤5，则当x＝3时，y的取值范围是（）A．﹣1≤y≤20 B．﹣4≤y≤15 C．﹣7≤y≤26 D．≤y≤16．（2004•余姚市校级自主招生）若二次函数y＝ax2+bx+1的图象与平行于x轴的直线交于二点的横坐标分别为m、n．则：当x＝m+n时，二次函数y的值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．O17．和抛物线y＝8x2+10x+1只有一个公共点（﹣1，﹣1）的直线解析式为（）A．y＝﹣6x﹣7 B．x＝﹣1C．y＝﹣6x﹣7或x＝﹣1 D．y＝﹣1二．填空题（共11小题）18．（2019•曲靖一模）若y＝（m+2）x+mx+1是关于自变量x的二次函数，则m＝．19．（2016秋•天津期末）如果函数y＝（k﹣3）+kx+1是二次函数，那么k的值一定是．20．关于x的函数y＝（m+1）x2+（m﹣1）x+m，当m＝0时，它是函数；当m＝﹣1时，它是函数．21．（2018•淮安区模拟）二次函数y＝2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是．22．（2017秋•杜尔伯特县期末）抛物线y＝﹣2x2+6x﹣1的顶点坐标为．23．（2009•安徽模拟）抛物线y＝2x2+4x+5的对称轴是，顶点坐标是．24．（2015秋•海城区校级月考）二次函数y＝（m﹣1）x2的图象开口向下，则m ．25．（2012•滕州市校级模拟）抛物线y＝﹣x2﹣2x+m，若其顶点在x轴上，则m＝．26．（2013秋•巴南区校级月考）已知第一象限内有一点P（m﹣1，m）在二次函数y＝x2﹣5上，则该点关于原点对称点P′的坐标为．27．（2010•虹口区一模）抛物线y＝x2﹣4x+2与y轴的交点坐标是．28．（2005•黑龙江）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，2）与（﹣1，4），则a+c的值是．三．解答题（共2小题）29．证明无论a取任何实数，抛物线y＝x2+（a+1）x+﹣的顶点都在一条定直线上．30．若抛物线y＝﹣x2+2ax+b的顶点在直线mx﹣y﹣2m+1＝0上移动，且与抛物线y＝x2有公共点，求m的取值范围．第11页（共11页）。

2019年中考数学二轮二次函数专项培优一、选择题1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则一次函数y=bx+b2﹣4ac与反比例函数y=在同一坐标系内的图象大致为（）2.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)和点B,化简的结果为:①c；②；③b﹣a；④a﹣b+2c.其中正确的有（）A.一个B.两个C.三个D.四个3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＜0；③4a﹣2b+c＜0；④（a+c）2＜b2其中正确的个数有（）A.1B.2C.3D.44.如图1，在等边△ABC中，D是BC的中点，P为AB 边上的一个动点，设AP=x，图1中线段DP的长为y，若表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则△ABC的面积为( )C.12D.A.4B.5.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB．设AP=x，△PBE的面积为y．则能够正确反映y与x之间的函数关系的图象是（）6.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1，3，则下列结论正确的个数有（）①ac＜0；②2a+b=0；③4a+2b+c＞0；④对于任意x均有ax2+bx≥a+b．A.1B.2C.3D.47.如图,直线y=0.5x+2与y轴交于点A,与直线y=﹣0.5x交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线y=(x﹣h)2+k的顶点在直线y=-0.5x上移动.若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点,则h的取值范围是（）A.﹣2≤h≤0.5B.﹣2≤h≤1C.﹣1≤h≤1.5D.﹣1≤h≤0.58.已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，则(m﹣1)2+(n﹣1)2的最小值是（）A.6B.3C.﹣3D.09.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）．其中正确的结论有( )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个10.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点A（4,0）,C（0,3）.直线y=0.5x由原点开始向上平移,所得的直线y=-0.5x+b与矩形两边分别交于M、N两点,设△OMN面积为S，那么能表示S与b函数关系的图象大致是（）A. B. C. D.11.如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB以相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为（）A.0.4米B.0.16米C.0.2米D.0.24米12.如图，正方形ABCD中，AB＝8 cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1 cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t(s)，△OEF的面积S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( B )二、填空题13.如图,抛物线C是二次函数y=x2﹣10x在第四象限的一段图象,它与x轴的交点是O、A1；将C1绕1点A1旋转180°后得抛物线C2；它与x轴的另一交点为A2；再将抛物线C2绕A2点旋转180°后得抛物线C3，交x轴于点A3；如此反复进行下去…，若某段抛物线上有一点P，则a= ．14.如图，抛物线与交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，的值总是正数；②；③当x=0时，；④AB+AC=10；⑤.其中正确结论的个数是：．15.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交点C．在下面五个结论中：①bc＞0；②a+b+c＜0；③c=﹣3a；④当﹣1＜x＜3时，y＞0；⑤如果△ABC为直角三角形，那么仅a=一种情况.其中正确的结论是．（只填序号）16.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一个根为 -a-1.其中正确的结论个数有（填序号）17.体育公园的圆形喷水池的水柱（如图1）如果曲线APB表示落点B离点O最远的一条水流（如图2），其上的水珠的高度）y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y=﹣x2+4x+2.25，那么圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不落在水池外．18.定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}=b．当a＜b时，min{a，b}=a．若当－2≤x≤3，min{x2－2x－15，m(x＋1)}=x2－2x－15,则实数m的取值范围是________三、解答题19.已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a、m为常数，且a≠0)．(1)求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；(2)设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D.①当△ABC的面积等于1时，求a的值；②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．20.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3,0）和B（2,3）．过点A的直线与y轴的负半轴相交于点C，且tan∠ACO=3．（1）求这条抛物线的表达式及对称轴；（2）连接AB、BC，求∠ABC的正切值；（3）若点D在x轴下方的对称轴上，当S△ABC=S△ADC时，求点D的坐标．21.在坐标系中,已知抛物线y=x2﹣2x+n﹣1与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B．（1）当△OAB是等腰直角三角形时,求n的值；（2）点C的坐标为（3,0），若该抛物线与线段OC有且只有一个公共点,结合函数的图象求n的取值范围．22.某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣x+60（30≤x≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式；（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？23.某公司销售一种进价为20元/个的计算器，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表：同时，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元．（1）观察并分析表中的y与x之间的对应关系，用所学过的一次函数，反比例函数或二次函数的有关知识写出y（万个）与x（元/个）的函数解析式．（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润z（万元）与销售价格x（元/个）的函数解析式，销售价格定为多少元时净得利润最大，最大值是多少？（3）该公司要求净得利润不能低于40万元，请写出销售价格x（元/个）的取值范围，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为多少元？24.如图，在平面直角坐标系中，圆D与y轴相切于点C（0，4），与x轴相交于A、B两点，且AB=6．（1）则D点的坐标是（，），圆的半径为；（2）sin∠ACB= ；经过C、A、B三点的抛物线的解析式；（3）设抛物线的顶点为F，证明直线FA与圆D相切；（4）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点N，使△CBN面积最大，最大值是多少，并求出N点坐标．25.如图，已知抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线BC的解析式；（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．答案1.D2.C3.D．4.D5.A．6.C7.A8.A9.A10.B11.C12.B13.答案为24．14.答案为：①②④⑤；15.答案为①②③⑤16.答案为：①③④；17.答案为：4.5．18.答案为：-3≤m≤7.19.20.21.解：（1）二次函数的对称轴是x=﹣1，则B的坐标是（1，0），当△OAB是等腰直角三角形时，OA=OB=1，则A的坐标是（0，1）或（0，﹣1）．抛物线y=x2﹣2x+n﹣1与y轴交于点A的坐标是（0，n﹣1）．则n﹣1=1或n﹣1=﹣1，解得n=2或n=0；（2）①当抛物线的顶点在x轴上时，△=（﹣2）2﹣4（n﹣1）=0，解得：n=2；②当抛物线的顶点在x轴下方时，如图，由图可知当x=0时，y＜0；当x=3时，y≥0，即，解得：﹣2≤n＜1，综上，﹣2≤n＜1或n=2．22.23.解：（1）根据表格中数据可得出：y与x是一次函数关系，设解析式为：y=ax+b，则，解得：，故函数解析式为：y=﹣0.1x+8；（2）根据题意得出：z=（x﹣20）y﹣40=（x﹣20）（﹣0.1x+8）﹣40=﹣0.1x2+10x﹣200，=﹣0.1（x2﹣100x）﹣200=﹣0.1 [（x﹣50）2﹣2500]﹣200=﹣0.1（x﹣50）2+50，故销售价格定为50元/个时净得利润最大，最大值是50万元．（3）当公司要求净得利润为40万元时，即﹣0.1（x﹣50）2+50=40，解得：x1=40，x2=60．如上图，通过观察函数y=﹣0.1（x﹣50）2+50的图象，可知按照公司要求使净得利润不低于40万元，则销售价格的取值范围为：40≤x≤60．而y与x的函数关系式为：y=﹣0.1x+8，y随x的增大而减少，因此，若还需考虑销售量尽可能大，销售价格应定为40元/个．24.25.解：。

2019学年度九年级数学二次函数综合培优训练题1．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象关于y 轴对称且交y 轴负半轴于点C ，与x 轴交于点A 、B ，已知AB=6，OC=4，⊙C P 为⊙C 上一动点．（1）求出二次函数的解析式；（2）是否存在点P ，使得△PBC 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接PB ，若E 为PB 的中点，连接OE ，则OE 的最大值是多少？2．已知：二次函数y=ax 2+2ax ﹣4（a≠0）的图象与x 轴交于点A ，B （A 点在B 点的左侧），与y 轴交于点C ，△ABC 的面积为12．（1）求二次函数图象的对称轴与它的解析式；（2）点D 在y 轴上，当以A 、O 、D 为顶点的三角形与△BOC 相似时，求点D 的坐标；（3）点D 的坐标为（﹣2，1），点P 在二次函数图象上，∠ADP 为锐角，且tan ∠ADP=2，求点P 的横坐标．3．已知，如图1，抛物线y=ax 2+bx+3与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点A ，且AO=CO ，BC=4．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，点P 是抛物线第一象限上一点，连接PB 交y 轴于点Q ，设点P 的横坐标为t ，线段OQ 长为d ，求d 与t 之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，过点Q 作直线l ⊥y 轴，在l 上取一点M （点M 在第二象限），连接AM，使AM=PQ，连接CP并延长CP交y轴于点K，过点P作PN⊥l于点N，连接KN、CN、CM．若∠MCN+∠NKQ=45°时，求t值．4．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的一边AB在x轴上，∠ABC=90°，点C（4，8）在第一象限内，AC与y轴交于点E，抛物线y=+bx+c经过A、B两点，与y轴交于点D（0，﹣6）．（1）请直接写出抛物线的表达式；（2）求ED的长；（3）点P是x轴下方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，△PAC的面积为S，试求出S 与m的函数关系式；（4）若点M是x轴上一点（不与点A重合），抛物线上是否存在点N，使∠CAN=∠MAN．若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图①已知抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点为E．（1）抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为_____，点A的坐标为_____；（2）若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，如图②Q（m，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC 交于点M ，与抛物线交于点N ，连结CN ，将△CMN 沿CN 翻折，M 的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q ，使得M′恰好落在y 轴上？若存在，请求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由．答案：1．（1）二次函数解析式为24-49y x =；（2）点P 的坐标为（﹣1，﹣2）或（115，﹣225）﹣4 ﹣4）；（3）OE （1）首先确定A 、B 、C 的坐标，再运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）①当PB 与⊙相切时，△PBC 为直角三角形，如图1，连接BC ，根据勾股定理得到BC=5，BP 2=2，过P 2作P 2E ⊥x 轴于E ，P 2F ⊥y 轴于F ，根据相似三角形的性质得到222212P F CP P E BP ==，设OC=P 2E=2x ，FP 2=OE=x ，得到BE=3-x ，CF=2x-4，于是得到FP 2=115，EP 2=225，求得P 2（115，-225），过P 1作P 1G ⊥x 轴于G ，P 1H ⊥y 轴于H ，同理求得P 1（-1，-2），②当BC ⊥PC 时，△PBC 为直角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论； （3）如图中，连接AP ，根据OB=OA ，BE=EP ，推出OE=12AP ，可知当AP 最大时，OE 的值最大，解：（1）∵AB=6，OC=4且图象关于y 轴对称∴A （-3，0），B （3，0），C （0，﹣4）设二次函数解析式为2-4y ax =将A （-3，0）代入得49a =∴二次函数解析式为24-49y x = （2）存在点P ，使得△PBC 为直角三角形.①当PB 与⊙相切时，△PBC 为直角三角形，如图，连接BC.∵OB=3．OC=4，∴BC=5∵CP 2⊥BP 2，CP 2∴BP 2P 2作P 2E ⊥x 轴于E ，P 2F ⊥y 轴于F则△CP 2F ∽△BP 2E ，四边形OCP 2B 是矩形∴222212P F CP P E BP ==，设OF=P 2E=2x ，CP 2=OE=x∴BE=3﹣x ，CF=2x ﹣4 ∴324BE xCF x -=-=2∴x=115，2x=225，即FP 2=115，EP 2=225∴P 2（115，﹣225）过P 1作P 1G ⊥x 轴于G ，P 1H ⊥y 轴于H.同理求得P 1（﹣1，﹣2）②当BC ⊥PC 时，△PBC 为直角三角形过P 4作P 4H ⊥y 轴于H则△BOC ∽△CHP 4∴44P H P CCH OB OC BC ==＝∴CH=3，P 4H=3∴P 4﹣4）同理P 3﹣4）综上所述：点P 的坐标为（﹣1，﹣2）或（115，﹣225﹣4）或（﹣﹣4）. （3）如图，连接AP∵OB=OA ，BE=EP∴OE 为△ABP 的中位线 ∴12OE AP = ∴当AP 最大时，OE 最大∵当P 在AC 的延长线上时，AP 最大，最大值为5∴OE2．（1）y=x 2+x ﹣4；（2）点D 的坐标为（0，2）或（0，﹣2）或（0，8）或（0，﹣8）；（3）P 点的横坐标为﹣2或．根据对称轴坐标公式可求二次函数图象的对称轴；当x =0时，y =−4，可求点C 的坐标为(0,−4)，，根据三角形面积公式可求进一步得到A 点和B 点的坐标分别为(−4,0),(2,0).待定系数法可求二次函数的解析式.则分和两种情况讨论即可.过D作轴于F，分两种情况：①当点P在直线AD的下方时,②当点P在直线AD的上方时.分别求解.解：（1）该二次函数的对称轴是：直线当x=0时，y=−4，∴点C的坐标为(0,−4)，∴连接∵又∵点A，B关于直线x=−1对称，∴A点和B点的坐标分别为(−4,0),(2,0).∴4a+4a−4=0,解得∴所求二次函数的解析式为（2）如图1，∵且分两种情况：①当时，∴即或②当时，∴即或综上所述，点D的坐标为或或或；（3）如图2，过D作轴于F，分两种情况：①当点P在直线AD的下方时，如图所示:由(1)得点A(−4,0),点D(−2,1)，∴DF=1，AF=2.在Rt△ADF中,得延长DF与抛物线交于点,则点为所求,∴点的坐标为(−2,−4).②当点P在直线AD的上方时,延长P1A至点G使得AG=AP1，连接DG，作GH⊥x轴于点H，如图所示.可证△GHA≌△P1F A.∴HA=AF,GH=P1F,GA=P1A.又∵A(−4,0),P1(−2,−4)，∴点G的坐标是(−6,4).易得DG的解析式为：在中，∴∴∴∴∴∴设DG 与抛物线的交点为P 2，则P 2点为所求，设代入DG 的解析式中， 解得∵P 2 点在第二象限，∴P 2点的横坐标为（舍正）综上，P 点的横坐标为或．3．（1）抛物线解析式为y=14x 2+12x ﹣6；（2）存在．P 点坐标为（0，2）或（0，﹣2）； （3）Q 点的坐标为（3，﹣94）或（﹣3，﹣214）． ()1把()()6066A C -，，，代入26y ax bx =+-求出,a b 即可. ()2分两种情况进行讨论.()3设()211,66642Q x x x x ⎛⎫+--<< ⎪⎝⎭， 则13,2M x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，分06x ≤<和06x ≤<两种情况进行讨论.解：（1）把()()6066A C -，，，代入26y ax bx =+-得，36660{ 36666,a b a b --=+-= 解得14{ 1.2a b == ∴抛物线解析式为211642y x x =+-； （2）存在．如图1，当点P 在OB 上，作PH AB ⊥于H ，直线AC 交y 轴于D ，设()0,P t ， 设直线AC 的解析式为y mx n =+， 把()()6066A C -，，，代入得60{ 66,m n m n -+=+= 解得1{ 23.m n == ∴直线AC 的解析式为132y x =+， 当x =0时， 1332y x =+=，则()03D ，， 当0x =时， 211642y x x =+-，则()0,6C -， ∵6OA OB ==，∴OAB 为等腰直角三角形，∴45AB OAB =∠=︒，∴PBH 为等腰直角三角形，∴)62PH BH t ==+， ∵4545OAP OAC OAP PAB ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴PAB OAC ∠=∠，∴Rt Rt PAH DAO ∽， ∴,PH AH OD OA=即()()6622,36t t ++= 解得2t =-，此时P 点坐标为()0,2-，点P 关于x 轴的对称点P ′的坐标为()02，，∵'OAP OAP ∠=∠，∴'45OAP OAC ∠+∠=︒，∴点P '满足条件，综上所述，P 点坐标为()02，或()0,2-；（3）作QM ∥y 轴交直线AC 于点M ，连接OQ ， 设()211,66642Q x x x x ⎛⎫+--<< ⎪⎝⎭， 则13,2M x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴2211113692424MQ x x x x ⎛⎫=+-+-=-+ ⎪⎝⎭， 当06x ≤<时，如图2，S 四边形,ABQC ABD BDQ QDC S S S =++21111699692224x x ⎛⎫=⨯⨯+⨯⋅+⨯-+ ⎪⎝⎭， 23954,42x x =-++ ()232433,44x =--+ 当x =3时，S 四边形ABQC 的最大值为2434，此时93,4Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 当60x -<<时，如图3，S 四边形AQBC ,CBD BDQ QDA S S S =++()21111699692224x x ⎛⎫=⨯⨯+⨯⋅-+⨯-+ ⎪⎝⎭， 23954,42x x =--+ ()232433,44x =-++ 当x =-3时，S 四边形AQBC 的最大值为2434，此时213,4Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴Q点的坐标为93,4⎛⎫-⎪⎝⎭或213,4⎛⎫--⎪⎝⎭．4．（1）y=﹣x2+2x+3（2）d=﹣t+3（0＜t＜3）（3（1）先令x=0代入抛物线的解析式中求得与y轴交点A的坐标，根据OA=OC可得C的坐标，从而得B的坐标，利用待定系数法求抛物线解析式；（2）如图2，设P（t，-t2+2t+3）（0<t<3），证明△BOQ∽△BGP，列比例式可得结论；（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形和等腰直角三角形，先得QN=OG=AQ=t，则△AQN是等腰直角三角形，得，由PG∥OK，得PG CGOK OC=,，求得AK=3t，证明△NGC是等腰直角三角形，及△AKN∽△NMC，则AK ANOK NC=，代入可得t的值，并根据（2）中的点P只在第一象限进行取舍．解：（1）如图1，当x=0时，y=3，∴A（0，3），∴OA=OC=3，∵BC=4，∴OB=1，∴B（﹣1，0），C（3，0），把B（﹣1，0），C（3，0）代入抛物线y=ax2+bx+3中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）如图2，设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），过P作PG⊥x轴于G，∵OQ∥PG，∴△BOQ∽△BGP，∴，∴，∴d==﹣t+3（0＜t＜3）；（3）如图3，连接AN，延长PN交x轴于G，由（2）知：OQ=3﹣t，OA=3，∴A Q=OA﹣OQ=3﹣（3﹣t）=t，∴QN=OG=AQ=t，∴△AQN是等腰直角三角形，∴∠QAN=45°，AN=t，∵PG∥OK，∴，∴，OK=3t+3，AK=3t，∵∠QAN=∠NKQ+∠ANK，∴∠NKQ+∠ANK=45°，∵∠MCN+∠NKQ=45°，∴∠ANK=∠MCN，∵NG=CG=3﹣t，∴△NGC是等腰直角三角形，∴NC=（3﹣t），∠GNC=45°，∴∠CNH=∠NCM+∠NMC=45°，∴∠NKQ=∠NMC，∴△AKN∽△NMC，∴，∵AQ=QN=t，AM=PQ，∴Rt△AQM≌△Rt△QNP（HL），∴MQ=PN=﹣t2+2t+3﹣（3﹣t）=﹣t2+3t，∴，t2﹣7t+9=0，t1=＞3，t2=，∵0＜t＜3，∴t1＞3，不符合题意，舍去，∴t=．5．（1）y=；（2）；（3）S=﹣m2+m+26（﹣2＜m＜4）；（4）（，）；（，﹣）（1）先确定B（4，0），再利用待定系数法求出抛物线解析式为y=；（2）先利用待定系数法求得直线AC的解析式为y=x+，则可确定E（0，），然后计算DE的长；（3）如图1，作PQ∥y轴交AC于Q，设P（m，m2-m-6），则Q（m，m+），则PQ=-m2+m+，然后根据三角形面积公式，利用S=S△PAQ+S△PCQ计算即可；（4）如图2，当点M在x的正半轴，AN交BC于F，作FH⊥AC于H，根据角平分线的性质得FH=FB，易得AH=AB=6，再利用∠ACB的余弦可求出CF=5，则F（4，3），接着求出直线AF的解析式为y=x+1，于是通过解方程组得N点坐标为（，）；当点M′在x的负半轴上时，AN′交y轴与G，先在证明∴Rt△OAG∽Rt△BFA，在利用相似比求出OG=4，所以G（0，-4），接下来利用待定系数法求出直线AG的解析式为y=-2x-4，然后解方程组得N′的坐标．解：（1）∵BC⊥x轴，点C（4，8），∴B（4，0），把B（4，0），C（0，-6）代入y=x2+bx+c得，解得，∴抛物线解析式为y=x2-x-6；（2）设直线AC的解析式为y=px+q，把A（-2，0），C（4，8）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=x+，当x=0时，y=x+=，则E（0，），∴DE=+6=；（3）如图1，作PQ∥y轴交AC于Q，设P（m，m2-m-6），则Q（m，m+），∴PQ=m+-（m2-m-6）=-m2+m+，∴S=S△PAQ+S△PCQ=×6×PQ=-m2+m+26（-2＜m＜4）；（4）如图2，当点M在x的正半轴，AN交BC于F，作FH⊥AC于H，则FH=FB，易得AH=AB=6，∵AC=，∴CH=10-6=4，∵cos∠ACB=，∴CF==5，∴F（4，3），易得直线AF的解析式为y=x+1，解方程组得或，∴N点坐标为（，）；当点M′在x的负半轴上时，AN′交y轴与G，∵∠CAN′=∠M′AN′，∴∠KAM′=∠CAK，而∠CAN=∠MAN，∴∠KAC+∠CAN=90°，而∠MAN+∠AFB=90°，∴∠KAC=∠AFB，而∠KAM′=∠GAO，∴∠GAO=∠AFB，∴Rt△OAG∽Rt△BFA，∴，即，解得OG=4，∴G（0，-4），易得直线AG的解析式为y=-2x-4，解方程组得或，∴N′的坐标为（，-）.7．（1）（，0），（﹣1，0）;（2）y=﹣x2+x+3．（3）存在，点Q坐标为（，0）或（，0）．（1）由抛物线的对称轴为直线求出抛物线y=ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）的对称轴方程，即可求得点E的坐标；在y=ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）令y=0可得关于x的方程ax2﹣3ax﹣4a=0，解方程即可求得点A的坐标；（2）如图1，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，结合（1）可得DE=OE=，EB=，OC=-4a，在Rt△BDE中由勾股定理可得BD=2，这样由tan∠OBC=即可列出关于a的方程，解方程求得a的值即可得到抛物线的解析式；（3）由折叠的性质和MN∥y轴可得∠MCN=∠M′CN=∠MNC，由此可得CM=MN，由点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3）可得线段BC=5，直线BC的解析式为y=﹣x+3，由此即可得到M、N的坐标分别为（m，﹣m+3）、（m，﹣m2+m+3），作MF⊥OC于F，这样由sin∠BCO=即可解得CM=m，然后分点N在直线BC的上方和下方两种情况用含m的代数式表达出MN的长度，结合MN=CM即可列出关于m的方程，解方程即可求得对应的m的值，从而得到对应的点Q的坐标.解：（1）∵对称轴x=，∴点E坐标（，0），令y=0，则有ax2﹣3ax﹣4a=0，∴x=﹣1或4，∴点A坐标（﹣1，0）．故答案分别为（，0），（﹣1，0）．（2）如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，∵DE=OE=，EB=，OC=﹣4a，∴DB=，∵tan∠OBC=，∴，解得a=，∴抛物线解析式为y=．（3）如图②中，由题意∠M′CN=∠NCB，∵MN∥OM′，∴∠M′CN=∠CNM，∴MN=CM，∵点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，3），∴直线BC解析式为y=﹣x+3，BC=5，∴M（m，﹣m+3），N（m，﹣m2+m+3），作MF⊥OC于F，∵sin∠BCO=，∴，∴CM=m，①当N在直线BC上方时，﹣x2+x+3﹣（﹣x+3）=m，解得：m=或0（舍弃），∴Q1（，0）．②当N在直线BC下方时，（﹣m+3）﹣（﹣m2+m+3）=m，解得m=或0（舍弃），∴Q2（，0），综上所述：点Q坐标为（，0）或（，0）．。

培优专题01二次函数含参数最值问题【题型目录】题型一：定轴动区间问题题型二：定区间动轴问题题型三：含绝对值二次函数问题题型四：定义域为[]n m ,，值域为[]kn km ,求参数问题题型五：二次函数值域包含性问题【典型例题】题型一：定轴动区间问题【例1】已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠，满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)0f =．(1)求()f x 的解析式；(2)当[]()2R x t t t ∈+∈,时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．【答案】(1)()22f x x x=-(2)()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩【分析】（1）由题意可得0c =，再代入(1)()21f x f x x +-=-到2()(0)f x ax bx a =+≠，化简可求出,a b ，从而可求出()f x 的解析式.（2）求出抛物线的对称轴，然后分1,21t t ≥+≤和11t t <<+三种情况求解函数的最小值.【详解】（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)0f =，(1)()21f x f x x +-=-，所以0c =，()()221121221a x b x ax bx x ax a b x +++--=-⇒++=-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，得12a b =⎧⎨=-⎩.所以()22f x x x =-.（2）()22f x x x =-是图象的对称轴为直线1x =，且开口向上的二次函数.当1t ≥时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递增，则()()2min 2f x f t t t ==-；当21t +≤即1t ≤-时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递减，则()()()()22min 22222f x f t t t t t =+=+-+=+；当11t t <<+，即11t -<<时，()()()2min 11211f x f ==-=-；综上所述()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩.【例2】已知定义在R 上的函数()f x ，满足()226f x x x -=--．(1)求()f x 的解析式．(2)若()f x 在区间[]0,m 上的值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，写出实数m 的取值范围（不必写过程）．(3)若()f x 在区间[],2t t +上的最小值为6，求实数t 的值．【例3】对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使得()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数2()(2)4f x ax b x =+++的两个不动点分别是-2和1.(1)求,a b 的值及()f x 的表达式；(2)当函数()f x 的定义域是[,1]t t +时，求函数()f x 的最大值()g t .【例4】已知函数()f x 为二次函数，不等式()0f x >的解集是()1,5，且()f x 在区间[1,4]-上的最小值为12-.(1)求()f x 的解析式；(2)设函数()f x 在[,1]t t +上的最大值为()g t ，求()g t 的表达式.【答案】(1)()265f x x x =-+-(2)()224,24,2365,3t t tg t t t t t ⎧-+≤⎪=<<⎨⎪-+-≥⎩【分析】（1）根据题意，设()()1(5)f x a x x =--，可得函数的对称轴3x =，再根据函数在[]1,4-上的最小值，求出a ，可得函数()f x 数的表达式；（2）分13t + 时、3t 时和23t <<时三种情况，分别讨论函数的单调性，可得相应情况下函数的最大值，最后综合可得()g t 的表达式．。

专题2.4二次函数的图象与性质（3）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•南岗区校级期中）抛物线y＝x2+2x+2的对称轴是（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线y＝﹣1D．直线y＝1【分析】利用二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x=−b2a可求出答案．【解析】y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x=−b2a，代入数值求得对称轴是直线x＝﹣1；故选：B．2．（2019秋•思明区校级期中）对于二次函数y＝x2﹣2x+3的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣1C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．函数最大值为4【分析】将解析式配方成顶点式，再根据二次函数的性质可得抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标及最值情况，据此求解可得．【解析】∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴由a＝1＞0知抛物线开口向上，顶点坐标是（1，2），对称轴是直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而减小，函数有最小值为2，无最大值，∴C选项正确；故选：C．3．（2019秋•太仓市期中）函数y＝ax+b和y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且a≠0）在同一直角坐标系内的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据a、b的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．【解析】当a＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A、D不正确；由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=−b2a＞0，且a＞0，则b＜0，但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B．故选：C．4．（2018秋•渝中区校级期中）抛物线y＝﹣x2+mx+4﹣m2的图象如图所示，则m的值为（）A．±2B．4C．2D．﹣2【分析】根据图形可知，函数图象经过原点，然后把（0，0）代入函数解析式进行计算求得m的值，再根据−b2a＜0，求得m的符号即可得解．【解析】由图可知二次函数图象经过点（0，0），所以，4﹣m2＝0，解得m＝±2，∵−b2a＜0，即−m2×(−1)＜0，解得m＜0，∴m＝﹣2，故选：D．5．（2020•雁塔区校级模拟）已知抛物线y＝﹣x2+mx+2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，则抛物线的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据题意和二次函数的性质，可以求得m 的取值范围，从而可以得到该抛物线顶点所在的象限，本题得以解决．【解析】∵抛物线y ＝﹣x 2+mx +2m ＝﹣（x −m 2）2+m 24+2m ，当x ＜1时，y 随x 的增大而增大，∴该抛物线的对称轴是直线x =m2，开口向下， ∴m 2≥1，即m ≥2， ∴m 24+2m ＞0，∴该抛物线的顶点（m 2，m 24+2m ）在第一象限，故选：A ．6．（2020•菏泽）一次函数y ＝acx +b 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】先由二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y ＝acx +b 的图象相比较看是否一致．【解析】A 、由抛物线可知，a ＞0，b ＜0，c ＞0，则ac ＞0，由直线可知，ac ＞0，b ＞0，故本选项不合题意；B 、由抛物线可知，a ＞0，b ＞0，c ＞0，则ac ＞0，由直线可知，ac ＞0，b ＞0，故本选项符合题意；C 、由抛物线可知，a ＜0，b ＞0，c ＞0，则ac ＜0，由直线可知，ac ＜0，b ＜0，故本选项不合题意；D 、由抛物线可知，a ＜0，b ＜0，c ＞0，则ac ＜0，由直线可知，ac ＞0，b ＞0，故本选项不合题意． 故选：B ．7．（2020•永嘉县模拟）已知抛物线y ＝a （x ﹣2）2+1经过点A （m ，y 1），B （m +2，y 2），若点A 在抛物线对称轴的左侧，且1＜y 1＜y 2，则m 的取值范围是（ ） A ．0＜m ＜1B ．0＜m ＜2C ．1＜m ＜2D ．m ＜2【分析】根据题目中的抛物线，可以得到该抛物线的对称轴，然后根据题意，可知点A 和点B 在对称轴两侧，从而可以得到m 的取值范围，本题得以解决． 【解析】∵抛物线y ＝a （x ﹣2）2+1， ∴该抛物线的对称轴为直线x ＝2，∵点A （m ，y 1），B （m +2，y 2）在抛物线y ＝a （x ﹣2）2+1上，点A 在抛物线对称轴的左侧，且1＜y 1＜y 2， ∴1＜m ＜2， 故选：C ．8．（2020•稷山县校级一模）已知二次函数y ＝x 2﹣bx +1（﹣1≤b ≤1），当b 从﹣1逐渐变化到1的过程中，图象（ ）A ．先往左上方移动，再往左下方移动B ．先往左下方移动，再往左上方移动C ．先往右上方移动，再往右下方移动D ．向往右下方移动，再往右上方移动【分析】先分别求出当b ＝﹣1、0、1时函数图象的顶点坐标即可得出答案． 【解析】当b ＝﹣1时，此函数解析式为：y ＝x 2+x +1，顶点坐标为：（−12，34）；当b ＝0时，此函数解析式为：y ＝x 2+1，顶点坐标为：（0，1）； 当b ＝1时，此函数解析式为：y ＝x 2﹣x +1，顶点坐标为：（12，34）．故函数图象应先往右上方移动，再往右下方移动． 故选：C ．9．（2020•岐山县二模）若抛物线y ＝x 2+mx +n 的顶点在x 轴上，且过点A （a ，b ），B （a +6，b ），则b 的值为（ ） A ．9B ．6C ．3D ．0【分析】根据抛物线y ＝x 2+mx +n 的顶点在x 轴上，可知△＝0，从而可以得到m 与n 的关系，再根据抛物线y ＝x 2+mx +n 过点A （a ，b ），B （a ﹣4，b ），可以得到a 和m 的关系，从而可以求得b 的值． 【解析】∵抛物线y ＝x 2+mx +n 顶点在x 轴上， ∴△＝m 2﹣4×1×n ＝m 2﹣4n ＝0， ∴n =14m 2，∵抛物线y ＝x 2+mx +n 过点A （a ，b ），B （a +6，b ）， ∴b ＝a 2+ma +n ，b ＝（a +6）2+m （a +6）+n ， ∴a 2+ma +n ＝（a +6）2+m （a +6）+n ， 化简，得 a =−6−m2， ∴b ＝a 2+ma +n ＝（−6−m 2）2+m ×−6−m 2+14m 2＝9， 故选：A ．10．（2020•长春模拟）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA 喷出，OA 长为1.5m ．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B 到O 的距离为3m ．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间近似满足函数关系y ＝ax 2+x +c （a ≠0），则水流喷出的最大高度为（ ）A ．1米B ．32米C ．2米D ．138米【分析】由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a 和c 的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度．【解析】由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0）， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： {c =1.59a +3+c =0， 解得：{a =−12c =32， ∴函数表达式为：y =−12x 2+x +32， =−12（x ﹣1）2+2，∵a ＜0，故函数有最大值，∴当x ＝1时，y 取得最大值，此时y ＝2， 答：水流喷出的最大高度为2米． 故选：C ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•立山区二模）若二次函数y ＝mx 2+（m ﹣2）x +m 的顶点在x 轴上，则m ＝ ﹣2或23．【分析】根据二次函数的顶点坐标列出方程求解即可． 【解析】∵二次函数y ＝mx 2+（m ﹣2）x +m 的顶点在x 轴上， ∴4m⋅m−(m−2)24m=0，解得m ＝﹣2或23． 故答案为：﹣2或23．12．（2020•玄武区二模）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y…4664…若点P （m 2﹣2，y 1）、Q （m 2+4，y 2）在抛物线上，则y 1 ＞ y 2．（选填“＞”、“＜”或“＝”） 【分析】由表中对应值可得到抛物线的对称轴为直线x =12，且抛物线开口向上，然后根据两点到对称轴的距离进行判断即可．【解析】∵x ＝0时，y ＝6；x ＝1时，y ＝6， ∴抛物线的对称轴为直线x =12，且抛物线开口向下，∵点P （m 2﹣2，y 1）、Q （m 2+4，y 2）在抛物线上，且|m 2﹣2−12|＜|m 2+4−12|， ∴y 1＞y 2， 故答案为＞．13．（2020•海珠区一模）抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点A （﹣2，0）、B （1，0）两点，则该抛物线的顶点坐标是 （−12，−94） ．【分析】利用待定系数法确定b 、c 的值，然后求得顶点坐标即可． 【解析】∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点A （﹣2，0）、B （1，0）两点，∴{4−2b +c =01+b +c =0， 解得：{b =1c =−2，∴y ＝x 2+x ﹣2＝（x +12）2−94， ∴顶点坐标为（−12，−94）， 故答案为：（−12，−94）．14．（2018秋•顺庆区校级月考）某同学用描点法画二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象时，列出了下面的表格由于粗心他算错了其中一个y 的值，则这个错误的数值是 ﹣5 ． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y…﹣11﹣21﹣2﹣5…【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案． 【解析】由函数图象关于对称轴对称，得 （﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）在函数图象上， 把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得 {a −b +c =−2c =1a +b +c =−2， 解得{a =−3b =0c =1，函数解析式为y ＝﹣3x 2+1 x ＝2时y ＝﹣11， 故这个错误的数值是﹣5， 故答案为﹣5．15．（2020•梁园区模拟）点P 1（﹣2，y 1），P 2（0，y 2），P 3（1，y 3）均在二次函数y ＝﹣x 2﹣2x +c 的图象上，则 y 1，y 2，y 3 的大小关系是 y 1＝y 2＞y 3 ．【分析】先根据二次项系数为负，得出函数图象开口向下；再求出其对称轴，根据横坐标离对称轴的远近即可作出判断．【解析】二次函数y ＝﹣x 2﹣2x +c 的二次项系数a ＝﹣1， ∴函数图象开口向下又∵对称轴为x＝﹣1，∴y1＝y2＞y3点故答案为：y1＝y2＞y3．16．（2011秋•越秀区期末）二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则其对称轴方程是x＝﹣1，方程x2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1．【分析】根据二次函数与x轴的交点的坐标（x1，0）、（x2，0）和对称轴方程x=x1+x22，代入求出即可；同样根据二次函数与x轴的交点坐标能求出方程x2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1．【解析】∵从图象可知，二次函数与x轴的交点的坐标是（﹣3，0），（1，0），对称轴方程是x=−3+12=−1，方程x2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1．故答案为：x＝﹣1，x1＝﹣3，x2＝1．17．（2019秋•南充期末）将抛物线y＝﹣x2﹣4x（﹣4≤x≤0）沿y轴折叠后得另一条抛物线，若直线y＝x+b与这两条抛物线共有3个公共点，则b的取值范围为0＜b＜94．【分析】画出图象，利用图象法解决即可．【解析】将抛物线y＝﹣x2﹣4x（﹣4≤x≤0）沿y轴折叠后得另一条抛物线为y＝﹣x2+4x（0≤x≤4）画出函数如图，由图象可知，当直线y ＝x +b 经过原点时有两个公共点，此时b ＝0， 解{y =x +b y =−x 2+4x ，整理得x 2﹣3x +b ＝0， 若直线y ＝x +b 与这两条抛物线共有3个公共点， 则△＝9﹣4b ＞0， 解得b ＜94所以，当0＜b ＜94时，直线y ＝x +b 与这两条抛物线共有3个公共点， 故答案为0＜b ＜94．18．（2020•长春一模）如图，直线y ＝x +1与抛物线y ＝x 2﹣4x +5交于A ，B 两点，点P 是y 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最小时，点P 的坐标为 （0，135） ．【分析】首先确定点A 和点B 的坐标，然后根据轴对称，可以求得使得△P AB 的周长最小时点P 的坐标． 【解析】{y =x +1y =x 2−4x +5，解得，{x =1y =2或{x =4y =5，∴点A 的坐标为（1，2），点B 的坐标为（4，5）， ∴AB =√(5−2)2+(4−1)2=3√2，作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B 与y 轴的交于P ，则此时△P AB 的周长最小， 点A ′的坐标为（﹣1，2），点B 的坐标为（4，5）， 设直线A ′B 的函数解析式为y ＝kx +b ， {−k +b =24k +b =5，得{k =35b =135，∴直线A ′B 的函数解析式为y =35x +135， 当x ＝0时，y =135， 即点P 的坐标为（0，135），故答案为：（0，135）．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•大观区校级期中）当x ＝1时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 取得最小值为﹣3，且函数图象与y 轴交于点C （0，1） （1）求此函数解析式；（2）若A （m ，y 1），B （m +2，y 2）两点都在函数图象上，且y 1＜y 2，直接写出m 的取值范围 m ＞0 ． 【分析】（1）根据题意设函数的解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣3，然后代入点C （0，1），利用待定系数法即可求得；（2）分别把A （m ，y 1），B （m +2，y 2）两点代入y ＝4（x ﹣1）2﹣3，得到y 2﹣y 1＝[4（m +1）2﹣3]﹣[4（m ﹣1）2﹣3]＝16m ＞0，解得即可．【解析】（1）∵x ＝1时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 取得最小值为﹣3， ∴抛物线开口向上，顶点为（1，﹣3），设函数的解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣3，代入点C （0，1）得，1＝a ﹣3， 解得a ＝4，∴此函数解析式为y ＝4（x ﹣1）2﹣3；（2）∵A （m ，y 1），B （m +2，y 2）两点都在函数y ＝4（x ﹣1）2﹣3的图象上， ∴y 1＝4（m ﹣1）2﹣3；，y 2＝4（m +1）2﹣3， ∵y 1＜y 2，∴y 2﹣y 1＝[4（m +1）2﹣3]﹣[4（m ﹣1）2﹣3]＝16m ＞0，∴m＞0，∴m＞0时，y1＜y2，故答案为m＞0．20．（2019秋•昌平区校级期中）如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，﹣1），（0，3）（1）求二次函数的解析式；（2）写出二次函数的对称轴和顶点坐标．【分析】（1）把三个点的坐标代入y＝ax2+bx+c，得出方程组，求出方程组的解即可．（2）化成顶点式即可求得．【解析】（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，﹣1），（0，3）∴代入得：{a+b+c=04a+2b+c=−1 c=3解得：a＝1，b＝﹣4，c＝3，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴二次函数的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1）．21．（2019秋•西城区校级期中）已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．（1）与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），顶点坐标是（1，﹣4）；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x……y……（3）结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；当1＜x ＜2时，﹣4＜y＜﹣3．【分析】（1）根据抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可以求得抛物线与x轴和y轴的交点；（2）根据第一问中的三个坐标和二次函数图象具有对称性，在表格中填入合适的数据，然后再描点作图即可；（3）根据第二问中的函数图象结合对称轴可以直接写出答案．【解析】（1）令y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3．解得x1＝﹣1，x2＝3．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点的坐标为（﹣1，0），（3，0）．y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）x2﹣4，所以它的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）列表：x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣30…图象如图所示：；（3）当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3．22．（2019秋•西城区校级期中）已知二次函数y＝﹣2x2+8x﹣6（a≠0）（1）将其化成y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式y＝﹣2（x﹣2）2+2；（2）顶点坐标（2，2）对称轴方程直线x＝2；（3）用五点法画出二次函数的图象；（4）当0＜x≤3时，写出y的取值范围﹣6＜y≤2．【分析】（1）直接利用配方法写成顶点式的形式即可；（2）根据顶点式即可求得；（3）利用顶点坐标以及对称轴以及图象与坐标轴交点画出图象即可；（4）利用函数图象得出y的取值范围．【解析】（1）y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2，故答案为y＝﹣2（x﹣2）2+2；（2）顶点为（2，2），对称轴为直线x＝2，故答案为（2，2），直线x＝2；（3）列表：x…01234…y…﹣6020﹣6…描点、连线，画出函数图象如图：（4）由图象可知，当0＜x≤3时，﹣6＜y≤2，故答案为﹣6＜y≤2．23．（2020•湖北）把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．（1）直接写出抛物线C2的函数关系式；（2）动点P（a，﹣6）能否在抛物线C2上？请说明理由；（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．【分析】（1）根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解；（2）根据二次函数的最小值即可判断；（3）根据二次函数的性质可以求得y1与y2的大小．【解析】（1）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，∴把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2：y＝（x+1﹣4）2+2﹣5，即y＝（x﹣3）2﹣3，∴抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3．（2）动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上，理由如下：∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，∴函数的最小值为﹣3，∵﹣6＜﹣3，∴动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上；（3）∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝3，∴当x＜3时，y随x的增大而减小，∵点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0＜3，∴y1＞y2．24．（2020•安徽）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；（2）求a，b的值；（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B （2，3）在直线y ＝x +m 上；（2）因为直线经过A 、B 和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A 、B 点，即可判断抛物线只能经过A 、C 两点，根据待定系数法即可求得a 、b ；（3）设平移后的抛物线为y ＝﹣x 2+px +q ，其顶点坐标为（p 2，p 24+q ），根据题意得出p 24+q =p 2+1，由抛物线y ＝﹣x 2+px +q 与y 轴交点的纵坐标为q ，即可得出q =p 24−p 2−1=−14（p ﹣1）2+54，从而得出q的最大值．【解析】（1）点B 是在直线y ＝x +m 上，理由如下：∵直线y ＝x +m 经过点A （1，2），∴2＝1+m ，解得m ＝1，∴直线为y ＝x +1，把x ＝2代入y ＝x +1得y ＝3，∴点B （2，3）在直线y ＝x +m 上；（2）∵直线y ＝x +1经过点B （2，3），直线y ＝x +1与抛物线y ＝ax 2+bx +1都经过点（0，1），点（0.1），A （1，2），B （2，3）在直线上，点（0，1），A （1，2）在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点 且B 、C 两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过A 、C 两点，把A （1，2），C （2，1）代入y ＝ax 2+bx +1得{a +b +1=24a +2b +1=1， 解得a ＝﹣1，b ＝2；（3）由（2）知，抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +1，设平移后的抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+px +q ，其顶点坐标为（p 2，p 24+q ），∵顶点仍在直线y ＝x +1上，∴p 24+q =p 2+1， ∴q =−p 24+p 2+1，∵抛物线y ＝﹣x 2+px +q 与y 轴的交点的纵坐标为q ，∴q =−p 24+p 2+1=−14（p ﹣1）2+54，∴当p ＝1时，平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值为54．。

二次函数考点分析培优★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点:开口方向,对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点．★★二次函数y=ax 2+bx+c(a ，b,c 是常数，a ≠0）一般式：y=ax 2+bx+c ，三个点顶点式：y=a （x －h)2+k ，顶点坐标对称轴顶点坐标（－2ba，244ac b a -）．顶点坐标(h ，k ）★★★a b c 作用分析│a │的大小决定了开口的宽窄,│a │越大,开口越小，│a │越小，开口越大，a ，b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时,对称轴x=－b 〈0,即对称轴在y 轴左侧，当a ，b•异号时，对称轴x=－2b a 〉0，即对称轴在y 轴右侧,c•的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点,c 〉0时，与y 轴交于正半轴；c<0时,与y•轴交于负半轴,以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．交点式：y=a(x- x 1)(x — x 2），（有交点的情况） 与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2对称轴为221x x h +=1个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式是2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为２。

二次函数的图象顶点坐标为（2,1），形状开品与抛物线y= - 2x 2相同,这个函数解析式为________。

３.如果函数1)3(232++-=+-kx x k y k k是二次函数，则k 的值是______４.(08绍兴）已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线21y x =-上，下列说法中正确的是（ ）A ．若12y y =,则12x x =B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y >D ．若120x x <<，则12y y >５.(兰州10） 抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为A 。

人教版九年级数学第22章二次函数培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 下列函数解析式中，一定是二次函数的是( )A．y＝3x－1 B．y＝ax2＋bx＋cC．s＝2t2－2t＋1 D．y＝x2＋1 x2. 已知二次函数y＝ax2＋2ax＋c的图象与x轴的一个交点的坐标为(1，0)，则它与x轴的另一个交点的坐标是()A．(1，0) B．(－1，0) C．(－3，0) D．(3，0)3. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝24t－4t2，那么小球从抛出至回落到地面所需的时间是()A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s4.将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的是( )A．向左平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度C．向上平移3个单位长度D．向下平移1个单位长度5. 若二次函数y＝x2－6x＋c的图象过A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3＋2，y3)三点，则y1，y2，y3的大小关系是()A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y26.已知二次函数y＝a(x－1)2＋c的图象如图，则一次函数y＝ax＋c的图象大致是()7. (2019•随州)如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有A．1个B．2个C．3个D．4个8.矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2，1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数解析式为y＝x2，再次平移这张透明纸，使这个点与点C重合，则此时抛物线的函数解析式变为( )A．y＝x2＋8x＋14 B．y＝x2－8x＋14C．y＝x2＋4x＋3 D．y＝x2－4x＋39.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC.有下列结论：①abc<0；②b2－4ac4a>0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝－ca.其中正确的结论有()A．4个B．3个C．2个D．1个10. 如图，将函数y＝1 2(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数解析式是( )A．y＝12(x－2)2－2 B．y＝12(x－2)2＋7C．y＝12(x－2)2－5 D．y＝12(x－2)2＋4二、填空题（本大题共6道小题）11.若物体运动的路程s(m)与时间t(s)之间的关系式为s＝5t2＋2t，则当物体运动时间为4 s时，该物体所经过的路程为________．12.已知二次函数y＝3x2＋c与正比例函数y＝4x的图象只有一个交点，则c的值为___ _____．13.竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________．14.如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，点P在抛物线上，且△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为________．15. (2019•天水)二次函数的图象如图所示，若，．则、的大小关系为__________．(填“”、“”或“”)16.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴交于A，B两点，顶点为P(m，n)．给出下列结论：①2a＋c＜0；②若(－32，y1)，(－12，y2)，(12，y3)在抛物线上，则y1＞y2＞y3；③若关于x的方程ax2＋bx＋k＝0有实数解，则k＞c－n；④当n＝－1 a时，△ABP为等腰直角三角形．其中正确的结论是________．(填序号)三、解答题（本大题共4道小题）17. 已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)．(1)求此抛物线的解析式；(2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上；(3)求出抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．18. （2020台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2＝4h（H﹣h）．应用思考：现用高度为20cm的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高hcm处开一个小孔．（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．19. 如图，用一块长为50 cm，宽为30 cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角各截去一个相同的小正方形，设小正方形的边长为x cm.(1)盒子底面的长AB＝________ cm，宽BC＝________ cm.(用含x的代数式表示)(2)若做成的盒子的底面积为300 cm2，求该盒子的容积．(3)该盒子的侧面积S(cm2)是否存在最大值？若存在，求出此时x的值及S的最大值；若不存在，说明理由.20. (2019·山西)综合与探究如图，抛物线经过点A(–2，0)，B(4，0)两点，与轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为.连接AC，BC，DB，D C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求的值；(3)在(2)的条件下，若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.人教版九年级数学第22章二次函数培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C2. 【答案】C[解析] 抛物线的对称轴为直线x＝－2a2a＝－1.因为抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，所以它与x轴的另一个交点的坐标是(－3，0)．3. 【答案】A4. 【答案】 D [解析] A．将函数y＝x2的图象向左平移1个单位长度得到函数y＝(x＋1)2的图象，它经过点(1，4)；B.将函数y＝x2的图象向右平移3个单位长度得到函数y＝(x－3)2的图象，它经过点(1，4)；C.将函数y＝x2的图象向上平移3个单位长度得到函数y ＝x2＋3的图象，它经过点(1，4)；D.将函数y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到函数y＝x2－1的图象，它不经过点(1，4)．故选D.5. 【答案】B[解析] 解法一：y＝x2－6x＋c＝(x－3)2－9＋c，其大致图象如图，对称轴为直线x＝3，由图可得y1>y3>y2.解法二：把A，B，C三点的坐标分别代入解析式并化简，得y1＝7＋c，y2＝－8＋c，y3＝－7＋c，所以y1>y3>y2.故选B.6. 【答案】 B [解析] 根据二次函数的图象开口向上，得a＞0，根据c是二次函数图象顶点的纵坐标，得出c＜0，故一次函数y＝ax＋c的图象经过第一、三、四象限．故选B.7. 【答案】B【解析】∵抛物线开口向下，∴，∵抛物线的对称轴为直线，∴，∵抛物线与轴的交点在轴上方，∴，∴，所以①正确；∵，∴，∵，∴，所以②错误；∵，，∴，把代入得，∴，所以③错误；∵，对称轴为直线，∴，∴是关于x的一元二次方程的一个根，所以④正确，综上正确的有2个， 故选B ．8.【答案】A [解析]因为矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，所以矩形ABCD 关于坐标原点成中心对称．因为A ，C 是矩形对角线上的两个点，所以点A ，C 关于原点对称，所以点C 的坐标为(－2，－1)，所以抛物线向左平移了4个单位长度，向下平移了2个单位长度，所以平移后抛物线的函数解析式为y ＝(x ＋4)2－2＝x2＋8x ＋14.故选A.9. 【答案】B [解析] ∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∴b ＞0. ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0， ∴abc ＜0，故①正确．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴Δ＝b 2－4ac ＞0， 而a ＜0，∴b2－4ac4a ＜0，故②错误．∵C(0，c)，OA ＝OC ，∴A(－c ，0)．把(－c ，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得ac 2－bc ＋c ＝0， ∴ac －b ＋1＝0，故③正确． 设A(x 1，0)，B(x 2，0)，∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点， ∴x 1和x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根， ∴x 1·x 2＝ca .又∵x 1<0，∴OA·OB ＝－c a，故④正确．故选B.10. 【答案】 D [解析] 如图，连接AB ，A′B′，则S 阴影＝S 四边形ABB′A′.由平移可知，AA′＝BB′，AA′∥BB′，所以四边形ABB′A′是平行四边形．分别延长A′A ，B′B 交x 轴于点M ，N ，因为A(1，m)，B(4，n)，所以MN ＝4－1＝3.因为S 阴影＝AA′·MN ，所以9＝3AA′，解得AA′＝3，即原抛物线沿y 轴向上平移了3个单位长度，所以新图象的函数解析式为y ＝12(x －2)2＋4.二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】88 m [解析] 把t ＝4代入函数解析式，得s ＝5×16＋2×4＝88.故填88 m.12. 【答案】43【解析】本题考查了已知二次函数的图象与一次函数的图象的交点个数，求字母未知数的值．把y ＝3x 2＋c 与y ＝4x 联立方程组并消去y 得3x 2＋c ＝4x ，化简得3x 2－4x ＋c ＝0，由于它们的图象只有一个交点，故此方程有两个相等的实数根，所以b 2－4ac ＝(－4)2－4×3c ＝0，解得c ＝43.13. 【答案】1.6 秒【解析】本题主要考查了二次函数的对称性问题．由题意可知，各自抛出后1.1秒时到达相同最大离地高度，即到达二次函数图象的顶点处，故此二次函数图象的对称轴为t ＝1.1；由于两次抛小球的时间间隔为1秒，所以当第一个小球和第二个小球到达相同高度时，则这两个小球必分居对称轴左右两侧，由于高度相同，则在该时间节点上，两小球对应时间到对称轴距离相同.故该距离为0.5秒，所以此时第一个小球抛出后t ＝1.1＋0.5＝1.6秒时与第二个小球的离地高度相同．14. 【答案】(1＋2，2)或(1－2，2)【解析】抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，则点C 坐标是(0，3)，∵点D(0，1)，点P 在抛物线上，且△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，∴易得点P的纵坐标是2，当y ＝2时，∴－x 2＋2x ＋3＝2，则x 2－2x －1＝0，解得方程的两根是x ＝2±222＝1±2，∴点P 的坐标是(1＋2，2)或(1－2，2)．15. 【答案】<【解析】当时，，当时，， ，即，故答案为：．16. 【答案】②④ [解析] (1)当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＞0.由x ＝－b 2a ＜12和a ＞0可得－b ＜a.∴0＜a －b ＋c ＜a ＋a ＋c ＝2a ＋c ，即2a ＋c ＞0，①错误；(2)结合图象易知②正确；(3)方程ax 2＋bx ＋k ＝0有实数解，即ax 2＋bx ＋c ＝c －k 有实数解．∵y ＝ax 2＋bx ＋c≥n ，∴c －k≥n ，即k≤c －n ，③错误；(4)设抛物线的解析式为y＝－1n(x－m)2＋n(n＜0)．令y＝0，得－1n(x－m)2＋n＝0.∴n2－(x－m)2＝0，∴(n－x＋m)(n＋x－m)＝0.∴x1＝m＋n，x2＝m－n.AB＝|x1－x2|＝－2n.设对称轴交x轴于点H，则AH＝BH＝PH＝－n ，∴△ABP为等腰直角三角形，④正确．三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：(1)∵抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)，∴4a＝－8，解得a＝－2，∴此抛物线的解析式为y＝－2x2.(2)当x＝－1时，y＝－2，∴点B(－1，－4)不在此抛物线上．(3)把y＝－6代入y＝－2x2，得－2x2＝－6，解得x＝±3，∴抛物线上纵坐标为－6的点的坐标为(3，－6)，(－3，－6)．18. 【答案】解：（1）∵s2＝4h（H﹣h），∴当H＝20时，s2＝4h（20﹣h）＝﹣4（h﹣10）2+400，∴当h＝10时，s2有最大值400，∴当h＝10时，s有最大值20cm．∴当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是20cm；（2）∵s2＝4h（20﹣h），设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：4a（20﹣a）＝4b（20﹣b），∴20a﹣a2＝20b﹣b2，∴a2﹣b2＝20a﹣20b，∴（a+b）（a﹣b）＝20（a﹣b），∴（a﹣b）（a+b﹣20）＝0，∴a﹣b＝0，或a+b﹣20＝0，∴a＝b或a+b＝20；（3）设垫高的高度为m，则s2＝4h（20+m﹣h）＝﹣4（20+m）2，∴当h时，smax＝20+m＝20+16，∴m＝16，此时h18．∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．19. 【答案】解：(1)(50－2x) (30－2x)(2)依题意，得(50－2x)(30－2x)＝300，整理，得x2－40x＋300＝0，解得x1＝10，x2＝30(不符合题意，舍去)．当x＝10时，盒子的容积＝300×10＝3000(cm3)．(3)存在．盒子的侧面积S＝2x(50－2x)＋2x(30－2x)＝100x－4x2＋60x－4x2＝－8x2＋160x＝－8(x2－20x)＝－8[(x－10)2－100]＝－8(x－10)2＋800，∴当x＝10时，S有最大值，最大值为800.20. 【答案】(1)抛物线经过点A(–2，0)，B(4，0)，∴，解得，∴抛物线的函数表达式为；(2)作直线DE⊥轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F，∵点A的坐标为(–2，0)，∴OA=2，由，得，∴点C的坐标为(0，6)，∴OC=6，∴S△OAC=，∵S△BCD=S△AOC，∴S△BCD=，设直线BC的函数表达式为，由B，C两点的坐标得，解得，∴直线BC的函数表达式为，∴点G的坐标为，∴，∵点B的坐标为(4，0)，∴OB=4，∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=，∴S△BCD=，∴，解得(舍)，，∴的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，以BD为边时，有3种情况，∵D点坐标为，∴点N点纵坐标为±，当点N的纵坐标为时，如点N2，此时，解得：(舍)，∴，∴；当点N的纵坐标为时，如点N3，N4，此时，解得：∴，，∴，；以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，∵，D(3，)，∴N1D=4，∴BM1=N1D=4，∴OM1=OB+BM1=8，∴M1(8，0)，综上，点M的坐标为：.【名师点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.。

人教版（五四制）2019-2020九年级数学上册28.2二次函数与一元二次方程培优练习题A（含答案）1．若关于x的方程x2－3x+c=0的解为x1、x2，(x1＜x2)，x2－3x+c=2的解为x3、x4，(x3＜x4)，用“＜”连接x1、x2、x3、x4的大小为( )A．x1＜x3＜x4＜x2B．x3＜x1＜x2＜x4C．x1＜x2＜x3＜x4D．x3＜x1＜x4＜x22．下列表格是二次函数的自变量x与函数y的一些对应值，由此可以判断方程的一个根在A．之间B．之间C．之间D．之间3．设抛物线y=x2+kx+4与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），则下列结论中，一定成立的是（）A．x12+x22=17 B．x12+x22=8 C．x12+x22＜17 D．x12+x22＞84．函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点,则k的取值范围是()A．k<3 B．k<3且k≠0C．k≤3且k≠0 D．k≤35．如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于，则的面积为（）A．B．C．D．6．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，则称这样的方程为“立根方程”．以下关于立根方程的说法：①方程x2﹣4x﹣12=0是立根方程；②若点（p，q）在反比例函数y=的图象上，则关于x的方程px2+4x+q=0是立根方程；③若一元二次方程ax2+bx+c=0是立根方程，且相异两点M（1+t，s），N（4﹣t，s）都在抛物线y=ax2+bx+c上，则方程ax2+bx+c=0的其中一个根是．正确的是（）A ．①②B ．②C ．③D ．②③7．二次函数y =ax 2+bx 的图象如图所示，若一元二次方程ax 2+bx +m -1=0有两个不相等的实数根，则整数m 的最小值为( )A ．0B ．-1C ．1D ．28．关于x 的方程（x ﹣3）（x ﹣5）=m （m ＞0）有两个实数根α，β（α＜β），则下列选项正确的是（ ）A ．3＜α＜β＜5B ．3＜α＜5＜βC ．α＜2＜β＜5D ．α＜3且β＞59．二次函数y ＝ax 2﹣12ax +36a ﹣5的图象在4＜x ＜5这一段位于x 轴下方，在8＜x ＜9这一段位于x 轴上方，则a 的值为_____10．二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)和一次函数y=-x+3的图象交于A(-2，m)，B(1，n)两点，则方程ax 2+(b+1)x+c-3=0(a≠0)的根为_______．11．二次函数y=（k ﹣1）x 2+（2k ﹣1）x+k ﹣2与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是_____．12．二次函数y=x 2﹣3x+k 的图象与x 轴有两个交点，则实数k 的取值范围是_____．13．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为________．14．已知二次函数，当时，的取值范围是，则的值为______．15．若抛物线与轴只有一个公共点，则________． 16．如果抛物线y=22152x mx m -+与x 轴有一个交点，则m=_____．17．已知二次函数．在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；根据图象，写出当时，的取值范围；若将此图象沿轴向右平移个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．当为何值时，函数随着的增大而增大？当为何值时，函数随着的增大而减小？18．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC交抛物线的对称轴于点E、D是抛物线的顶点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求点C和点D的坐标．19．已知二次函数y＝x2＋（k－1）x－2k－3．（1）求证：该二次函数图像与x轴总有两个公共点；（2）若点A（－1，y1）、B（1，y2）在该二次函数的图像上，且y1＞y2，求k的取值范围．20．利用图象解一元二次方程x2－2x－1＝0时，我们采用的一种方法是在直角坐标系中画出抛物线y＝x2和直线y＝2x＋1，两图象交点的横坐标就是该方程的解．(1)请再给出一种利用图象求方程x2－2x－1＝0的解的方法；(2)已知函数y＝x3的图象(如图)，求方程x3－x－2＝0的解(结果保留两位有效数字)．21．求出y=2(x-1)2－8与坐标轴的交点坐标，直接写出y>0时x的取值范围。

人教版 九年级数学 22.1 二次函数的图象和性质 培优课时训练一、选择题1. (2019•哈尔滨)将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为 A ．22(2)3y x =++ B ．22(2)3y x =-+ C ．22(2)3y x =-- D ．22(2)3y x =+-2. 在平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)经过变换后得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，则这个变换可以是( ) A ．向左平移2个单位长度 B ．向右平移2个单位长度 C ．向左平移8个单位长度D ．向右平移8个单位长度3.已知二次函数y ＝a (x －1)2＋c 的图象如图，则一次函数y ＝ax ＋c 的图象大致是( )4. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的y 与x 的部分对应值如下表：x －1 0 2 3 4 y5－4－3有下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x ＝2；③当0<x<4时，y>0；④抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4；⑤若A(x 1，2)，B(x 2，3)是抛物线上的两点，则x 1<x 2.其中正确的个数是()A．2 B．3 C．4 D．55. 2018·潍坊已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为()A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或66.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动．过点P作PD⊥BC于点D，设BD＝x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是( )7. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b2>4ac；②abc<0；③2a＋b－c>0；④a＋b＋c<0.其中正确的是()A．①④B．②④C．②③D．①②③④8. (2019•岳阳)对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1<1<x2，则c的取值范围是A．c<-3 B．c<-2C．c<14D．c<19. 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，有下列说法：①ac>0；②2a＋b>0；③4ac<b2；④a＋b＋c<0；⑤当x>0时，y随x的增大而减小．其中正确的是()A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤10. 某国家足球队在某次训练中，一名队员在距离球门12米处挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁，若足球运动的路线是抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分(如图)，有下列结论：①a<－160；②－160<a<0；③a－b＋c>0；④a<b<－12a.其中正确的是()A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题11.将抛物线y＝－(x＋2)2向________平移________个单位长度，得到抛物线y＝－(x －1)2.12.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数解析式为y＝__________.13. 若抛物线y＝x2＋bx＋25的顶点在x轴上，则b的值为________．14. 如图所示，抛物线y＝ax2－3x＋a2－1经过原点，那么a的值是________．15. 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，对称轴是直线x＝－1，则a＋b＋c ＝________．三、解答题16. 如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．(1)求此抛物线的解析式；(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．17. 如图，已知抛物线经过A(－3，0)，B(0，3)两点，且其对称轴为直线x＝－1.(1)求此抛物线的解析式；(2)若P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，B)，求△P AB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．18. (2019·山东东营)已知抛物线24y ax bx +＝﹣经过点()()20,40AB ，-，，与y 轴交于点C ．(1)求这条抛物线的解析式；(2)如图1，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)如图2，线段AC 的垂直平分线交x 轴于点E ，垂足为,D M 为抛物线的顶点，在直线DE 上是否存在一点G ，使CMG 的周长最小？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．人教版 九年级数学 22.1 二次函数的图象和性质 培优课时训练-答案一、选择题 1. 【答案】B【解析】将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为()2223y x =-+， 故选B ．2. 【答案】B[解析] y ＝(x ＋5)(x －3)＝(x ＋1)2－16，顶点坐标是(－1，－16)．y ＝(x ＋3)(x －5)＝(x －1)2－16，顶点坐标是(1，－16)．所以将抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，故选B.3.【答案】B [解析]根据二次函数的图象开口向上，得a ＞0，根据c 是二次函数图象顶点的纵坐标，得出c＜0，故一次函数y＝ax＋c的图象经过第一、三、四象限．故选B.4. 【答案】B[解析] 先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，所以结论①正确．由图象(或表格)可以看出抛物线与x轴的两个交点分别为(0，0)，(4，0)，所以抛物线的对称轴为直线x＝2且抛物线与x轴的两个交点间的距离为4，所以结论②和④正确．由图象可以看出当0<x<4时，y<0，所以结论③错误．由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时，对应的点均有两个，若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上两点，既有可能x1<x2，也有可能x1>x2，所以结论⑤错误．5. 【答案】B[解析] 当h＜2时，有－(2－h)2＝－1，解得h1＝1，h2＝3(舍去)；当2≤h≤5时，y＝－(x－h)2的最大值为0，不符合题意；当h＞5时，有－(5－h)2＝－1，解得h3＝4(舍去)，h4＝6.综上所述，h的值为1或 6.6. 【答案】B 【解析】∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝90°，∠B＝∠C＝45°.(1)当0≤x≤2时，点P在AB边上，△BDP是等腰直角三角形，∴PD＝BD＝x，y＝12x2(0≤x≤2)，其图象是抛物线的一部分；(2)当2＜x≤4时，点P在AC边上，△CDP是等腰直角三角形，∴PD＝CD＝4－x，∴y＝12BD·PD＝12x(4－x)(2＜x≤4)，其图象也是抛物线的一部分．综上所述，两段图象均是抛物线的一部分，因此选项B的图象能大致反映y与x之间的函数关系．7. 【答案】A[解析] ①因为图象与x轴有两个不同的交点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，故①正确．②图象开口向下，故a<0.图象与y轴交于正半轴，故c>0.因为对称轴为直线x＝－1，所以－b2a＝－1，所以2a＝b，故b<0，所以abc>0，故②错误．③因为a<0，b<0，c>0，所以2a＋b－c<0，故③错误．④当x＝1时，y＝a＋b＋c，由图可得，当x＝－3时，y<0.因为抛物线的对称轴为直线x＝－1，所以由对称性可知，当x＝1时，y<0，即a＋b＋c<0，故④正确．综上所述，①④正确，故选A.8. 【答案】B【解析】由题意知二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，所以x1、x2是方程x2+2x+c=x的两个不相等的实数根，整理，得：x2+x+c=0，所以∆=1–4c>0，又x2+x+c=0的两个不相等实数根为x1、x2，x1<1<x2，所以函数y=x2+x+c=0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，综上则140 110cc->⎧⎨++<⎩，解得c<-2，故选B．9. 【答案】C[解析] ①由图象可知：a>0，c<0，∴ac<0，故①错误；②由对称轴可知：－b2a<1，∴2a＋b>0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2－4ac>0，即4ac<b2，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a＋b＋c<0，故④正确；⑤当x>－b2a时，y随着x的增大而增大，故⑤错误．故选C.10. 【答案】B[解析] 用排除法判定．易知c＝2.4.把(12，0)代入y＝ax2＋bx＋c中，可得144a＋12b＋2.4＝0，即12a＋15＋b＝0.由图象可知a<0，对称轴为直线x ＝－b 2a ，且0<－b2a <6， ∴b>0，∴12a ＋15<0，∴a<－160，即①成立，②不成立，故不可能选C 与D. ∵－b2a <6，∴b<－12a. ∵a<0，b>0，∴a<b<－12a ，∴④正确，而a －b ＋c 的取值不确定， ∴③不正确．故选B.二、填空题11. 【答案】右 3 12. 【答案】a(1＋x)213. 【答案】±1014. 【答案】－1[解析] 因为抛物线经过原点(0，0)，所以a 2－1＝0，即a ＝±1.因为抛物线的开口向下，所以舍去a ＝1.故a ＝－1.15. 【答案】0[解析] ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，∴抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的另一交点的坐标为(1，0)， ∴a ＋b ＋c ＝0.三、解答题16. 【答案】解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(1，4)， ∴设此抛物线的解析式为y ＝a(x －1)2＋4. ∵抛物线过点B(0，3)，∴3＝a(0－1)2＋4，解得a ＝－1，∴y ＝－(x －1)2＋4，即此抛物线的解析式为y ＝－x2＋2x ＋3.(2)作点B 关于x 轴的对称点E(0，－3)，连接AE 交x 轴于点P ，此时PA ＋PB 的值最小．设直线AE 的解析式为y ＝kx ＋b ， 则⎩⎨⎧k ＋b ＝4，b ＝－3，解得⎩⎨⎧k ＝7，b ＝－3， ∴直线AE 的解析式为y ＝7x －3.当y ＝0时，x ＝37，∴当PA ＋PB 的值最小时，点P 的坐标为(37，0)．17. 【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c. 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c ＝0，c ＝3，－b2a＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3. 所以抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.(2)易知直线AB 的表达式为y ＝x ＋3，设P(m ，－m 2－2m ＋3)，过点P 作PC ∥y 轴交AB 于点C ，则C(m ，m ＋3)，PC ＝(－m 2－2m ＋3)－(m ＋3)＝－m 2－3m ， 所以S △PAB ＝12×(－m 2－3m)×3＝－32(m 2＋3m)＝－32(m ＋32)2＋278， 所以当m ＝－32时，S △PAB 有最大值278，此时点P 的坐标为(－32，154)．18. 【答案】(1)∵抛物线4y ax bx +-＝经过点()()2,0,40A B -，， 424016440a b a b +-=⎧∴⎨--=⎩，解得1,21a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线解析式为2142y x x --＝；(2)如图1，连接OP ，设点21,42P x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，其中40x -＜＜，四边形ABPC 的面积为S ，由题意得0,4C -（），AOCOCPOBPS SSS∴++＝()1124422x =⨯⨯+⨯⨯-2114422x x ⎛⎫+⨯⨯--+ ⎪⎝⎭，24228x x x ---+＝，2412x x -+＝-，()2216x ++＝．10﹣＜，开口向下，S 有最大值，∴当2x ＝-时，四边形ABPC 的面积最大，此时，4y ＝-，即()2,4P --．因此当四边形ABPC 的面积最大时，点P 的坐标为()2,4--． (3)()2211941222y x x x =+-=+-， ∴顶点91,2M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．如图2，连接AM 交直线DE 于点G ，此时，CMG 的周长最小．设直线AM 的解析式为y kx b +＝，且过点20A （，），91,2M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，11 / 11 20,92k b k b +=⎧⎪∴⎨-+=-⎪⎩∴直线AM 的解析式为332y x =-． 在Rt AOC中，AC ==． D 为AC的中点，12AD AC ∴==ADE AOC ∽，ADAEAO AC ∴=，2=5AE ∴＝，523OE AE AO ∴--＝＝＝，()30E ∴-，， 由图可知()1,2D -设直线DE 的函数解析式为y mx n =+，2,30m n m n +=-⎧∴⎨-+=⎩解得：12,32m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线DE 的解析式为1322y x =--．1322,332y x y x ⎧=--⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩解得：34,158x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩315,48G ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭．。

浙教版2019年九年级数学下册提优专题1 二次函数题型一二次函数的图象和性质例 1 对于抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3，有下列四个结论：①它的对称轴为x ＝1；②它的顶点坐标为(1，4)；③它与y 轴的交点坐标为(0，3)，与x 轴的交点坐标为(－1，0)和(3，0)；④当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．其中正确的个数为( C )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】①对称轴为，∴①正确；②y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴它的顶点坐标为(1，4)，∴②正确；③y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ＝0时，y ＝3，当y ＝0时，－x 2＋2x ＋3＝0，x 1＝－1，x 2＝3，∴y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴的交点坐标为(0，3)，与x 轴的交点坐标为(－1，0)和(3，0)，∴③正确；④∵a ＝－1＜0，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，∴④错误．故正确的选项有①②③三个．【点悟】二次函数的性质，常常从对称轴、顶点坐标、最大值(最小值)，增减性等角度分析．变式跟进1．小张同学说出了二次函数的两个条件：(1)当x ＜1时，y 随x 的增大而增大；(2)函数图象经过点(－2，4)．则符合条件的二次函数表达式可以是( D )A ．y ＝－(x －1)2－5B ．y ＝2(x －1)2－14C ．y ＝－(x ＋1)2＋5D ．y ＝－(x －2)2＋202．求下列函数的图象的对称轴、顶点坐标及与x 轴的交点坐标．(1)y ＝4x 2＋24x ＋35；(2)y ＝－3x 2＋6x ＋2；(3)y ＝x 2－x ＋3；(4)y ＝2x 2＋12x ＋18.解：(1)∵y ＝4x 2＋24x ＋35，∴对称轴是直线x ＝－3，顶点坐标是(－3，－1)，解方程4x 2＋24x ＋35＝0，得x 1＝－52，x 2＝－72，故它与x 轴交点坐标是(2)∵y ＝－3x 2＋6x ＋2，∴对称轴是直线x ＝1，顶点坐标是(1，5)，解方程－3x 2＋6x ＋2＝0，解方程x 2－x ＋3＝0，无解，故它与x 轴没有交点；(4)∵y ＝2x 2＋12x ＋18，∴对称轴是直线x ＝－3，顶点坐标是(－3，0)，当y ＝0时，2x 2＋12x ＋18＝0，∴x 1＝x 2＝－3，∴它与x 轴的交点坐标是(－3，0)．题型二二次函数的平移例 2 将抛物线y ＝－2x 2＋1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线表达式为( C )A ．y ＝－2(x ＋1)2B ．y ＝－2(x ＋1)2＋2C ．y ＝－2(x －1)2＋2D ．y ＝－2(x －1)2＋1【点悟】二次函数图象的平移实质上是顶点位置的变化，只要确定平移前、后的顶点坐标，就可以确定抛物线的平移规律．变式跟进3．将抛物线y ＝2x 2＋4x －5的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线表达式是( C )A ．y ＝2(x ＋1)2－7B ．y ＝2(x ＋1)2－6C ．y ＝2(x ＋3)2－6D ．y ＝2(x －1)2－6题型三二次函数与一元二次方程和不等式的关系例 3 [2016·宁夏]若二次函数y ＝x 2－2x ＋m 的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是__m ＜1__．【解析】∵二次函数y ＝x2－2x ＋m 的图象与x 轴有两个交点，∴Δ＞0，∴4－4m ＞0，∴m ＜1.【点悟】抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴的交点的横坐标x 1，x 2，就是方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根，判断抛物线与x 轴是否有交点，只要判断b 2－4ac 与0的大小即可．变式跟进4．已知二次函数y ＝x 2－2x ＋m (m 为常数)的图象与x 轴的一个交点为(－1，0)，则关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0的两个实数根是( D )A ．x 1＝1，x 2＝2B ．x 1＝1，x 2＝3C ．x 1＝－1，x 2＝2D ．x 1＝－1，x 2＝3【解析】二次函数y ＝x 2－2x ＋m (m 为常数)的对称轴是x ＝1，(－1，0)关于x ＝1的对称点是(3，0)．则一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0的两个实数根是x 1＝－1，x 2＝3.5．[2017·高邮二模]如图1，二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 与一次函数y 2＝kx 的图象交于点A 和原点O ，点A 的横坐标为－4，点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，点B 的横坐标为1，则满足0＜y 1＜y 2的x 的取值范围是__－4＜x ＜－3__．图1 第5题答图【解析】如答图所示，∵点A 的横坐标为－4，点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，点B 的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为x ＝，∵二次函数y 1＝ax 2＋bx ＋c 与一次函数y 2＝kx 的图象交于点A 和原点O ，∴C 点坐标为(－3，0)，则满足0＜y 1＜y 2的x 的取值范围是－4＜x ＜－3.题型四二次函数的图象与系数之间的关系例 4 如图2，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于点A (－1，0)，与y 轴的交点B 在(0，－2)和(0，－1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x ＝1.下列结论：①abc ＞0；②4a ＋2b ＋c ＞0；③4ac －b 2＜8a ；④13＜a ＜23；⑤b ＞c .其中含所有正确结论的选项是( D）图2A ．①③B ．①③④C ．②④⑤D ．①③④⑤【解析】①∵函数开口方向向上，∴a ＞0，∵对称轴在原点右侧，∴ab 异号，∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴，∴c ＜0，∴abc ＞0，故①正确；②∵图象与x 轴交于点A (－1，0)，对称轴为直线x ＝1，∴图象与x 轴的另一个交点为(3，0)，∴当x ＝2时，y ＜0，∴4a ＋2b ＋c ＜0，故②错误；③∵图象与x 轴交于点A (－1，0)，∴当x ＝－1时，y ＝(－1)2a ＋b ×(－1)＋c ＝0，∴a －b ＋c ＝0，即a ＝b －c ，c ＝b －a ，∵对称轴为直线x ＝1，∴，即b ＝－2a ，∴c ＝b －a ＝(－2a )－a ＝－3a ，∴4ac －b 2＝4a (－3a )－(－2a )2＝－16a 2＜0.∵8a ＞0，∴4ac －b 2＜8a ，故③正确；④∵图象与y 轴的交点B 在(0，－2)和(0，－1)之间，∴－2＜c ＜－1，∴－2＜－3a ＜－1，∴，故④正确；⑤∵a ＞0，∴b －c ＞0，即b ＞c ，故⑤正确．【点悟】二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；|a |还可以决定开口大小，|a |越大开口就越小．②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置．当a 与b 同号时(即ab ＞0)，对称轴在y 轴左侧；当a 与b 异号时(即ab ＜0)，对称轴在y 轴右侧(简称：左同右异)．③常数项c 决定抛物线与y 轴交点，抛物线与y 轴交于(0，c )．变式跟进6．[2016·孝感]如图3是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n )，且与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a －b ＋c >0；②3a ＋b ＝0；③b 2＝4a (c －n )；④一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是( C）图3A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】∵抛物线与x 轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间，而抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(－2，0)和(－1，0)之间．∴当x ＝－1时，y ＞0，即a －b ＋c ＞0，∴①正确；∵抛物线的对称轴为直线，即b ＝－2a ，∴3a ＋b ＝3a －2a ＝a ，∴②错误；∵抛物线的顶点坐标为(1，n )，∴，∴b 2＝4ac －4an ＝4a (c －n )，∴③正确；∵抛物线与直线y ＝n 有一个公共点，∴抛物线与直线y ＝n －1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝n －1有两个不相等的实数根，∴④正确．题型五二次函数的实际应用例 5 [2016·潍坊]旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x (元)是5的倍数，发现每天的运营规律如下：当x 不超过100元时，观光车能全部租出；当x 超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆，已知所有观光车每天的管理费是1 100元．(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入＝租车收入－管理费)(2)当每辆车的日租金为多少时，每天的净收入最多？解：(1)由题意知，若观光车能全部租出，则0≤x ≤100，由50x －1 100＞0，解得x ＞22，∵x 是5的倍数，∴每辆车的日租金至少为25元；(2)设每天的净收入为y 元，当0≤x ≤100时，y 1＝50x －1 100，∵y 1随x 的增大而增大，∴当x ＝100时，y 1的最大值为50×100－1 100＝3 900.当x ＞100时，100＝－15x 2＋70x －1 100＝－15(x －175)2＋5 025. 当x ＝175时，y 2的最大值是5 025，∵5 025＞3 900，∴当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多，最多收入是5 025元．【点悟】应用二次函数解决实际问题中的最优化问题，实际上就是求函数的最大值(或最小值)．解题时，要先根据题目提供的条件确定函数关系式，并将它配成顶点式，y ＝a (x －h )2＋k ，再根据二次函数的性质确定最大值或最小值．变式跟进7．[2016·杭州]把一个足球垂直水平地面向上踢，时间t (s)与该足球距离地面的高度h (m)适用公式h ＝20t －5t 2(0≤t ≤4)．(1)当t ＝3时，求足球距离地面的高度；(2)当足球距离地面的高度为10 m 时，求t 的值；(3)若存在实数t 1，t 2(t 1≠t 2)，当t ＝t 1或t 2时，足球距离地面的高度都为m (m)，求m 的取值范围．解：(1)当t ＝3时，h ＝20t －5t 2＝15(m)，∴此时足球离地面的高度为15 m ；(2)∵h ＝10，∴20t －5t 2＝10，(3)∵m ≥0，由题意得t 1和t 2是方程20t －5t 2＝m 的两个不相等的实数根，∴b 2－4ac ＝202－20m ＞0，解得m ＜20，∴m 的取值范围是0≤m ＜20.题型六二次函数的综合题例 6 [2017·浙江月考]如图4，抛物线的顶点为A ，与x 轴的正半轴交于点B .(1)将抛物线C 1上的点的横坐标和纵坐标都扩大到原来的2倍，求变换后得到的抛物线的表达式；(2)将抛物线C 1上的点(x ，y )变为(kx ，ky )(|k |＞1)，变换后得到的抛物线记作C 2，抛物线C 2的顶点为C ，求抛物线C 2的表达式(用k 表示)；(3)在(2)条件下，点P 在抛物线C 2上，满足S △PAC ＝S △ABC ，且∠ACP ＝90°.当k ＞1时，求k 的值．图4 例6答图解：∴抛物线C 1经过原点O ，点A (1， )和点B (2，0)三点，2. 变式跟进8．[2017·诸城校级月考]如图5，在矩形OABC 中，OA ＝5，AB ＝4，点D 为边AB 上一点，将△BCD 沿直线CD 折叠，使点B 恰好落在OA 边上的点E 处，分别以OC ，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．图5(1)求OE 的长；(3)一动点P 从点C 出发，沿CB 以每秒2 个单位长的速度向点B 运动，同时动点Q 从E 点出发，沿EC 以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当点P 到达点B 时，两点同时停止运动．设运动时间为t s ，当t 为何值时，DP ＝DQ .1．已知，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图1所示，则以下说法不正确的是(C）图1A ．根据图象可得该函数y 有最小值B ．当x ＝－2时，函数y 的值小于0C ．根据图象可得a ＞0，b ＜0D ．当x ＜－1时，函数值y 随着x 的增大而减小【解析】由图象可知：A.抛物线开口向上，该函数y 有最小值，此选项正确；B.当x ＝－2时，图象在x 轴的下方，函数值小于0，此选项正确；C.对称轴为x ＝－1，a ＞0，则b ＞0，此选项错误；D.当x ＜－1时，y 随x 的增大而减小，此选项正确．2．抛物线y ＝(x ＋2)2－1可以由抛物线y ＝x 2平移得到，下列平移方法中正确的是( B )A ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位【解析】∵函数y ＝x 2的图象沿x 轴向左平移2个单位长度，得y ＝(x ＋2)2；然后y 轴向下平移1个单位长度，得y ＝(x ＋2)2－1，故选B.3．一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( CA B C D4．如图2，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于点A (－1，0)，其对称轴为直线x ＝1，下列结论中正确的是( D）图2A ．abc ＞0B ．2a －b ＝0C ．4a ＋2b ＋c ＜0D ．9a ＋3b ＋c ＝0【解析】∵抛物线的开口向下，则a ＜0，对称轴在y 轴的右侧，∴b ＞0，图象与y轴交于正半轴上，∴c ＞0，∴abc ＜0；∵对称轴为x ＝1，∴，∴－b ＝2a ，∴2a ＋b ＝0；当x ＝2时，4a ＋2b ＋c ＞0；当x ＝3时，9a ＋3b ＋c ＝0.5．已知二次函数y ＝3x 2＋36x ＋81.(1)写出它的顶点坐标；(2)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；(3)求出图象与x 轴的交点坐标；(4)当x 取何值时，y 有最小值，并求出最小值；(5)当x 取何值时，y ＜0.解：(1)∵y ＝3x 2＋36x ＋81＝3(x ＋6)2－27，∴顶点坐标为(－6，－27)；(2)∵抛物线的对称轴为x ＝－6，且抛物线的开口向上，∴当x ＞－6时，y 随x 的增大而增大；(3)当3x 2＋36x ＋81＝0时，得x 1＝－3，x 2＝－9，∴该函数图象与x 轴的交点为(－9，0)，(－3，0)；(4)∵抛物线的顶点坐标为(－6，－27)，∴当x ＝－6时，y 有最小值，最小值为－27；(5)∵该函数图象与x 轴的交点为(－9，0)，(－3，0)，且抛物线的开口向上，∴当－9＜x ＜－3时，y ＜0.6．已知二次函数的图象以A (－1，4)为顶点，且过点B (2，－5)．(1)求该二次函数的表达式；(2)求该二次函数图象与y 轴的交点坐标．解：(1)由顶点A (－1，4)，可设二次函数关系式为y ＝a (x ＋1)2＋4(a ≠0)．∵二次函数的图象过点B (2，－5)，∴－5＝a (2＋1)2＋4，解得a ＝－1.∴二次函数的关系式是y ＝－(x ＋1)2＋4；(2)令x ＝0，则y ＝－(0＋1)2＋4＝3，∴图象与y 轴的交点坐标为(0，3)．7．如图3，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (3，0)两点．图3(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；(2)当0＜x ＜3时，求y 的取值范围；(3)点P 为抛物线上一点，若S △PAB ＝10，求出此时点P 的坐标．解：(1)把A (－1，0)，B (3，0)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c 中，得∴抛物线表达式为y ＝x 2－2x －3.∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴顶点坐标为(1，－4)；(2)由图可得当0＜x ＜3时，－4≤y ＜0；(3)∵A (－1，0)，B (3，0)，∴AB ＝4.设P (x ，y )，则S △PAB ＝12AB ·|y |＝2|y |＝10，∴|y |＝5，∴y ＝±5.①当y ＝5时，x 2－2x －3＝5，解得x 1＝－2，x 2＝4，此时P 点坐标为(－2，5)或(4，5)；②当y ＝－5时，x 2－2x －3＝－5，方程无解．综上所述，P 点坐标为(－2，5)或(4，5)．8．如图4，在一面靠墙的空地上用长为24 m 的篱笆围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2.(1)求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；(2)已知墙的最大可用长度为8 m ，①求所围成花圃的最大面积；②若所围花圃的面积不小于20 m 2，请直接写出x 的取值范围．图4解：(1)S ＝x (24－4x )＝－4x 2＋24x (0＜x ＜6)；(2)①S ＝－4x 2＋24x ＝－4(x －3)2＋36，由24－4x ≤8，24－4x ＞0，解得4≤x ＜6，当x ＝4时，花圃有最大面积为32；②令－4x 2＋24x ＝20时，解得x 1＝1，x 2＝5，∵墙的最大可用长度为8，即24－4x ≤8，∴x ≥4，∴4≤x ≤5.9．[2017·三原校级月考]东方小商品市场一经营者将每件进价为80元的某种小商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种小商品单价每降低1元，其销量可增加10件．(1)该经营者经营这种商品原来一天可获利润__2__000__元；(2)若设后来该小商品每件降价x 元，该经营者一天可获利润y 元．①若该经营者经营该商品一天要获利润2 090元，求每件商品应降价多少元？②求出y 与x 之间的函数关系式，并求出当x 取何值时，该经营者所获利润最大，且最大利润为多少元？解：(1)若商店经营该商品不降价，则一天可获利润：100×(100－80)＝2 000(元)；(2)①设该商品每件降价x 元，依题意，得(100－80－x )(100＋10x )＝2 090，即x 2－10x ＋9＝0，解得x 1＝1，x 2＝9.答：每件商品应降价1元或9元；②根据题意得y ＝(100－80－x )(100＋10x )＝－10x 2＋100x ＋2 000，当x ＝－b 2a＝5时，y 最大＝2 250元，答：该经营者所获最大利润为2 250元．10．[2016·泰安]如图6，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，9)，与y 轴交于点A (0，5)，与x 轴交于点E ，B.图6(1)求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的表达式；(2)过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点(点P 在AC 上方)，作PD 平行于y 轴交AB 于点D ，问当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？并求出最大面积．解：(1)设抛物线的表达式为y ＝a (x －2)2＋9，把A (0，5)代入得4a ＋9＝5，解得a ＝－1，∴y ＝－(x －2)2＋9＝－x 2＋4x ＋5；(2)当y ＝0时，－x 2＋4x ＋5＝0，解得x 1＝－1，x 2＝5，∴E (－1，0)，B (5，0)，设直线AB 的表达式为y ＝mx ＋n ，把A (0，5)，B (5，0)代入，得m ＝－1，n ＝5，∴y ＝－x ＋5，设P (x ，－x 2＋4x ＋5)，则D (x ，－x ＋5)，PD ＝－x 2＋4x ＋5＋x －5＝－x 2＋5x ，∵AC ＝4，∴四边形APCD 的面积＝，当时，四边形APCD 的面积最大，最大面积为.11．[2017·双台子区校级一模]如图7，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B (3，0)两点，与y 轴交于c (0，－3)，点P 是直线BC 下方抛物线上的动点．(1)求出二次函数的表达式；....图7(2)连结PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP ′C ，那么是否存在点P ，使得四边形POP ′C 为菱形？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；(3)当点P 运动到什么位置时，四边形ACPB 的面积最大？求出此时P 的坐标和四边形ACPB 的最大面积．解：(1)把B (3，0)，C (0，－3)代入y ＝x 2＋bx ＋c ，∴这个二次函数的表达式为y ＝x 2－2x －3；(2)存在．理由如下：如答图①，作OC 的垂直平分线交直线BC 下方的抛物线于点P ，垂足为点E .则PO ＝PC ，∵△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C ，∴OP ′＝OP ，CP ′＝CP ，∴OP ′＝OP ＝CP ′＝CP ，∴四边形POP ′C 为菱形，∵C 点坐标为(0，－3)，∴E 点坐标为，∴点P 的纵坐标为－32，把y ＝代入y ＝x 2－2x －3，得 x 2－2x －3＝－32，解得，∵点P 在直线BC 下方的抛物线上，∴，∴满足条件的点P 的坐标为第11题答图①第11题答图②(3)如答图②，作PF ⊥x 轴于点F ，交BC 于点E ，BC 的表达式为y ＝x －3，设E (m ，m －3)，P (m ，m 2－2m －3)．则PE ＝m －3－(m 2－2m －3)＝－m 2＋3m ＝，S △BCP ＝S △BEP ＋S △CEP。

人教版（五四制）2019-2020九年级数学上册28.2二次函数与一元二次方程培优练习题3（含答案）1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，将二次函数y ＝x 2－1的图象M 沿x 轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N ．若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点，则M 与N 所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为（ ）A ．17B ．25C ．16D ．322．定义[a ，b ，c]为函数y=ax 2+bx+c 的特征数，下面给出特征数为[m ﹣1，1+m ，﹣2m]的函数的一些结论：①当m=3时，函数图象的顶点坐标是（﹣1，﹣8）；②当m ＞1时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于3；③当m ＜0时，函数在x ＞时，y 随x 的增大而减小；④不论m 取何值，函数图象经过两个定点．其中正确的结论有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个3．二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y mx n =+的图象如图所示，则满足2ax bx c mx n ++>+的取值范围是 A ．30x -<< B ．3x <-或0x > C ．3x <-或1x > D ．03x <<4．抛物线2y x 6x 9=-+与坐标轴的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．35．如图，抛物线223y x x =-++与y 轴交于点C ，点()0,1D ，点P是抛物线上的动点，若PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则tan CDP ∠的值为（ ）．A B 11C D ．11 6．二次函数与x 轴的交点坐标是（ ）A ．（3，0）（-1，0）B ．（-3，0）（1，0）C ．（0，3）（0，-1）D ．（0，-3）（0，1）7．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y =x 2+5x +6，则原抛物线的解析式是（ ）A ．y =﹣（x ﹣52）2﹣114 B ．y =﹣（x +52）2﹣114 C ．y =﹣（x ﹣52）2﹣14 D ．y =﹣（x +52）2+148．已知经过原点的抛物线与轴的另一个交点为，现将抛物线向右平移个单位长度，所得抛物线与轴交于，与原抛物线交于点，设的面积为，则用表示=__________ 9．将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是 ． 10．二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则 的最大值为___11．河北省赵县的赵州桥的拱桥是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为，当水面离桥拱顶的高度DO 为4m 时，这时水面宽度AB 为_____.12．二次函数y=x 2－2x －3与x 轴交点交于A 、B 两点，交 y 轴于点C ，则△OAC 的面积为____13．如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =，与x轴的一个交点坐标为(－1,0)，其部分图象如图所示，下列结论：①24ac b <；② 方程20ax bx c ++=的两个根是121,3x x =-=；③30a c +>；④当0y >时， x 的取值范围是13x -≤<；⑤ 当0x <时， y 随x 增大而增大；其中结论正确有____.14．如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A 、B 、C 、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，AB 为半圆的直径，抛物线的解析式为y=x 2﹣2x ﹣3，求这个“果圆”被y轴截得的线段CD的长.15．关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为x1=1，x2=2，那么抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为__________.16．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，联结BC，BE，求∠CBE的正切值；（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，求点M坐标．17．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A（﹣4，0）．（1）求抛物线与直线AC的函数解析式；（2）若点D（m，n）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA的面积为S，求S关于m的函数关系式；（3）若点E为抛物线上任意一点，点F为x轴上任意一点，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的所有点E的坐标．18．如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线y＝x2+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．(1)求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象（要求过点A、B、C，开口方向、顶点和对称轴相对准确）(2)点Q（8，m）在抛物线y＝x2+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB 的最小值；(3)CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．19．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．（1）求二次函数的关系式；（2）点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若OD=m，△PCD的面积为S，试判断S有最大值或最小值？并说明理由；（3）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．20．（本题满分8分）已知抛物线．（其中m是常数）（1）求证：不论m取何值，该抛物线与轴一定有两个不同的交点；（2）不论m取何值，抛物线都经过一个定点，则这个定点的坐标为．21．抛物线y=x2+bx+2顶点A在x轴正半轴，交y轴于点C，点B是OA中点．（1）如图1，求直线BC的解析式；（2）如图2，将抛物线y=x2+bx+2向下平移k个单位（k＞0），平移后的抛物线与直线BC交于点M、N，若S△MON=6S△BON，求k的值；（3）如图3,将抛物线y=x2+bx+2再进行适当平移,使平移后的抛物线的顶点D的坐标为（3，﹣1），抛物线的对称轴上有一点E，点E到x轴的距离为2（点E在x轴的上方），以点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求P点的坐标，并求出PQ的最小值．参考答案1．B【解析】分析：本题考察二次函数的平移和翻折，还考察了两条抛物线的交点的求法，根据题意解出即可.解析：经过翻折和平移后，得到的抛物线为()229y x =--+ ，解()221{29y x y x =-=--+ 得，121231{,{80x x y y ==-== ，∴图象M 与图象N 的交点坐标为（3，8），（-1，0），所以M 与N 所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为25.故选B. 2．D 【解析】试题分析：①抛物线的顶点坐标为（，），当m=3时，特征数为[2,4-6]，可求得顶点坐标为（-1，-8），所以①正确。