抽象函数经典综合题33例(含详细解答)

抽象函数经典综合题33例(含详细解答)

-1)+g(1)f(1)=f(1){g(-1)+g(1)} ∵f(2)=f(1)≠0

∴g(-1)+g(1)=1

3.已知函数)(x f 对任意实数y x ,恒有

)

()()(y f x f y x f +=+且当x ＞0，.2)1(.0)(-=

(1)判断)(x f 的奇偶性；

(2)求)(x f 在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于x 的不等式.4)()(2)(2

+<-ax f x f ax f

解（1）取,0==y x 则0)0()0(2)00(=∴=+f f f 取)()()(,x f x f x x f x y -+=--=则

)()(x f x f -=-∴对任意R x ∈恒成立 ∴)(x f 为奇函数. （2）任取2

1

2

1

),(,x x x x <+∞-∞∈且， 则01

2

>-x x 0)()()(1

212<-=-+∴x x f x f x f

),()(12x f x f --<∴ 又)(x f 为奇函数 )()(2

1x f x f >∴ ∴)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数. ∴对任意]3,3[-∈x ，恒有)3()(-≤f x f 而632)1(3)1()2()12()3(-=⨯-==+=+=f f f f f 6)3()3(=-=-∴f f ∴)(x f 在[－3，3]上的最大值为6

（3）∵)(x f 为奇函数，∴整理原式得 )2()()2()(2

-+<-+f ax f x f ax f

进一步可得)2()2(2

-<-ax f x ax f

而)(x f 在（－∞，+∞）上是减函数，

222

->-∴ax x ax

.

0)1)(2(>--∴x ax

∴当0=a 时，)1,(-∞∈x 当2=a 时，}1|{R x x x x ∈≠∈且

当0

|{<<∈x a x x 当20<

}12

|{<>

∈x a

x x x 或

当a>2时，}12

|{><∈x a x x x 或

4.已知f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)＝－1，且满足x ，y ∈(－1，1)有f (x )＋f (y )＝f (xy y x ++1)

⑴证明：f (x )在(－1，1)

⑵对数列x 1＝21，x n ＋1＝

2

12n

n x x +，求f (x n );

⑶求证2

52)(1)(1)(12

1

++-

>+++n n x f x f x f n

(Ⅰ)证明：令x ＝y ＝0，∴2f (0)＝f (0)，∴f (0)＝0

令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0 ∴f (x )＋f (－x )＝0 ∴f (－x )＝－f (x ) ∴f (x )为奇函数

(Ⅱ)解：f (x 1)＝f (21)＝－1，f (x n ＋1)＝f (

2

12n

n x x +)

＝f (n

n

n n

x

x x

x ⋅++1)＝f (x n )＋f (x n )＝2f (x n )

∴)()(1n

n x f x f +＝2即{f (x n )}是以－1为首项，2为公

比的等比数列

∴f (x n )＝－2n －1

(Ⅲ)解：)

2

121211()(1)(1)(11

2

2

1

-++++=+++n n

x f x f x f 221

2)212(2

1121

11

1->+-=--=---=--n n n

而2

212)212(252-<+--=++-=++-n n n n ∴2

52)(1)(1)(12

1

++-

>+++n n x f x f x f n

5.已知函数

N

x f N x x f y ∈∈=)(,),(，满足：对任意

,

,,2121x x N x x ≠∈都有

)

()()()(12212211x f x x f x x f x x f x +>+；

（1）试证明：)(x f 为N 上的单调增函数； （2）n N ∀∈，且(0)1f =，求证：()1f n n ≥+；

（3）若(0)1f =，对任意

,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f ，证明：∑=<-n

i i

f 1

41)13(12

. 证明：（1）由①知，对任意*

,,a b a b ∈

0))()()((>--b f a f b a ，

由于0<-b a ，从而)()(b f a f <，所以函数)(x f 为*

N 上的单调增函数.

（2）由（1）可知n N ∀∈都有f(n+1)>f(n),

则有f(n+1)≥f(n)+1 ∴f(n+1)-f(n)1

≥, ∴f(n)-f(n-1)1≥

∙∙∙ ∴

f(2)-f(1)1≥

∴f(1)-f(0)1≥由此可得

f(n)-f(0)≥n ∴f(n)≥n+1命题得证 （3）（3）由任意,m n N ∈,有1)())((+=+n f m f n f

得()1f m = 由f(0)=1得m=0 则f(n+1)=f(n)+1,则f(n)=n+1

21

)311(21311)

31

1(313

13131)13(121<-=--=+∙∙∙++=-∑

=n

n n n

i i f

6.已知函数()f x 的定义域为[]0,1，且同时满足：

(1)对任意[]0,1x ∈，总有()2f x ≥； (2)(1)3f =

(3)若1

2

0,0x x ≥≥且1

2

1x x +≤，则有1212

()()()2f x x f x f x +≥+-.

(I)求(0)f 的值；

(II)求()f x 的最大值；

(III)设数列{}n a 的前n 项和为n

S ，且满足*

12(3),n n

S a n N =--∈.

求证：123112332

()()()()2n

n f a f a f a f a n -⨯++++≤+-.