数列经典例题(裂项相消法)

数列裂项相消求和的典型题型

1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1

{1

+n n a a 的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101100 2．数列,)1(1+=n n a n 其前n 项之和为,10

9

则在平面直角坐标系中，直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距

为( )

A ．－10

B ．－9

C ．10

D ．9

3．等比数列}{n a 的各项均为正数，且622

3219,132a a a a a ==+．

(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；

(Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1

{

n

b 的前n 项和． 4．正项数列}{n a 满足02)12(2

=---n a n a n n ．

(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令,)1(1

n

n a n b +=

求数列}{n b 的前n 项和n T ．

5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且12,4224+==n n a a S S ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n b 满足

,,2

1

1*2211N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ． 6．已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ； (Ⅱ)令),(1

1*2

N n a b n n ∈-=

求数列}{n b 的前n 项和n T ． 7．在数列}{n a 中n n a n

a a 2

11)11(2,1,+==+． (Ⅰ)求}{n a 的通项公式； (Ⅱ)令,2

1

1n n n a a b -

=+求数列}{n b 的前n 项和n S ；

（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n T ．

8．已知等差数列}{n a 的前3项和为6，前8项和为﹣4． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；

(Ⅱ)设),,0()4(*

1N n q q a b n n n ∈≠-=-求数列}{n b 的前n 项和n S ．

9．已知数列}{n a 满足,2,021==a a 且对*

,N n m ∈∀都有211212)(22n m a a a n m n m -+=+-+--．

(Ⅰ)求53,a a ；

(Ⅱ)设),(*

1212N n a a b n n n ∈-=-+证明：}{n b 是等差数列；

（Ⅲ）设),,0()(*

11N n q q a a c n n n n ∈≠-=-+求数列}{n c 的前n 项和n S ．

10．已知数列}{n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足16,557263=+=a a a a ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；

(Ⅱ)数列}{n a 和数列}{n b 满足等式),(2

222*

33221N n b b b b a n n n ∈++++=

求数列}{n b 的前n 项和n S ． 11．已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且421,,S S S 成等比数列． (1)求数列}{n a 的通项公式； (2)令,4)

1(1

1

2+--=n n n a a n

b 求数列}{n b 的前n 项和n T .

12．正项数列}{n a 的前n 项和n S 满足：0)()1(2

22=+--+-n n S n n S n n .

(1)求数列}{n a 的通项公式n a ； (2)令,)2(12

2n n a n n b ++=

数列}{n b 的前n 项和为n T ，证明：对于,*

N n ∈∀都有64

5

1．A ；2．B

3．解：(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q ，由a 32

=9a 2a 6有a 32

=9a 42

，∴q 2

=． 由条件可知各项均为正数，故q=． 由2a 1+3a 2=1有2a 1+3a 1q=1，∴a 1=． 故数列{a n }的通项式为a n =．

（Ⅱ）b n =

+

+…+

=﹣（1+2+…+n）=﹣

，

故=﹣=﹣2（﹣）

则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，

∴数列{}的前n项和为﹣．

4．解：(Ⅰ)由正项数列{a n}满足：﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0，

可有（a n﹣2n）（a n+1）=0

∴a n=2n．

(Ⅱ)∵a n=2n，b n=，

∴b n===，

T n===．

数列{b n}的前n项和T n为．

5．解：(Ⅰ)设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1有：

，

解有a1=1，d=2．

∴a n=2n﹣1，n∈N*．

(Ⅱ)由已知++…+=1﹣，n∈N*，有：

当n=1时，=，

当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，∴，n=1时符合．

∴=，n∈N*

由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，n∈N*．

∴b n=，n∈N*．

又T n=+++…+，