信息安全数学基础习题集一

《信息安全数学基础》参考试卷一．选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分)：（每题2分，共20分）1．576的欧拉函数值ϕ(576) ＝()。

(1) 96，(2) 192，(3) 64，(4) 288。

2．整数kn和k(n+2)的最大公因数(kn , k(n+2))=()。

(1) 1或2，(2) | kn|，(3) | n|或| kn|，(4) | k|或2| k|。

3．模10的一个简化剩余系是( )。

(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，(2) 11, 17, 19 , 27(3) 11, 13, 17, 19，(4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。

4．29模23的逆元是( )。

(1) 2，(2) 4，(3) 6，(4) 11。

5．设m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若( )遍历m1m2的完全剩余系。

(1) (m1，m2)=1，则m1x1＋m2x2(2) m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2(3) (m1，m2)=1，则m2x1＋m1x2(4)m1和m2是素数，则m2x1＋m1x26．下面的集合和运算构成群的是( ) 。

(1) <N，＋> （N是自然数集，“＋”是加法运算）(2) <R，×> （R是实数集，“×”是乘法运算）(3) <Z，＋> （Z是整数集，“＋”是加法运算）(4) <P（A），∩> （P(A)＝{U | U是A的子集}是集合A的幂集，“∩”是集合的交运算）7．下列各组数对任意整数n均互素的是( ) 。

(1) 3n+2与2n，(2) n－1与n2＋n＋1，(3) 6n+2与7n，(4) 2n+1与4n+1。

8．一次同余式234x ≡ 30（mod 198）的解数是( )。

第一章参考答案（1） 5,4,1,5.（2） 100=22*52, 3288=23*3*137.（4） a,b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––pr, b=q1q2––qs,又因为(a,b)=1，表明a, b没有公共(相同)素因子. 同样可以将a n, b n表示为多个素因子相乘a n=(p1p2––pr)n, b n=(q1q2––qs)n明显a n, b n也没有公共(相同)素因子.（5）同样将a, b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––pr, b=q1q2––qs,a n=(p1p2––pr)n, b n=(q1q2––qs)n,因为a n| b n所以对任意的i有, pi的n次方| b n,所以b n中必然含有a的所有素因子, 所以b中必然含有a的所有素因子, 所以a|b.（6）因为非零a, b, c互素,所以(a, b)=(a, c)=1,又因为a=p1p2––pr,b=q1q2––qs, ab=p1p2––prq1q2––qs, 又因为a, b, c互素, 所以a, b, c中没有公共(相同)素因子, 明显ab和c也没有公共(相同)素因子.所以(ab, c)= (a, b)(a, c).（7）2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,9 7,101,103,107, 109, 113, 127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199.（11）对两式进行变形有21=0(mod m), 1001=0(mod m),可以看出要求满足的m即使求21和1001的公约数, 为7和1.（12）(70!)/(61!)= 62*63*––*70=(-9)*(-8)*––*(-1)=-9!=-362880=1(mod 71). 明显61!与71互素, 所以两边同乘以61!, 所以70!=61!(mod 71).（13）当n为奇数时2n=(-1)n=-1=2(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=0(mod 3), 所以结论成立.当n为偶数时2n=(-1)n=1(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=2(mod 3), 所以结论成立.（14）第一个问：因为(c,m)=d, m/d为整数.假设ac=k1m+r, bc=k2m+r,有ac=k1d(m/d)+r, bc=k2d(m/d)+r所以ac=bc(mod m/d),因为(c,m/d)=1,所以两边可以同除以一个c, 所以结论成立.第二个问题：因为a=b(mod m), 所以a-b=ki *mi，a-b是任意mi的倍数，所以a-b是mi 公倍数，所以[mi]|a-b.(利用式子：最小公倍数=每个数的乘积/最大公约数, 是错误的, 该式子在两个数时才成立)（15）将整数每位数的值相加, 和能被3整除则整数能被3整除, 和能被9整除则整数能被9整除, (1)能被3整除, 不能被9整除，(2)都不能，(3)都不能，(4)都不能第二章答案（5）证明：显然在群中单位元e满足方程x2=x, 假设存在一个元素a满足方程x2=x, 则有a2=a, 两边同乘以a-1有a=e. 所以在群中只有单位元满足方程x2=x.（6）证明：因为群G中每个元素都满足方程x2=e, 所以对群中任意元素a,b 有aa=e, bb=e, (ab)2=abab=e. 对abab=e, 方程两边左乘以a, 右乘以b有aababb=(aa)ba(bb)=ba=aeb=ab, 有ab=ba, 所以G是交换群.（7）证明：充分性：因为在群中对任意元素a,b有(ab)2=a2b2即abab=aabb, 方程两边左乘以a的逆元右乘以b的逆元, 有a-1ababb-1= a-1aabbb-1, 有ab=ba, 所以G是交换群.必要性：因为群G是交换群, 所以对任意元素a,b有ab=ba, 方程两边左乘以a右乘以b有abab=aabb, 有(ab)2=a2b2.（8）证明：因为xaaba=xbc，所以x-1xaxbaa-1b-1=x-1xbca-1b-1，所以存在唯一解x=a-1bca-1b-1使得方程成立。

信息安全数学基础习题答案信息安全数学基础习题答案1.简答题 a) 什么是信息安全？信息安全是指保护信息的机密性、完整性和可用性，以防止未经授权的访问、使用、披露、干扰、破坏或篡改信息的行为。

b) 什么是加密？加密是指通过对信息进行转换，使其无法被未经授权的人理解或使用的过程。

加密算法通常使用密钥来对信息进行加密和解密。

c) 什么是对称加密算法？对称加密算法是一种使用相同的密钥进行加密和解密的算法。

常见的对称加密算法有DES、AES等。

d) 什么是非对称加密算法？非对称加密算法是一种使用不同的密钥进行加密和解密的算法。

常见的非对称加密算法有RSA、ECC等。

e) 什么是哈希函数？哈希函数是一种将任意长度的数据映射为固定长度的输出的函数。

哈希函数具有单向性，即很难从哈希值逆推出原始数据。

2.选择题 a) 下列哪种算法是对称加密算法？ A. RSA B. AES C. ECC D.SHA-256答案：B. AESb) 下列哪种算法是非对称加密算法？ A. DES B. AES C. RSA D. SHA-256答案：C. RSAc) 下列哪种函数是哈希函数？ A. RSA B. AES C. ECC D. SHA-256答案：D. SHA-2563.计算题 a) 使用AES算法对明文进行加密，密钥长度为128位，明文长度为64位。

请计算加密后的密文长度。

答案：由于AES算法使用的是128位的块加密，所以加密后的密文长度也为128位。

b) 使用RSA算法对明文进行加密，密钥长度为1024位，明文长度为64位。

请计算加密后的密文长度。

答案：由于RSA算法使用的是非对称加密，加密后的密文长度取决于密钥长度。

根据经验公式，RSA算法中加密后的密文长度为密钥长度的一半。

所以加密后的密文长度为1024/2=512位。

c) 使用SHA-256哈希函数对一个长度为128位的明文进行哈希计算，请计算哈希值的长度。

答案：SHA-256哈希函数的输出长度为256位。

信息安全数学基础答案【篇一：信息安全数学基础习题答案】xt>第一章整数的可除性1．证明：因为2|n 所以n=2k , k?z5|n 所以5|2k ，又（5，2）=1，所以5|k 即k=5 k1 ，k1?z 7|n 所以7|2*5 k1 ,又（7，10）=1，所以7| k1 即k1=7 k2，k2?z 所以n=2*5*7 k2 即n=70 k2, k2?z因此70|n32．证明：因为a-a=(a-1)a(a+1)3当a=3k，k?z 3|a 则3|a-a3当a=3k-1，k?z 3|a+1 则3|a-a3当a=3k+1，k?z 3|a-1 则3|a-a3所以a-a能被3整除。

3．证明：任意奇整数可表示为2 k0+1， k0?z22（2 k0+1）＝4 k0+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1由于k0与k0+1为两连续整数，必有一个为偶数，所以k0(k0+1)=2k2所以（2 k0+1）=8k+1 得证。

34．证明：设三个连续整数为a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)= a-a3由第二题结论3|（a-a）即3|(a-1)a(a+1)又三个连续整数中必有至少一个为偶数，则2|(a-1)a(a+1)又（3，2）=1所以6|(a-1)a(a+1) 得证。

5．证明：构造下列k个连续正整数列：(k+1)！+2, (k+1)！+3, (k+1)！+4,……, (k+1)！+(k+1), k?z对数列中任一数 (k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1],i=2,3,4,…(k+1) 所以i|(k+1)！+i即(k+1)！+i为合数所以此k个连续正整数都是合数。

1/26．证明：因为191＜14 ,小于14的素数有2，3，5，7，11，13经验算都不能整除191所以191为素数。

1/2因为547＜24 ,小于24的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23经验算都不能整除547所以547为素数。

“信息安全数学基础”习题答案第一章1、证明： (1)|()|()()|a b b ma m Z c d d nc n Z bd acmn mn Z ac bd ⇒=∈⇒=∈∴=∈∵，，，即。

(2)12111112|,|,,|11(3)|(),,k k k k a b a b a b a b c b c b c c c c ∴−+++∵ ，根据整除的性质及递归法，可证得：，其中为任意整数。

2、证明：1-2(2)(3,5)13|5|15|,(15,7)17|105|a a a a a =∴=∴∵∵∵根据例题的证明结论知：，又且,又，且,。

3、证明：1n p n p n >>因为，且是的最小素因数，若假设n/p 不是素数，则有121223131312,2,,,,2,,k k n p p p p k p p p p k n p p p p n p p n n p n n p =×××≥≥==×≥∴≥≤>> （其中为素数且均）若，则即,与题设矛盾，所以假设不成立，即为素数得证。

7、证明：首先证明形如6k -1的正整数n 必含有6k -1形式的素因子，这显然是成立的。

因为如果其所有素因数均为6k +1形式，则12,(61,1,2,,)j i i n p p p p k i j =×××=+= ,从而得到n 是形如6k +1形式的正整数，这与题设矛盾。

其次，假设形如6k -1的素数为有限个，依次为1212,,6s s q q q n q q q = ，考虑整数-1， 则n 是形如6k -1的正整数，所以n 必有相同形式的素因数q ，使得使得q = q j (1≤j ≤s )。

由整数的基本性质(3)有：12|(6)1s q q q q n −= ，这是不可能的。

故假设错误，即存在无穷多个形如4k -1的素数得证。

2n3n最小非负余数最小正余数绝对值最小余数最小非负余数最小正余数绝对值最小余数3 0、1 1、3 0、1 0、1、2 1、2、3 -1、0、14 0、1 1、4 0、1 0、1、3 1、3、4 -1、0、1 8 0、1、4 1、4、8 1，0 0、1、3、5、7 1、3、5、7、8 3、1、-3、-1、0 10 0、1、4、5、6、9 1、4、5、6、9、10 -4、-1、0、1、4、5 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 1,2,3,4,5,6,7,8,10-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,413、解： (1)259222137222376(222,259)37372592221,1,1s t =×+=×⇒==−×∴==−(2)139571316827136821316823122(1395,713)31317136821713(13957131)2713(1)1395,1,2s t =×+=×+=×⇒==−×=−−×=×+−×∴=−=16、解： (1)(112,56)5611256[112,56]112(112,56)=×== (2)(67,335)6767335[67,335]335(67,335)=×== (3)(1124,1368)411241368[1124,1368]384408(1124,1368)=×==(7,4)1,0,7(1)4211,24410,1,2,771||1000142||100040,1,1427c s t k x k k k y k x k y x kk y k ==∴×−+×=∴=−=⎧=−=−⎪⎪=±±⎨⎪==⎪⎩≤⎧∴≤⎨≤⎩=−⎧∴=±±⎨=⎩∵ 而不定方程的一切解为：　其中，又方程的全部解为　，其中 ，第二章1、解：(1) 错误。

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信息安全数学基础习题答案信息安全数学基础习题答案第⼀章整数的可除性1．证明1：因为2|n 所以n=2k , k1Z5|n 所以5|2k ，⼜（5，2）=1，所以5|k 即k=5 k1，k11Z7|n 所以7|2*5 k1 ,⼜（7，10）=1，所以7| k1即k1=7 k2，k21Z所以n=2*5*7 k2即n=70 k2, k21Z因此70|n证明2：n是2、5、7的公倍数，所以[2,5,7]|n，⼜知2、5、7互素，所以[2,5,7]=2*5*7=70,即70|n。

2．证明：因为a3-a=(a-1)a(a+1)当a=3k，k22(mod)a b p≡Z 3|a 则3|a3-a当a=3k-1，k p a b-Z 3|a+1 则3|a3-a当a=3k+1，k p a b+Z 3|a-1 则3|a3-a所以a3-a能被3整除。

3．证明：任意奇整数可表⽰为2 k0+1， k022(mod)≡Za b p（2 k0+1）2＝4 k02+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1由于k0与k0+1为两连续整数，必有⼀个为偶数，所以k0 (k0+1)=2k所以（2 k0+1）2=8k+1 得证。

4．证明：设三个连续整数为a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)= a3-a由第⼆题结论3|（a3-a）即3|(a-1)a(a+1)⼜三个连续整数中必有⾄少⼀个为偶数，则2|(a-1)a(a+1)⼜（3，2）=1 所以6|(a-1)a(a+1) 得证。

5．证明：构造下列k个连续正整数列：(k+1)！+2, (k+1)！+3, (k+1)！+4,……, (k+1)！+(k+1), k p a b-Z对数列中任⼀数 (k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1], i=2,3,4,…(k+1)所以i|(k+1)！+i 即(k+1)！+i为合数所以此k个连续正整数都是合数。

6．证明：因为1911/2＜14 ,⼩于14的素数有2，3，5，7，11，13经验算都不能整除191 所以191为素数。

信息安全数学基础习题答案信息安全数学基础习题答案信息安全是当今社会中一个重要的领域，它涉及到人们的隐私和数据的保护。

在信息安全的学习过程中，数学是一个不可或缺的基础。

本文将为您提供一些信息安全数学基础习题的答案，帮助您更好地理解和应用相关的数学概念。

一、离散对数问题离散对数问题是信息安全领域中的一个重要数学概念。

以下是一些常见的离散对数问题及其答案：1. 如果p是一个素数，a是一个整数，且a不是p的倍数，求解方程a^x ≡ b (mod p)的x值。

答案：x ≡ log_a(b) (mod p-1)2. 如果p是一个素数，g是一个p的原根，a是一个整数，且a不是p的倍数，求解方程g^x ≡ a (mod p)的x值。

答案：x ≡ log_g(a) (mod p)二、RSA算法RSA算法是一种非常常见的公钥加密算法。

以下是一些与RSA算法相关的习题及其答案：1. 如果p=17，q=11，e=7，计算n和d的值，其中n是模数，d是私钥。

答案：n = p * q = 17 * 11 = 187，d ≡ e^(-1) (mod (p-1)*(q-1)) = 7^(-1) (mod 160) = 232. 如果n=187，e=7，加密明文m=88，计算密文c的值。

答案：c ≡ m^e (mod n) = 88^7 (mod 187) = 11三、椭圆曲线密码学椭圆曲线密码学是一种基于椭圆曲线数学问题的加密算法。

以下是一些与椭圆曲线密码学相关的习题及其答案：1. 在椭圆曲线y^2 ≡ x^3 + ax + b (mod p)上，给定一个基点G和一个私钥d，计算公钥Q的值。

答案：Q = d * G2. 在椭圆曲线y^2 ≡ x^3 + ax + b (mod p)上，给定一个基点G和一个私钥d，计算共享密钥K的值。

答案：K = d * Q = d * (d * G)结语本文为您提供了一些信息安全数学基础习题的答案，涉及了离散对数问题、RSA算法和椭圆曲线密码学等内容。

信息安全数学基础习题集一信息安全数学基础----习题集一一、填空题1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数[a,b,c]= .2、求欧拉函数φ(3000)= .3、设m=9，则模m的最小非负简化剩余系={ }.4、设m=11，则模m的所有平方剩余= .5、设m=22，则模m的所有原根个数= .6. 设m，n是互素的两个正整数，则φ(mn)=________________。

7. 设m是正整数，a是满足m?a的整数，则一次同余式：ax≡b (mod m)有解的充分必要条件是_________________ 。

8. 设 m 是一个正整数，a是满足____________的整数，则存在整数a’，1≤a’＜m ，使得aa’≡1 (mod m)。

9. 设a∈Z,(a,m)=1, 如果同余方程x2≡a(mod m)__________, 则a 叫做模m的平方剩余.10. 设a,m∈Z,m>1,(a,m)=1, 则使得a e≡1(mo d m)成立的最小正整数e叫做a 对模m的__________.二、判断题（在题目后面的括号中，对的画“√”，错的画“×”）1、若k是任意正整数, 则(ak,bk)=(a,b). （）2、设a1,a2,…,a n是n个不全为零的整数，则a1,a2,…,a n与a1, |a2|, |a3|,…, |a n|的公因数相同（）3、设m是正整数, 若m│ab, 则m│a或m│b. （）4、设m为正整数, a,b为整数, a≡b(mod m), d│b且d>0, 则ad ≡bd(mod md).（）5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系. （）6、设m是素数, 模m的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等. （）7、设p=17为奇素数, 模p的平方剩余和平方非剩余的数量各为8. （）8、一次同余方程9x≡1(mod 24)有解. （）9、设p是素数, g是模p的原根, 若g x≡1(mod p), 则x是p?1的整数倍.（）10、设m>1,(a,m)=1, 则1=a0,a,a2, …, a ord m(a)?1构成模m 的简化剩余系.（）11. b≠0, 则(0,b)＝|b|. （）12. 设a,b是两个互素正整数, 那么a│m,b│m, 则ab│m. （）13. 设m是一个正整数, a,b,d都不为0，若ad≡bd(modm)。

信息安全导论数学基础一、模运算1、模p运算和普通的四则运算有很多类似的规律，如：规律公式结合率((a+b) mod p + c)mod p = (a + (b+c) mod p) mod p((a*b) mod p * c)mod p = (a * (b*c) mod p) mod p交换率(a + b) mod p = (b+a) mod p(a × b) mod p = (b × a) mod p分配率((a +b)mod p × c) mod p = ((a × c) mod p + (b × c) mod p) mod p2、模p相等：如果两个数a、b满足a mod p = b mod p，则称他们模p相等，记做a ≡b mod p可以证明，此时a、b满足a = kp + b，其中k是某个整数。

3、对于模p相等和模p乘法来说，有一个和四则运算中迥然不同得规则。

在四则运算中，如果c是一个非0整数，则ac = bc 可以得出a =b但是在模p运算中，这种关系不存在。

例如：(3 x 3) mod 9 = 0(6 x 3) mod 9 = 0但是3 mod 9 = 36 mod 9 =64、定理（消去律）：如果gcd(c,p) ＝1 ，则ac ≡ bc mod p 可以推出a ≡ b mod p 。

注释：gcd最大公约数（greatest common divisor，简写为gcd；或highest common factor，简写为hcf)，指某几个整数共有因子中最大的一个。

最小公倍数（lcm）关系：gcd(a, b)×lcm(a, b) = ab。

5、模P乘法逆元：对于整数a、p，如果存在整数b，满足ab mod p =1，则说，b是a的模p乘法逆元。

定理：a存在模p的乘法逆元的充要条件是gcd(a,p) = 1。

注释：当a与p互素时，a关于模p的乘法逆元有唯一解。

《信息安全数学基础》试卷一一、判断题（本题满分10分，共含10道小题，每小题1分，认为命题正确的请在答题表里填写“√”，认为命题错误的请在答题表里填写“×”）1、任何一个交换群必定是循环群。

2、若4mod b a ≡，则有8mod b a ≡。

3、若无向图中的每一对顶点之间都有链，则此无向图为树。

4、存在一个无向图G ，G 既是哈密顿图，又是欧拉图。

5、若G H ≤1，G H ≤2，则G H H ≤⋂21。

6、同余方程 有解 。

7、模n 的缩系中共有)1(-n ϕ个元素。

8、),,⨯+Z （是一个域。

9、对于奇素数p 而言，模p 的两个二次剩余之积为二次剩余，两个二次非剩余之积为二次剩余。

10、对称群3S 有4阶子群。

二、计算题（本题满分15分）1、设T 是一棵无向树且有3个次数是3的点,2个次数是2的点,其余均为次数是1的点，求出该树一共有多少个点？（本小题5分）2、使用扩展的Euclid 算法求解(a,b)及整数s ，t,使得sa+tb=(a,b),其中a=135,b=97。

（本小题10分）三、解答题（本题满分45分）1、利用整数的惟一分解定理求出(45，100)和[45，100]。

（本小题6分）2、写出模7的缩同余类集合，列出其乘法运算表，并求出此集合中所有非零元素关于乘法的逆元。

（本小题15分）3、判断下列二次同余方程是否有解，并给出判断依据。

（本小题15分） （1） （2）)137(mod 62=x )365(mod 12-=x (mod )k x a n ≡⇔(,())|g k n ind a ϕ4、有向图如图1所示，写出其对应的邻接矩阵、关联矩阵，并判断此图是否为连通图，给出判断依据。

（本小题9分）图1四、求解下列同余方程或同余方程组 （本题满分15分）1、)15(mod 93≡x （本小题5分）2、⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡9mod 711mod 57mod 2x x x （本小题10分）五、证明题（本题满分15分）1、证明：若n b a mod ≡，n d c mod ≡，则有n d b c a mod +≡+。

信息安全数学基础第二版课后练习题含答案介绍信息安全数学基础是一门重要的课程，它是信息安全领域的基础。

在这门课程中，我们将了解许多与信息安全相关的数学知识，例如模运算、质数、离散对数等。

这篇文章将涵盖信息安全数学基础第二版中的一些课后练习题，同时也包含答案。

练习题1. 模运算1.1 在模 10 算法下，求以下计算结果：1.(8 + 4) mod 10 =2.(4 - 8) mod 10 =3.(6 * 3) mod 10 =4.(7 * 8) mod 10 =5.(4 * 6 * 2) mod 10 =答案：1.22.63.84.65.22.1 以下哪些数为质数？1.152.433.684.915.113答案：2、53. 离散对数3.1 在模 13 算法下，计算以下离散对数：1.3 ^ x ≡ 5 (mod 13)2.5 ^ x ≡ 4 (mod 13)3.2 ^ x ≡ 12 (mod 13)答案：1.x = 92.x = 93.x = 44. RSA算法4.1 对于RSA算法，如果p = 71，q = 59，e = 7，n = pq，求以下结果：1.φ(n) =2.d =3.明文为123，加密后的密文为？1.φ(n) = (p-1)(q-1) = 40002.d = 22873.加密后的密文为：50665. 椭圆曲线密码5.1 在GF(7)上，使用下列椭圆曲线：E: y^2 = x^3 + 2x + 2 \\pmod{7}计算点加：1.(1,2) + (5,4) =2.(3,6) + (3,6) =答案：1.(1,5)2.(0,3)结论本文介绍了信息安全数学基础第二版中的课后练习题，并包含了所有答案。

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简明信息安全数学基础答案【篇一：信息安全数学基础答案】,4,1,5.（2） 100=22*52, 3288=23*3*137.（4） a,b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––pr, b=q1q2––qs,又因为(a, b)=1，表明a, b没有公共(相同)素因子. 同样可以将an, bn表示为多个素因子相乘an=(p1p2––pr)n, bn=(q1q2––qs)n明显an, bn也没有公共(相同)素因子.（5）同样将a, b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––pr,b=q1q2––qs, an=(p1p2––pr)n, bn=(q1q2––qs)n,因为an| bn所以对任意的i有, pi的n次方| bn, 所以bn中必然含有a的所有素因子, 所以b中必然含有a的所有素因子, 所以a|b.（6）因为非零a, b, c互素,所以(a, b)=(a, c)=1,又因为a=p1p2––pr, b=q1q2––qs, ab=p1p2––prq1q2––qs, 又因为a, b, c互素, 所以a, b, c中没有公共(相同)素因子, 明显ab和c也没有公共(相同)素因子.所以(ab, c)= (a, b)(a, c).（7）2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83, 89,97,101,103,107, 109, 113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,1 99.（11）对两式进行变形有21=0(mod m), 1001=0(mod m),可以看出要求满足的m即使求21和1001的公约数, 为7和1.（12） (70!)/(61!)= 62*63*––*70=(-9)*(-8)*––*(-1)=-9!=-362880=1(mod 71). 明显61!与71互素, 所以两边同乘以61!, 所以70!=61!(mod 71).（13）当n为奇数时2n=(-1)n=-1=2(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=0(mod 3), 所以结论成立.当n为偶数时2n=(-1)n=1(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=2(mod 3), 所以结论成立.（14）第一个问：因为(c,m)=d, m/d为整数.假设ac=k1m+r,bc=k2m+r,有ac=k1d(m/d)+r, bc=k2d(m/d)+r所以ac=bc(modm/d),因为(c,m/d)=1,所以两边可以同除以一个c, 所以结论成立.第二个问题：因为a=b(mod m), 所以a-b=ki*mi，a-b是任意mi的倍数，所以a-b是mi公倍数，所以[mi]|a-b.(利用式子：最小公倍数=每个数的乘积/最大公约数, 是错误的, 该式子在两个数时才成立)（15）将整数每位数的值相加, 和能被3整除则整数能被3整除,和能被9整除则整数能被9整除, (1)能被3整除, 不能被9整除，(2)都不能，(3)都不能，(4)都不能第二章（1）判断方法：分别验证1.对运算是否封闭, 2.对任意的a, b, c是否满足结合律, 3.对任意a是否存在单位元, 4.对任意a是否存在逆元. 可以得出在(1)-(6)中(2),(3),(6)构成群, (1)不满足结合律, (4)不存在单位元, (5)不满足结合律.（5）证明：显然在群中单位元e满足方程x2=x, 假设存在一个元素a满足方程x2=x, 则有a2=a, 两边同乘以a-1有a=e. 所以在群中只有单位元满足方程x2=x.（6）证明：因为群g中每个元素都满足方程x2=e, 所以对群中任意元素a,b有aa=e, bb=e, (ab)2=abab=e. 对abab=e, 方程两边左乘以a, 右乘以b有aababb=(aa)ba(bb)=ba=aeb=ab, 有ab=ba, 所以g是交换群.（7）证明：充分性：因为在群中对任意元素a,b有(ab)2=a2b2即abab=aabb, 方程两边左乘以a的逆元右乘以b的逆元, 有a-1ababb-1= a-1aabbb-1, 有ab=ba, 所以g是交换群.,b有ab=ba, 方程两边左乘以a右乘以b有abab=aabb, 有(ab)2=a2b2.（9）证明：对群中任意元素a,b有ab(ab)-1=e, 方程两边先左乘以a的逆元有b(ab)-1=a-1, 在左乘以b的逆元有(ab)-1=b-1a-1, 所以结论成立.（12）证明：显然mz是群z的一个非空子集, 验证封闭性, 结合律, 单位元, 逆元, 得出mz是一个群, 所以mz是z的子群.（因为对mz中任意元素am, bm有am-bm=(a-b)m, 因为a-b∈z, 所以(a-b)m∈mz, 所以mz是群z的一个子群）.（13）证明：设群g的两个子群为g1, g2, 则对任意a,b∈g1∩g2有ab-1∈g1, ab-1∈g2, 所以ab-1∈g1∩g2, 所以g1∩g2也是g的子群.（14）证明：设g是一个群, 对任意a,b∈g, 存在一个g到h的映射f,并且f(ab)=f(a)f(b).对任意f(a),f(b)∈h有f(a)f(b)=f(ab)∈h, 所以h满足运算的封闭性. 对任意f(a),f(b),f(c)有(f(a)f(b))f(c)=f(ab)f(c)=f((ab)c), f(a)(f(b)f(c))=f(a)f(bc)=f(a(bc)), 又因为(ab)c=a(bc), 所以(f(a)f(b))f(c)=f(a)(f(b)f(c)), 所以h满足结合律. 对任意f(a)∈h, 有f(ae)=f(a)=f(a)f(e), 所以f(e)是h的单位元, 对任意的f(a)∈h, 有f(aa-1)=f(e)=f(a)f(a-1), 所以f(a)的逆元为f(a-1). 所以h是一个群.（16）证明：设a到a-1的一一映射为f.充分性：对任意g中a,b有f(a)=a-1, f(b)=b-1, f(ab)=(ab)-1又因为f同构, 所以f(ab)=f(a)f(b)=(ab)-1=a-1b-1=(ba)-1, 由(ab)-1=(ba)-1有ba=ab, 所以g是交换群.必要性由上反推可得.第三章（2）第一个问题：设该有限群为g, 对任意阶大于2的元素a∈g, 有an=e, n为使得上式成立的最小正整数且n2. 明显在群中存在一个a-1, 且a≠a-1(若相等则a2=e, 与a的阶大于2矛盾), 有(a-1)n=e, 所以a-1的阶也大于2. 综上对任意阶大于2的元素a, 存在a-1的阶也大于2. 所以结论成立.第二个问题：因为在群g中只有e的阶为1, 在由上个结论有阶大于2的元素个数为偶数, 由已知条件g的阶为偶数可知结论成立.（5）对a生成一个阶为n的循环群g, am生成的循环群的阶为n/(n,m)=n. 又因为am∈g所以am也生成g.（6）设g的阶为n, 由已知可得g为一个群, 有由g与g同态可知f(e)为g的单位元,f(g) ∈g, 且对任意gk∈g, 有f(gk)=(f(g))k, 所以g 中任意元素都可以由f(g)生成表示成(f(g))k, 当k=n时有(f(g))n=f(gn)=f(e), 所以g也是也是一个循环群.（8）13阶：e的阶为1, 其他元素阶为13, 生成元g1到g12.16阶：e的阶为1, g2阶为8, g4阶为4, g6阶为8, g8阶为2,g10的阶为8, g12的阶为4, g14的阶为8, 其余的g到g15的阶为16且是生成元.（9）先分别求出15阶和20阶的正因子为3,5和2,4,5,10所以15阶的生成元为g3, g5, 20阶的生成元为g2, g4, g5, g10.（10）略（11）因为p是素数, 所以阶为p的群为循环群(3.3推论3), 又因为任意同阶的有限循环群同构(3.2定理2), 所以结论成立.（13）由题意可知am=e, bn=e, m,n为使得上式成立的最小正整数, 又因为ab=ba, 所以(ab)mn=amnbmn=e, 又因为(m,n)=1, 假设存在i使得(ab)i=e,有(ab)mi=e,有bmi=e,有mi|n,有i|n,同理i|m,所以i|mn,所以mn是使得(ab)i=e成立的最小整数，结论成立。

信息安全数学基础----习题集一一、填空题1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数[a,b,c]= .2、求欧拉函数= .3、设，则模的最小非负简化剩余系 { }.4、设，则模的所有平方剩余= .5、设，则模的所有原根个数= .6. 设m，n是互素的两个正整数，则φ(mn)=________________。

7. 设m是正整数，a是满足的整数，则一次同余式：ax≡b (mod m)有解的充分必要条件是_________________ 。

8. 设 m 是一个正整数，a是满足____________的整数，则存在整数a’，1≤a’＜m ，使得aa’≡1 (mod m)。

9. 设, 如果同余方程__________, 则叫做模的平方剩余.10. 设, 则使得成立的最小正整数叫做对模的__________.二、判断题（在题目后面的括号中，对的画“”，错的画“”）1、若是任意正整数, 则. （）2、设是个不全为零的整数，则与, ||, ||,…, ||的公因数相同（）3、设是正整数, 若, 则或. （）4、设为正整数, 为整数, , 且, 则. （）5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系. （）6、设是素数, 模的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等. （）7、设为奇素数, 模的平方剩余和平方非剩余的数量各为8. （）8、一次同余方程有解. （）9、设是素数, 是模的原根, 若, 则是的整数倍.（）10、设, 则, …, 构成模的简化剩余系. （）11. , 则. （）12. 设是两个互素正整数, 那么, 则. （）13. 设m是一个正整数, a,b,d都不为0，若ad≡bd(modm)。

则a≡b(mod m)。

（）14. 设为正整数, a是满足的整数，b为整数. 若为模的一个简化剩余系, 则也为模的一个简化剩余系. （）15. p为素数,n为整数且与p互素，则n2为模p的平方剩余. （）16. 设为正整数, 设, 则是模的平方剩余的充要条件是: . （）17. 3是模7的原根。

7．集体访谈也叫_会议访谈（法___．实际上是个别访谈的一种扩一、填空题展形式。

社会调查研究分析和研究社会对人口的影响，主要是看社会的11.8 多组___实验设计，一般是各设置两个实验组和对照组，通过诸多方面对--人口的构成和人口过程--的影响。

对各组检测结果的交叉比较，得出实验结论。

、--- 社会调查研究准备阶段包括三方面工作：即---确定课题12.9．定量分析是最复杂的资料分析。

它按照性质可以分为两大类，设计调查方案与具体准备。

一类是一_描述性分析_；另一类是推论性分析。

的效度，第__13.测量的效度包括两方面内容：第一，_测量方法10．修改调查报告须经过检查和修改两个阶段。

常用检查法有 -- 二，测量结果的效度。

诵读法- 、冷却法和请教法。

--去估计参数值时所出现的误差。

抽样误差是用---统计值14.1．我国在革命和建设的过程中，长期使用着一种通过个别说明一两种分定性和定量__文献分析的正确途径和发展方向应当是15.__般的调查方式，并赋予它特殊称谓，即 -典型调查。

析方法的结合。

2．社会调查研究课题的产生必须根据理论和实际的需要以及 --非结构16.访谈法按照操作方式和内容可以分为结构式访谈和 --可行性----而定。

两种。

式访谈-3．只反映质的区别，而不反映量的差异的变量是_离散变量___。

和直-- ．在条件许可的情况下，应该尽可能采取一17-电话问卷4．可信且---有效----- 的测量是优秀的测量，是社会调查研究接送发问卷的方式进行调查，以保证问卷的回复率。

所追求的境界。

观察，适用于定性类型的调查18非结构式-．实地观察多数是一--5．在条件许可的情况下，应可能采取电话问卷、--直接送发--- 研究。

问卷的方式进行调查。

．实验调查能否成功，在很大程度上取决于能否有效地控制实196．-定的提问方法与一定的 ---行为方式---- 是控制访谈的两个 ---二是对验过程。

它包括两个方面：一是对引入自变量的控制，重要因素。

《信息安全数学基础》参考试卷一．选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分)：（每题2分，共20分）1．576的欧拉函数值(576) ＝()。

(1) 96，(2) 192，(3) 64，(4) 288。

2．整数kn和k(n+2)的最大公因数(kn , k(n+2))=()。

(1) 1或2，(2) kn ，(3) n 或kn ，(4) k 或2 k。

3．模10的一个简化剩余系是( )。

(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，(2) 11, 17, 19 , 27(3) 11, 13, 17, 19，(4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。

4．29模23的逆元是( )。

(1) 2，(2) 4，(3) 6，(4) 11。

5．设m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若( )遍历m1m2的完全剩余系。

(1) (m1，m2)=1，则m1x1＋m2x2(2) m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2(3) (m1，m2)=1，则m2x1＋m1x2(4) m1和m2是素数，则m2x1＋m1x2 6．下面的集合和运算构成群的是( ) 。

(1) <N，＋> （N是自然数集，“＋”是加法运算）(2) <R，×> （R是实数集，“×”是乘法运算）(3) <Z，＋> （Z是整数集，“＋”是加法运算）(4) <P（A），∩> （P(A)＝{U | U是A的子集}是集合A的幂集，“∩”是集合的交运算）7．下列各组数对任意整数n均互素的是( ) 。

(1) 3n+2与2n，(2) n－1与n2＋n＋1，(3) 6n+2与7n，(4) 2n+1与4n+1。

8．一次同余式234x ≡30（mod 198）的解数是( )。

(1) 0，(2) 6，(3) 9，(4) 18。

《信息安全数学基础》参考试卷一．选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分)：（每题2分，共20分）1．576的欧拉函数值ϕ(576) ＝()。

(1) 96，(2) 192，(3) 64，(4) 288。

2．整数kn和k(n+2)的最大公因数(kn , k(n+2))=()。

(1) 1或2，(2) | kn|，(3) | n|或| kn|，(4) | k|或2| k|。

3．模10的一个简化剩余系是( )。

(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，(2) 11, 17, 19 , 27(3) 11, 13, 17, 19，(4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。

4．29模23的逆元是( )。

(1) 2，(2) 4，(3) 6，(4) 11。

5．设m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若( )遍历m1m2的完全剩余系。

(1) (m1，m2)=1，则m1x1＋m2x2(2) m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2(3) (m1，m2)=1，则m2x1＋m1x2(4)m1和m2是素数，则m2x1＋m1x26．下面的集合和运算构成群的是( ) 。

(1) <N，＋> （N是自然数集，“＋”是加法运算）(2) <R，×> （R是实数集，“×”是乘法运算）(3) <Z，＋> （Z是整数集，“＋”是加法运算）(4) <P（A），∩> （P(A)＝{U | U是A的子集}是集合A的幂集，“∩”是集合的交运算）7．下列各组数对任意整数n均互素的是( ) 。

(1) 3n+2与2n，(2) n－1与n2＋n＋1，(3) 6n+2与7n，(4) 2n+1与4n+1。

8．一次同余式234x ≡ 30（mod 198）的解数是( )。

信息安全数学基础试题1. 题目：对称加密与非对称加密的区别是什么？请举例说明。

对称加密和非对称加密是信息安全中常用的两种加密方式，它们的区别主要体现在密钥的管理和使用方式上。

（1）对称加密：对称加密也被称为共享密钥加密。

它使用相同的密钥进行加密和解密操作。

加密和解密过程都使用相同的密钥，因此速度较快，但密钥的管理相对困难。

举例：最常见的对称加密算法是DES（数据加密标准）。

例如，Alice想要将一份秘密文件发送给Bob，她需要事先与Bob共享DES密钥。

当Alice加密文件时，她使用这个密钥对文件进行加密，然后将加密后的文件发送给Bob。

Bob接收到文件后，使用相同的密钥进行解密操作，以获取原始文件。

（2）非对称加密：非对称加密也被称为公钥加密。

它使用一对密钥，其中一个是公钥，另一个是私钥。

公钥用于加密操作，私钥用于解密操作。

非对称加密相对安全，但速度较慢。

举例：非对称加密算法中最常见的是RSA算法。

假设Alice想要将一份秘密文件发送给Bob，Bob首先生成一对密钥（公钥和私钥）。

Bob将公钥发送给Alice，而私钥则保留在自己手中。

Alice使用Bob的公钥对文件进行加密后，将加密后的文件发送给Bob。

Bob收到文件后，使用自己的私钥进行解密操作，以获取原始文件。

2. 题目：什么是哈希函数？请简要介绍哈希函数的概念和应用。

哈希函数是一种将输入转换为固定长度输出的函数。

它将任意长度的输入数据映射到固定长度的哈希值，并具有以下特点：（1）唯一性：不同的输入数据会产生不同的哈希值。

（2）定长输出：无论输入数据的长度是多少，哈希函数始终输出固定长度的哈希值。

（3）不可逆性：从哈希值无法还原得到原始的输入数据。

（4）散列性：输入数据发生轻微改变，哈希值会发生巨大变化。

应用领域：（1）数据完整性验证：哈希函数可以用于验证数据的完整性，通过比对哈希值判断数据是否被篡改。

（2）数字签名：哈希函数与非对称加密算法结合使用，利用私钥对数据的哈希值进行签名，保证签名的真实性和完整性。