信号与系统第4章答案
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习 题 一 第一章习题解答基本练习题1-1 解 (a) 基频 =0f GCD (15,6)=3 Hz 。
因此,公共周期3110==f T s 。
(b) )30cos 10(cos 5.0)20cos()10cos()(t t t t t f ππππ+==基频 =0f GCD (5, 15)=5 Hz 。
因此,公共周期5110==f T s 。
(c) 由于两个分量的频率1ω=10π rad/s 、1ω=20 rad/s 的比值是无理数,因此无法找出公共周期。
所以是非周期的。
(d) 两个分量是同频率的,基频 =0f 1/π Hz 。
因此,公共周期π==01f T s 。
1-2 解 (a) 波形如图1-2(a)所示。
显然是功率信号。
t d t f TP T TT ⎰-∞→=2)(21lim16163611lim 22110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰∞→t d t d t d T T T W(b) 波形如图1.2(b)所示。
显然是能量信号。
3716112=⨯+⨯=E J (c) 能量信号 1.0101)(lim101025=-===⎰⎰∞∞---∞→T t ttT e dt edt eE J(d) 功率信号,显然有 1=P W1-3 解 周期T=7 ,一个周期的能量为 5624316=⨯+⨯=E J 信号的功率为 8756===T E P W 1-5 解 (a) )(4)2()23(2t tt δδ=+; (b) )5.2(5.0)5.2(5.0)25(5.733-=-=----t e t e t et tδδδ(c) )2(23)2()3sin()2()32sin(πδπδπππδπ+-=++-=++t t t t 题解图1-2(a) 21题解图1-2(b) 21(d) )3()3()(1)2(-=----t e t t et δδε。
1-6 解 (a) 5)3()94()3()4(2-=+-=+-⎰⎰∞∞-∞∞-dt t dt t t δδ(b) 0)4()4(632=+-⎰-dt t t δ(c) 2)]2(2)4(10[)]42(2)4()[6(63632=+++-=+++-⎰⎰--dt t t dt t t t δδδδ(d)3)3(3)(3sin )(1010=⋅=⎰⎰∞-∞-dt t Sa t dt ttt δδ。
《信号与系统信号与系统》》自测题第4章 连续时间连续时间信号与信号与信号与系统的的系统的的系统的的复复频域分析一、填空题1、由系统函数零、极点分布可以决定时域特性,对于稳定系统,在s 平面其极点位于 左半开平面(不含虚轴) 。
2、线性时不变连续时间系统是稳定系统的充分必要条件是()H s 的极点位于s 平面的 左半开平面(不含虚轴) 。
3、()H s 的零点和极点中仅 极点 决定了()h t 的函数形式。
4、()H s 是不 随系统的输入信号的变化而变换。
5、已知某系统的系统函数为()H s ,唯一决定该系统单位冲激响应()h t 函数形式的是()H s 的 极点 。
6、如下图所示系统,若221()2()()22U s H s U s s s ==++,则L = 2 H ,C =14F 。
注:2211()121/2()1()(0.5)1221/2U s Cs H s U s Ls Cs s s Ls Cs +====++++++2Ls s =222LCs s = 所以 2L = 1/4C =7、某信号2()x t t =,则该信号的拉普拉斯变换是32s。
注:1!()nn n t t sε+↔8、若信号3()t f t e =,则()F s =13s −。
9、431s s ++的零点个数是 0 ,极点个数是 4 。
10、求拉普拉斯逆变换的常用方法有 部分分式分解法 、 留数法 。
1(U s Ls+−+−2()s11、若信号的单边拉普拉斯变换为32s +,则()f t =23()t e u t −。
12、已知6()(2)(5)s F s s s +=++,则原函数()f t 的初值为 1 ,终值为 0 。
注:6(0)lim 1(2)(5)s s f s s s →∞+=×=++ 06()lim 0(2)(5)s s f s s s →+∞=×=++13、已知2()(2)(5)sF s s s =++,则原函数()f t 的初值为 2 ,终值为 0 。
第一章1.3 解:(a). 2401lim(),04Tt T TE x t dt e dt P ∞-∞∞→∞-====⎰⎰(b) dt t x TP T TT ⎰-∞→∞=2)(21lim121lim ==⎰-∞→dt T TTT∞===⎰⎰∞∞--∞→∞dt t x dt t x E TTT 22)()(lim(c).222lim()cos (),111cos(2)1lim()lim2222TT TTTT T TTE x t dt t dt t P x t dt dt TT∞∞→∞--∞∞→∞→∞--===∞+===⎰⎰⎰⎰(d) 034121lim )21(121lim ][121lim 022=⋅+=+=+=∞→=∞→-=∞→∞∑∑N N n x N P N Nn n N N N n N 34)21()(lim202===∑∑-∞=∞→∞nNNn N n x E (e). 2()1,x n E ∞==∞211lim []lim 112121N NN N n N n NP x n N N ∞→∞→∞=-=-===++∑∑ (f) ∑-=∞→∞=+=NNn N n x N P 21)(121lim 2∑-=∞→∞∞===NNn N n x E 2)(lim1.9. a). 00210,105T ππω===; b) 非周期的; c) 00007,,22mN N ωωππ=== d). 010;N = e). 非周期的; 1.12 解:∑∞=--3)1(k k n δ对于4n ≥时,为1即4≥n 时,x(n)为0,其余n 值时,x(n)为1易有:)3()(+-=n u n x , 01,3;M n =-=- 1.15 解:(a)]3[21]2[][][222-+-==n x n x n y n y , 又2111()()2()4(1)x n y n x n x n ==+-, 1111()2[2]4[3][3]2[4]y n x n x n x n x n ∴=-+-+-+-,1()()x n x n = ()2[2]5[3]2[4]y n x n x n x n =-+-+- 其中][n x 为系统输入。
第一章 信号与系统1-1画出以下各信号的波形【式中)()(t t t r ε=】为斜升函数。
〔2〕∞<<-∞=-t et f t,)( 〔3〕)()sin()(t t t f επ=〔4〕)(sin )(t t f ε= 〔5〕)(sin )(t r t f = 〔7〕)(2)(k t f kε= 〔10〕)(])1(1[)(k k f kε-+=解:各信号波形为 〔2〕∞<<-∞=-t e t f t,)(〔3〕)()sin()(t t t f επ=〔4〕)=tfε)(sin(t〔5〕)rf=t(t)(sin〔7〕)f kεt=2()(k〔10〕)(])1(1[)(k k f k ε-+=1-2 画出以下各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。
〔1〕)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε 〔2〕)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f 〔5〕)2()2()(t t r t f -=ε 〔8〕)]5()([)(--=k k k k f εε 〔11〕)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ〔12〕)]()3([2)(k k k f k ---=εε解:各信号波形为〔1〕)2()1(3)1(2)(-+--+=ttttfεεε〔2〕)2()1(2)()(-+--=t rt rt rtf〔5〕)2()2()(ttrtf-=ε〔8〕)]5()([)(--=k k k k f εε〔11〕)]7()()[6sin()(--=k k k k f εεπ〔12〕)]()3([2)(k k k f k ---=εε1-3 写出图1-3所示各波形的表达式。
写出图1-4所示各序列的闭合形式表达式。
1-41-5 判别以下各序列是否为周期性的。
如果是,确定其周期。
〔2〕) 63cos()443cos()(2ππππ+++=kkkf〔5〕)sin(2cos3)(5tttfπ+=解:1-6 信号)(tf的波形如图1-5所示,画出以下各函数的波形。
《信号与系统》(第 3 版)习题解析高等教育出版社目录第 1 章习题解析 (2)第 2 章习题解析 (6)第 3 章习题解析 (16)第 4 章习题解析 (23)第 5 章习题解析 (31)第 6 章习题解析 (41)第 7 章习题解析 (49)第 8 章习题解析 (55)第 1 章习题解析1-1题 1-1 图示信号中, 哪些是连续信号?哪些是离散信号?哪些是周期信号?哪些是非周期信号?哪些是有始信号?(c)(d)题 1-1图解 (a)、(c)、(d)为连续信号; (b)为离散信号; (d)为周期信号;其余为非周期信号; (a)、(b)、(c)为有始(因果)信号。
1-2 给定题 1-2 图示信号 f( t ),试画出下列信号的波形。
[提示: f( 2t )表示将 f( t )波形压缩,f( t)表示将 f( t )波形展宽。
]2(a) 2 f( t 2 )(b) f( 2t ) (c) f(t)2(d) f( t +1 )题1-2图解 以上各函数的波形如图 p1-2 所示。
图 p1-21-3如图1-3图示,R、L、C元件可以看成以电流为输入,电压为响应的简单线性系统S R、S L、 S C,试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。
S RS LS C题 1-3图解各系统响应与输入的关系可分别表示为u R (t)R i R (t )u L (t)di L (t )L1dttu C (t )i C ( )dC1-4如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为 a 的放大器三个子系统组成,系统属于何种联接形式?试写出该系统的微分方程。
题 1-4图解 系统为反馈联接形式。
设加法器的输出为 x( t ),由于x(t ) f (t) ( a) y(t)且y(t ) x(t)dt ,x(t) y (t)故有y (t) f (t ) ay (t)即y (t ) ay(t ) f (t)1-5已知某系统的输入 f( t )与输出 y( t )的关系为 y( t ) = | f( t )|,试判定该系统是否为线性时不变系统?解 设 T 为系统的运算子,则可以表示为y(t) T[ f (t )]f (t)不失一般性,设 f( t ) = f 1( t ) + f 2 ( t ),则T[ f 1 (t)]f 1 (t)y 1 (t )T[ f 2 (t)] f 2 (t )y 2 (t )故有T[ f (t)] f 1 (t )f 2 (t ) y(t)显然f 1 (t ) f 2 (t)f 1 (t ) f 2 (t )即不满足可加性,故为非线性时不变系统。
信号与系统(段哲民)第三版第四章答案全解4.1 选择题答案解析(C)伯努利信号是一个具有有限时间持续性的信号,因此是非因果信号。
解析:伯努利信号只在有限时间内存在,而非因果信号是只存在于负时间的信号。
(D)和三角函数的区别是,余弦函数的相位是0,而不是1。
解析:和三角函数不同,余弦函数的相位是0,表示相位没有滞后。
(B)碰撞行为是随机过程,因此其幅度表示为随机变量是正确的。
解析:碰撞行为是随机过程,其幅度表示为随机变量。
4.2 填空题答案解析1.以下哪个信号不是周期信号?(B)解析:周期信号是指在时间轴上具有循环性质的信号。
正方脉冲信号和方波信号都是周期信号,而冲击信号不是周期信号。
2.正弦信号频率是50Hz,则周期为______。
解析:频率和周期的关系为$f=\\frac{1}{T}$。
根据公式可知,周期$T=\\frac{1}{f}=0.02s$。
3.已知信号$y(t)=3\\sin(2\\pi t + \\frac{\\pi}{6})$,则相位为______。
解析:相位指信号相对于某参考信号的滞后程度。
对于正弦信号,相位为$\\theta = 2\\pi t + \\frac{\\pi}{6}$4.3 解答题答案解析1.请证明复指数函数$e^{j\\theta}$是周期信号。
解析:复指数函数$e^{j\\theta}$可以表示为$e^{j(\\omega_0t+\\phi)}=e^{j\\omega_0t}e^{j\\phi}$,其中$\\omega_0$为角频率。
由于$|\\phi| < \\pi$,所以$e^{j\\phi}$是一个衰减的振荡函数,它是一个周期信号。
2.指出以下信号的类型:(1)冲击信号 (2)阶跃信号 (3)斜坡信号解析:(1) 冲击信号是一个非周期信号;(2) 阶跃信号是一个非周期信号;(3) 斜坡信号是一个非周期信号。
3.已知信号y[y]=2y[y−y],请将该信号分解为若干复指数信号的叠加形式。
第4章拉普拉斯变换与连续系统复频域分析4.6本章习题全解4.1 求下列函数的拉普拉斯变换(注意:为变量,其它参数为常量)。
(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)解:(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18) ()(19)(20)(21)(22)(23)(24)4.2 已知,求下列信号的拉普拉斯变换。
(1)(2)(3)(4)(5)解:(1)(2)(3)(4)(5)所以4.3 已知信号的拉普拉斯变换如下,求其逆变换的初值和终值。
(1)(2)(3)(4)解(1)初值:终值:(2)初值:终值:(3)初值:终值:(4)初值:终值:4.4 求题图4.4所示信号的单边拉普拉斯变换。
题图4.4解(1)所以根据微分性质所以注:该小题也可根据定义求解,可查看(5)小题(2)根据定义(3)根据(1)小题的结果再根据时移性质所以根据微分性质得(4)根据定义注:也可根据分部积分直接求取(5)根据单边拉氏变换的定义,本小题与(1)小题的结果一致。
(6)根据单边拉氏变换的定义,在是,对比(3)小题,可得4.5 已知为因果信号,,求下列信号的拉普拉斯变换。
(1)(2)(3)(4)解:(1)根据尺度性质再根据s域平移性质(2)根据尺度性质根据s域微分性质根据时移性质(3)根据尺度性质再根据s域平移性质(4)根据时移性质再根据尺度性质本小题也可先尺度变化得到,再时移单位,得到结果4.6 求下列函数的拉普拉斯逆变换。
(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)解:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14){} =(15){} =(16){}=(17){}=(18){}=(19){}=(20){}=(21){}=(22){}=(23) {}=(24) ()=4.7 求如题图4.7所示的单边周期信号的拉普拉斯变换。
题图4.7(1)矩形脉冲信号第一周期的时间信号为:则(2) 第一个周期时间信号为则(3)第一个周期时间信号为:则(4) 一个周期内:则4.8 已知线性连续系统的单位冲激响应为。
(1)若系统输入,求系统的零状态响应;(2)若,求系统输入。
解:将系统的单位冲激响应作拉氏变换得系统函数(1)系统输入的拉氏变换为根据系统的S域分析,所以零状态响应的拉氏变换为,所以(2)根据系统的S域分析,所以输入的拉氏变换为求拉氏反变换得4.9 已知系统微分方程为,求下列输入时的零状态响应。
(1);(2);(2)。
解:系统微分方程在零状态下两边做拉氏变换得整理得:(1)输入信号的拉氏变换为所以得做拉氏反变换得零状态响应(2)输入信号的拉氏变换为所以得做拉氏反变换得零状态响应(3)输入信号的拉氏变换为所以得做拉氏反变换得零状态响应4.10 利用拉普拉斯变换求解下列系统的系统函数、零状态响应、零输入响应和全响应。
(1)。
(2)(3);;(4);,,,解:(1)将系统方程两边拉氏变换得:(2)将系统方程两边拉氏变换得:把代入上式,(3)系统函数:(4)4.11 求下列微分方程描述的连续系统的零输入响应。
(1);(2);(3)。
解:(1)考虑输入,将微分方程两边做拉氏变换得代入初始条件,整理得,做拉氏反变换得零输入响应(2)考虑输入,将微分方程两边做拉氏变换得代入初始条件,整理得,做拉氏反变换得零输入响应(3)考虑输入,将微分方程两边做拉氏变换得代入初始条件,整理得,做拉氏反变换得零输入响应4.12 已知连续系统的微分方程为,求在下列输入时的零输入响应、零状态响应和全响应。
(1);(2);解:将系统方程两边拉氏变换得整理得即令状态,得零状态响应的拉氏变换为令,即,得零输入响应的拉氏变换为(1)输入的拉氏变换,和初始状态得对上式求拉氏反变换得,零状态响应零状态响应完全响应(2)输入的拉氏变换,和初始状态得对上式求拉氏反变换得,零状态响应零状态响应完全响应4.13 已知线性连续系统的系统函数和输入信号,求系统的完全响应。
(1);(2)。
解:根据系统得s域分析,系统的零状态响应的拉氏变换为(1)所以根据系统方程可得二阶系统特征方程的系数为1,4,3所以系统的零输入响应的拉氏变换为所以求拉氏反变换得系统的完全响应为(2)所以根据系统方程可得三阶系统特征方程的系数为1,3,2,0所以系统的零输入响应的拉氏变换为所以求拉氏反变换得系统的完全响应为4.14 一线性系统,当输入为时,零状态响应为,求系统的单位冲激响应。
解:输入的拉氏变换为,输出的拉氏变换为求反拉氏变换得系统的单位冲激响应4.15 已知系统的阶跃响应为,为使其零状态响应为,求激励信号。
解:4.16已知线性连续系统在相同的初始状态下,输入为时,完全响应为;输入为时,完全响应为;求在相同的初始状态下,输入为时系统的全响应。
解:根据线性系统的s域分析可知,设系统函数为,零输入响应的拉氏变换为则有(1)(2)其中,,(3),(4)将(3)、(4)代入(1)、(2)联立解得,所以输入为时,系统的全响应为4.17 已知系统函数,试求系统在下列信号激励时的稳态响应。
(1);(2)(1) 系统函数:系统的极点分别是,位于平面的左半平面,所以可得系统的频率响应函数所以系统的正弦稳态响应为(2) 系统函数:系统的极点分别是,位于平面的左半平面,所以可得系统的频率响应函数所以系统的正弦稳态响应为4.18 已知系统函数的零、极点分布如题图 4.18所示,单位冲激响应的初值。
(1)求系统函数;(2)求系统的频率响应函数;(3)求系统的单位冲激响应;(4)求系统在激励下系统的正弦稳态响应。
解:(1)根据题图可知,系统函数的极点为,,零点为根据系统函数的零极点,可写出零极点形式为利用初值定理得所以所以(2)系统的频率响应函数为(3)对求拉氏反变换得(4)所以,所以正弦稳态响应4.19 已知下列各系统函数,画出零、极点图,求单位冲激响应,画出波形,并判断系统是否稳定。
(1);(2);(3);(4)解:(1) 系统零极点图如下:该系统的所有极点都在左半开平面,所以系统稳定。
(2) 系统零级点图如下:该系统的所有极点都在左半开平面,所以系统稳定。
(3) 系统零极点图如下:该系统的所有极点都在左半开平面,所以系统稳定。
(4) 系统零极点图如下:该系统有一个极点位于虚轴上,所以系统不稳定。
4.20 线性系统如题图4.20所示,图中,,。
(1)求系统的系统函数和单位冲激响应;(2)若输入,求系统的零状态响应。
题图4.20解:(1),根据题图可知,求拉氏反变换得单位冲激响应(2),所以求拉氏反变换得系统的零状态响应4.21 线性连续系统如题图4.21所示。
(1)求系统函数;(2)为使系统稳定,求系数的取值范围;(3)在临界稳定状态下,求系统单位冲激响应。
题图4.21解:根据题图的系统框图,可得出输入输出关系式整理得,根据劳斯判据准则,要使系统稳定必须满足,这里的分别表示分母的各项系数所以系统稳定得条件为,即(3)在临界稳定状态下,此时,所以求拉氏反变换得系统单位冲激响应4.22某连续系统的分母多项式为:,为使系统稳定,应满足什么条件?解:这是一个三阶系统,三阶系统稳定的充要条件是D(s)中全部系数非零,且同符号,而且还要求满足:所以根据题有:4.23检验以下多项式是否为霍尔维兹多项式。
(1);(2);(3);解:(1) 根据罗斯-霍尔维兹别准,排出罗斯阵列如下:第一行 1 4 4第二行 3 6 0第三行 2 4 0第四行0 0 0罗斯阵列排列至此,出现一行元素全为0。
可把第3行的一行元素写为辅助多项式,将对求一阶导数,再将辅助多项式导数的系数4,4重新列在第4行,这样得到新的完整的罗斯阵列为第一行 1 4 4第二行 3 6 0第三行 2 4 0第四行 4 4 0第五行 2 0 0罗斯阵列中第1列元素全大于0,所以是霍尔维兹多项式。
(2);根据罗斯-霍尔维兹别准,排出罗斯阵列如下:第一行 1 10 0第二行25 4 0第三行 0 0第四行 4 0罗斯阵列中第1列元素全大于0,所以是霍尔维兹多项式。
(3);根据罗斯-霍尔维兹别准,排出罗斯阵列如下:第一行 1 2 9第二行4 3 4第三行 8第四行-22.6以上阵列的第一列元素不全为正,所以不是霍尔维兹多项式。
4.24已知线性系统的系统函数如下,试判断各系统的稳定性。
(1)(2)(3)解:(1)这是一个二阶系统,其系统(二阶重根系统除外)稳定的充要条件是:分母中全部系数不缺项且同符号,该题目中全部系数分别为1,5,4.不缺项且全为正,因此该系统稳定。
(2)首先将的特征多项式排列罗斯阵列第一行 1 17 6第二行7 17 0第三行 6 0第四行 0 0第五行 6 0 0因为系数的罗斯阵列第一列元素全大于零,所以H (s)对应的系统为稳定系统。
(3)H (s)的分母多项式的系数,H (s)分母多项式的系数符号不完全相同,所以H (s)对应的系统为不稳定系统。
4.25已知因果信号的拉氏变换分别如下所示,试问的傅里叶变换是否存在?若存在,写出的表达式。
(1)(2)(3)解:(1)极点:s1=-1+j, s2=-1-j 因为系统所有极点都在左半开平面,所以系统稳定,X(jw)存在X(jw)=X(s)|s=jw=(2) 极点:s1=0,s2=-1 有一个极点在虚轴上,除了将中的以代换外,还要加一系列冲激函数(3) 极点: s1= -4, s2=1, 所有极点不是都在左半开半面,所以系统不稳定,X(jw)不存在。
第5章连续时间信号的抽样与量化5.6本章习题全解5.1 试证明时域抽样定理。
证明:设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列,它可以表示为由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为:式中为原信号的频谱,为单位冲激序列的频谱。
可知抽样后信号的频谱由以为周期进行周期延拓后再与相乘而得到,这意味着如果,抽样后的信号就包含了信号的全部信息。
如果,即抽样间隔,则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠,此时不可能无失真地重建原信号。
因此必须要求满足,才能由完全恢复,这就证明了抽样定理。
5.2 确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔:(1)(2)(3)(4)解:抽样的最大间隔称为奈奎斯特间隔,最低抽样速率称为奈奎斯特速率,最低采样频率称为奈奎斯特频率。
(1),由此知,则,由抽样定理得:最低抽样频率,奈奎斯特间隔。