大学高等数学_12空间曲线及平面方程

第四节
第七章
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
例如,方程组
G(x, y, zS) 2 0
L
S1
F(x, y, z) 0
z
表示圆柱面与平面的交线 C.
说明: 一般曲面的参数方程含两个参数 , 形如
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为
消去 z 得投影柱面
z
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
C
H
(
x, y) z0
0
y
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
R(
y, z) x0
0
消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程
x
T
(
C
x, z) y0
0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如,
C
:
x2
x2 (y
y2 1) 2
z2 1 (z 1)2
1
在xoy 面上的投影曲线方程为
x
2
2
y z
2 2y 0
0
z
C
o
1y
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
又如,
上半球面
和锥面
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:
x
x2 z2 a2 (x 0, z 0) y0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
作业 P324 3，4，5，6, 8
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 求曲线
绕 z 轴旋转的曲面与平面
x y z 1的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.
解： 旋转曲面方程为 z x2 y2 ,它与所给平面的
xoy 面上的投影曲线所围之域 .
二者交线在
二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线
所围圆域: x2 y2 1, z 0.
Co 1 y
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
• 空间曲线 • 求投影曲线
三元方程组 或参数方程 (如, 圆柱螺线)
思考与练习
P324 题 1，2，7（展示空间图形）
说明: 此平面的三点式方程也可写成
x 2 y 1 z 4
3 4 6 0 2 3 1
一般情况 : 过三点 M k (xk , yk , zk ) (k 1, 2,3)
的平面方程为
机动 目录 上页 下页 返回 结束
特别,当平面与三坐标轴的交点分别为
时, 平面方程为
x y z 1 (a ,b,c 0) abc
A x0 B y0 C z0 D 0
以上两式相减 , 得平面的点法式方程
显然方程②与此点法式方程等价,因此方程②的图形是
法向量为 n (A, B,C)的平面, 此方程称为平面的一般
方程.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0)
一、平面的点法式方程
设一平面通过已知点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) 且垂直于非零向
量 n (A , B , C), 求该平面的方程. 任取点M (x, y, z) , 则有
M0M n
故
M0M n 0
zn
M M0
o
x
y
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
y 5x 1 y x3
z
y 5x 1
y x3 o
y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
P324 题2(2)
z
x2 y2 1 49 y3
2பைடு நூலகம்x 思考: 对平面 y b
3y
交线情况如何?
交线情况如何?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
P325 题 7
z
z
x
x2 y z0
2
ax
ay
ay
交线为
z x2 y2 x y z 1
此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为
此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为
x y x2 y2 1 z 0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
第五节 平面及其方程
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
第七章
机动 目录 上页 下页 返回 结束
此式称为平面的截距式方程.
分析:利用三点式 x a y z a b 0 0 a 0 c
按第一行展开得 (x a)bc y(a)c zab 0 即 bcx acy abz abc
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、平面的一般方程
设有三元一次方程
Ax B y C z D 0 ( A2 B2 C2 0) ② 任取一组满足上述方程的数 x0 , y0 , z0 , 则
①
称①式为平面的点法式方程, 称 n 为平面 的法向量.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求过三点
的平面 的方程.
解: 取该平面 的法向量为
n
n M1M 2 M1M3
M1
i jk
3 4 6
2 3 1
(14, 9, 1)
又 M1 , 利用点法式得平面 的方程
M3 M2
即
机动 目录 上页 下页 返回 结束
绕 z 轴旋转
点 M1绕 z 轴旋转, 则
这就是旋转曲面满足的参数方程 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例如, 直线
绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为
消去 t 和 , 得旋转曲面方程为
机动 目录 上页 下页 返回 结束
又如, xoz 面上的半圆周 绕 z 轴旋转所得旋转曲面 ( 即球面 ) 方程为
2C
o 1y
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
又如,方程组
z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、空间曲线的参数方程
将曲线C上的动点坐标x, y, z表示成参数t 的函数:
z
称它为空间曲线的 参数方程.
例如,圆柱螺旋线 的参数方程为
令 t , b v
M o
x y
上升高度 h 2 b, 称为螺距 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 将下列曲线化为参数方程表示: 解: (1) 根据第一方程引入参数 , 得所求为
(2) 将第二方程变形为
故所求为
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求空间曲线 : 时的旋转曲面方程 .
解:
转过角度 后到点
机动 目录 上页 下页 返回 结束
答案: P324 题1
x 1
(1)
y2
z
z 4 x2 y2 (2) y x 0
z
oo
2y
1
x
o
2y
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(3) x2 z2 a2 x2 y2 a2
z a oa
y
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
P324 题2 (1)