初二数学 一次函数知识总结及例题解析

一次函数变量之间的关系单元知识总结

【基本目标要求】

—、经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，体验一个变量的变化对另一个变量的影响，发展符号感．

二、在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，能用关系式表示某些变量之间的关系，会根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的对应关系．

三、能用表格表示变量之间的关系，会根据表格中的数据对变化趋势进行预测.

四、经历从图象中分析变量之间关系的过程，能从图象中获取变量之间关系的信息，并能用语言进行描述．

【基础知识导引】

一、变量、自变量、因变量的概念

在—个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量，数值保持不变的量叫做常量.例如在表示路程关系式 s=50t 中，速度 50 恒定不变为常量，随 t 取不同数值时也取不同数值，s 与t 都为变量．t 是自变量，s 是因变量．

二、变量之间关系的表示法

【重点难点点拨】

本章主要内容阐述变量、自变量、因变量的概念，用表格、关系式、图象表示变量本章重点是理解变量、自变量、因变量的概念．本章难点是掌握用关系式表示变量之间的关系．要掌握上述重点、难点，必须注意以下问题：

1.通过丰富的现实情境引入变量和对变量之间关系的讨论，并通过对变量之间关系的分析解决问题、进行预测.

2.体验探索和表示变量之间关系的过程，获得对表格、关系式、图象等多种表示方法的体验，能读懂表格、关系式、图象所表示的信息，还能运用表格或关系式刻画一些具体情境中变量之间的关系．

3.能用自己的语言大致描述表格、关系式和图象所表示的关系．

【发散思维分析】

本章引导学生从常量的世界进入了变量的世界，开始接触一种新的思维方式．本章的主要内容阐述变量、自变量、因变量的概念．用表格、关系式、图象表示变量之间的关系．尤其是认关系式、图象中分析变量之间的关系，获得信息，对变化关系进行预测．本章安排—定数量的题型发散，转化发散题．题型发散可增大知识点的覆盖面，训练计算的正确性和熟练程度，培养严密的逻辑推理能力及简明、正确的书面表达能力，转化发散促进数形结合解题．可发挥“形”的直观作用和“数”的思路规范优势．由数思形，由形定数，数形渗透，互相作用．扬长避短，直入捷径．综上所述，发散思维启迪我们注重观察、分析问题，利用形数转化，寻觅解决问题的方法，为提高综合运用数学知识的能力奠定坚实的基础.

【发散思维应用】

1.小车下滑的时间

2.变化中的三角形

3.温度的变化

4.速度的变化

典型例题

1.在一次实验中，小强把—根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度 y 与所挂物体的质量x 的一组对应值：

所挂重量 x(kg) 0 1 2 3 4 5

弹簧长度 y(cm) 20 22 24 26 28 30

(1)

(2)当所挂重物为 4kg 时，弹簧多长?不挂重物呢?

(3)若所挂重物为6kg 时(在弹簧的允许范围内)，你能说出此时弹簧的长度吗?

分析抓住表格中的对应数据，找出变量之间的规律．

解(1)弹簧长度y,物体重量x 是变量，物体重量是自变量，弹簧长度是因变量；

(2)当所挂重物为 4kg 时，弹簧长度为 28cm，不挂重物时弹簧长度为 20cm；

(3)当所挂重物为 6kg 时，弹簧长度为 32cm．

2.如图 6—1 所示，梯形上底的长是 x，下底的长是 15，高是 8．

(1)梯形面积 y 与上底长x 之间的关系式是什么?

(2)用表格表示当 x 从10 变到 20 时(每次增加 1)，y 的相应值；

(3)当 x 每增加 1 时，y 如何变化?说说你的理由；

(4)当 x=0 时，y 等于什么?此时它表示的是什么?

分析(1)根据梯形面积公式可推出y 与x 的关系式；

(2)通过计算列表说明；

(3)由表格中的数据可以观察出；

(4)当上底为零时(即成为一个点)，成为三角形．

解(1) y =1 (x +15)⨯8

，2

即 y=4x+60；

(2)

x 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 y 100 104 108 112 116 120 124 128 132 136 140

(3)

(4)当 x=0 时，y=60，此时梯形成为了三角形．

3.地壳的厚度约为 8 到40km．在地表以下不太深的地方，温度可按 y=35x+t 计算，其中x 是深度(km)，t 是地球表面温度（℃），y 是所达深度的温度（℃)．

(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么?

(2)分别计算当x 为lkm，5km，10km,20km 时地壳的温度(地表温度为

2℃)．解(1)自变量是深度，因变量是温度；

(2)当x=1km 时，y=35x+t=35x×1+2=37(℃)；

当 x=5km 时，y=35x+t=35×5+2=177(℃)；

当x=10km 时，y=35x+t=35×10+2=352(℃)；

当x=20km 时，y=35x+t=35×20+2=702(℃)．

说明初步体会自变量和因变量的数值对应关系，能由自变量的值求得因变量的

值．题型发散

发散1 选择题把正确答案的代号填入题中的括号内．

(1)下面的图表列出了—项试验的统计数据，表示将皮球从高处 d 落下时，弹跳高度 b 与下落高度d 的关系．试问，下面的哪个式子能表示这种关系(单位：cm) ( )

d 50 80 100 150

b 25 40 50 75

(A)b =d 2(B)b=2d (C) b =

2

(D)b=d+25

(2)某地一天的气温随时间的变化如图 6—2，根据图象可知：在这一天中最高气温与达到最高气温的时刻分别是( )

(A)14℃；12h (B)4℃；2h (C)12℃；14h (D)2℃；4h

解(1)用验证法．

当 d=50 时，b =

d

2

当 d=80 时，b =

d

2

=

50

2

=

80

2

= 25 ；

= 40 ；

当 d=100 时，b =

d

2

当 d=150 时，b =

d

2

=

100

= 50 ；

2

=

150

=

75 ．2

因上述数字完全与表格中的数字符

合．故本题应选(C)．

(2)用直接法．

由图 6—2 知一天达到最高气温12℃的时间是 14

时．故本题应选(C)．

发散2 填空题

如图 6—3，△ABC 是等腰三角形，周长是 60cm，腰为 xcm，底为 ycm．