第4章拉普拉斯变换与连续系统复频域分析4.6本章习题全解
4.1 求下列函数的拉普拉斯变换（注意：为变量，其它参数为常量）。
（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）
（7）（8）
（9）（10）
（11）（12）
（13）（14）
（15）（16）
（17）（18）
（19）（20）
（21）（22）
（23）（24）
解：
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
(15)
(16)
(17)
(18) ()
(19)
(20)
(21)
（22）
（23）
（24）
4.2 已知，求下列信号的拉普拉斯变换。（1）（2）
（3）（4）
（5）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
所以
4.3 已知信号的拉普拉斯变换如下，求其逆变换的初值和终值。（1）（2）
（3）（4）解（1）初值：
终值：
（2）初值：
终值：
（3）初值：
终值：
（4）初值：
终值：
4.4 求题图4.4所示信号的单边拉普拉斯变换。
题图4.4解（1）
所以
根据微分性质
所以
注：该小题也可根据定义求解，可查看（5）小题（2）根据定义
（3）
根据（1）小题的结果
再根据时移性质
所以
根据微分性质得
（4）根据定义
注：也可根据分部积分直接求取（5）根据单边拉氏变换的定义，
本小题与（1）小题的结果一致。
（6）根据单边拉氏变换的定义，在是，
对比（3）小题，可得
4.5 已知为因果信号，，求下列信号的拉普拉斯变换。（1）（2）
（3）（4）
解：（1）根据尺度性质
再根据s域平移性质
（2）根据尺度性质
根据s域微分性质
根据时移性质
（3）根据尺度性质
再根据s域平移性质
（4）根据时移性质
再根据尺度性质
本小题也可先尺度变化得到，再时移单位，得到结果4.6 求下列函数的拉普拉斯逆变换。
（1）（2）
（3）（4）
（5）（6）
（7）（8）
（9）（10）
（11）（12）
（13）（14）
（15）（16）
（17）（18）
（19）（20）
（21）（22）
（23）（24）
解：
（1）（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
（13）
（14）
{} =
（15）{} =
（16）{}=
（17）{}=
（18）{}=
（19）{}=
（20）{}=
（21）{}=
（22）{}=
(23) {}=
(24) ()=
4.7 求如题图4.7所示的单边周期信号的拉普拉斯变换。
题图4.7（1）矩形脉冲信号第一周期的时间信号为：
则
(2) 第一个周期时间信号为
则
（3）第一个周期时间信号为：
则
(4) 一个周期内：
则
4.8 已知线性连续系统的单位冲激响应为。
（1）若系统输入，求系统的零状态响应；
（2）若，求系统输入。
解：将系统的单位冲激响应作拉氏变换得系统函数
（1）系统输入的拉氏变换为
根据系统的S域分析，所以零状态响应的拉氏变换为
，所以
（2）
根据系统的S域分析，所以输入的拉氏变换为
求拉氏反变换得
4.9 已知系统微分方程为，求下列输入时的零状态响应。（1）；（2）；
（2）。
解：系统微分方程在零状态下两边做拉氏变换得
整理得：
（1）输入信号的拉氏变换为
所以得
做拉氏反变换得零状态响应
（2）输入信号的拉氏变换为
所以得
做拉氏反变换得零状态响应
（3）输入信号的拉氏变换为
所以得
做拉氏反变换得零状态响应
4.10 利用拉普拉斯变换求解下列系统的系统函数、零状态响应、零输入响应和全响应。（1）。
（2）
（3）；
；（4）；
，，，解：
（1）将系统方程两边拉氏变换得：
（2）将系统方程两边拉氏变换得：
把代入上式，
（3）
系统函数：
(4)
4.11 求下列微分方程描述的连续系统的零输入响应。（1）；（2）；（3）。
解：（1）考虑输入，将微分方程两边做拉氏变换得
代入初始条件，
整理得，
做拉氏反变换得零输入响应
（2）考虑输入，将微分方程两边做拉氏变换得
