高中数学 极限的四则运算(二)精华课件

lim f(x)lim f(x) lim f(x)的极限
x 0
x 0
x 0
(2)g(x) x -x
(当x0时)， (当x0时);
limg(x)0, limg(x)0,
x0
x0
limg(x)0
x0
2x1 (当 x0时 )，
(3)h(x) 2x1
(当 x0时 ).
lih m (x ) 1 ,lih m (x )1
例题讲解
例.求 ln i m 123 n2 n
解
（1 ）
：lim n
1
2
3 n
2
n
解
（
2）
：l i m n
1
2
3 n
2
n
lim 1 lim 2 n n n 2 n 2
00 0 0
lim n n n 2
1 n(n 1)
lim 2 n
n2
lim n 1 1 n 2n 2
思考:对比解1、解2,判断哪种解法正确,并分析原因.
例题选讲：
例1、
2,2,2
1.5,1.5,1.5
0,0,0
-1,2,无
无,无,无, 0,无,无,
练习
下列函数在点x=0处的左极限、右极限各是什么?其中哪些函数在 点x=0处有极限.
x2 (1)f(x)
x1
(当 x0时 )， lim f(x)1 ,lim f(x)0
(当 x0时 ); x 0
x 0
1
n
n n
L im 3
n
L im
n
2 n2
例题讲解
(4) Lim 3n3 n n 2n4 n2
L im n
3 n
1 n3
2
1 n2
L im
n
3 n
1 n 3
L im
n
2
1 n2
20 2 30 3
L im
n
3 n
L im
n
1 n3
L im
n
2
L im
n
1 n2
例:求下列极限
( 1 )l n i m (n 2 3 1 n 2 5 1 n 2 7 1 2 n n 2 1 1 )
(解 2):原 lim式 1lni m 1335917n 2 1 (32 1nn1)lni m nn (n 2 1 2)lni m 1 1 n 1 n 221
n
1
1 2
1 4
1 2n
解 :原 式 lim3 2[1(1 3)n]3lni m 1lni m (1 3)n3103
n 2[1(1)n] 4lim 1lim (1)n 410 4
2
2 n n
例题讲解
(3 )lim [n (11)(11)(11) (11)] n 3 4 5 n2
解 :原 式 lim (n 2 3 4 n 1 ) lim 2 n 2 n 345 n 2n n 2
1
1
3[ln i m (6anbn)ln i m (3an4bn)]3(18)3.
练习:若 l n i ( n m n ) 存 a ,且 l n i [ 在 2 n m ( 1 ) a n ] 1 ,求 l n i ( n m n )a .
解 ： l n i m ( n a n ) l n i m [ 2 n n 1 ( 2 n 1 ) a n ] l n i m 2 n n 1 l n i m [ ( 2 n 1 ) a n ] 1 2 .
( 4 )lim ( 1 a ) ( 1 a 2 ) ( 1 a 4 ) ( 1 a 2 n ) ( 其 中 |a | 1 ) n
解:原式 lim 1 (1a)(1 a)(1 a2)(1 a4)(1 a2n ) n1 a
1 lim(1a2)(1 a2)(1 a4)(1 a2n ) 1 a n
00 0 20
方 法：分子，分母同除以n的最高次幂！
总 结：l i m f ( n ) 其中f(n)，g(n)都是关于n的多项式
n g (n ) 1）如果f(n)的次数 = g(n)的次数, 则极限为最高次系数比；
2）如果f(n)的次数 < g(n)的次数, 则极限为0；
3）如果f(n)的次数 > g(n)的次数, 则极限不存在.
注：极限的运算法则只能推广到有限多项，当项数无限时， 要先求和（或积）再求极限.
例题讲解
另注： 运用法则的前提是分解成的数列存在极限.
例:已知 l n ( i 6 a n m b n ) 1 , l n ( i 3 a n m 4 b n ) 8 , 求 l n ( i 3 a n m b n ). 解: 令 ln i a m nx ,ln i b m ny ,则 ln i (6 m a n b n ) 6 x y 1 ,ln i (m 3 a n 4 b n )
1 lim(1a2n1 ) 1 a n
| a |1,lima2n1 0,故原式 1 .
n
1 a
例题讲解
例:已知数列{an}与{bn}都是公差不为0的等差数列,且 lim an1,求 limna2n1 . n bn 2 n b1b2 bn
x 0
x 0
lim h(x)lim h(x) lim h(x)的极限不
x 0
x 0
x 0
例 . 求下列极限:
例题讲解
(1)
nl im(n12
2) n
2n2 n (3) nl im 3n2 2
3n2 (2) lim
n n (4) nl im23nn43nn2
解： (1)
Ln im
1 n2
例 求下列极限
例题讲解
（1）Lim( 4n2 32n) n
解： Lim( 4n2 32n) n
Lim
3
n 4n2 32n
Hale Waihona Puke Baidu
0
（2） Lim( 4n2 n2n) n
解： Lim( 4n2 n2n) n
n
Lim
n
4n2 n2n
L im
n
1
4 1 2
1 4
n
解析：对此类题目应将分子，分母有理化
例题讲解
3 x 4 y 8 ,解 :x 得 9 4 ,y5 3 , ln i (m 3 a n b n ) 3 x y 3 .
以上解答过程是错误的,原因在于由题设条件不能判断数列
{an},{bn}的极限是否存在,从而不能用运算法则. 正确解法: 3anbn1 3[6 (anbn)(3an4bn)] ,ln i m (3anbn)
2 n
1
2
Ln im n2
Lim n n
0 2 Lim 1 n n
000
(2)
Lnim
3n n
2
Lim
n
3
2 n
Lim3Lim2
n
n n
1 3 2 Lim
n n
303
解：(3)
Lim n
2n2 3n2
n 2
L im
n
2
1 n
L im
n
3
L im 2
2 n2
L im