上海市复旦附中2021届高三下学期期末数学试题

上海市复旦附中2020届高三下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．若集合{}
12A x Z x =∈-<<，{
}
2
20B x x x =-=，则A B =______.
2．不等式
102
x
x -≥+的解集是______. 3．已知指数函数的图象过点()2,4，则其反函数为______.
4．若直线()1:110l a x ay ++-=与()2:320l ax a y +-=互相垂直，则实数a 的值为______.
5．在行列式21
4
6
5
32020
x --中，第三行第二列的元素3的代数余子式的值为4，则实数
x 的值为______.
6．5
212x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中，含4x 项的系数为______. 7．抛物线24y x =的准线方程为______.
8．若x 、y 满足约束条件0
262x y x y x y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，则3z x y =+的最大值是________.
9．设函数()sin 3f x x πω⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，其中0>ω.若函数()f x 在0,2π上恰有2个零点，则ω的取值范围是________．
10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x -=+，当()0,1x ∈时，
()ax f x e =（其中e 是自然对数的底数），若()2020ln 28f -=-，则实数a 的值为
______.
11．如果方程24
x +y |y |＝1所对应的曲线与函数y ＝f （x ）的图象完全重合，那么对于函
数y ＝f （x ）有如下结论： ①函数f （x ）在R 上单调递减；
②y ＝f （x ）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1；
③函数f （x ）的值域为（﹣∞，2]； ④函数F （x ）＝f （x ）+x 有且只有一个零点. 其中正确结论的序号是_____.
12．已知等差数列{}n a 的首项11a =-，若数列{}n a 恰有6项落在区间1
,82⎛⎫ ⎪⎝⎭
内，则公差d 的取值范围是________．
二、单选题
13．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：m ），则该几何体的体积是( )
A ．3
13
m
B ．
323
m C ．
343
m D ．3
83
m
14．已知A ，B 是函数2x y =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线1
2
y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．(,2)-∞- C ．(,3)-∞-
D ．(,4)-∞-
15．用
1
n
k
k x
=∑表示n 个实数12,,...,n x x x 的和，设1
1
n
k n k a q
-==
∑，1
n
k n n
k
k A C a
==
∑，其中
()()3,00,1q ∈-⋃，则lim
2n
n
n A →∞的值为（ ）
A ．
1q
B ．
11q
- C ．q
D ．1q -
16．已知平面向量()1,2,...,6k a k =满足：()1,2,...,6k a k k ==，且
126...0a a a +
+
+=，则()()
1256a a a a +⋅+的最大值是（ ）
A ．9
B ．10
C ．12
D ．14
三、解答题
17．在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c B a b =-， （Ⅰ）求C ∠的大小； （Ⅱ）若1
22
CA CB -
=，求ABC ∆面积的最大值． 18．已知函数()2a
f x x x
=+
（0x ≠，常数a R ∈）. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数()f x 在[)1,x ∈+∞上是单调函数，求a 的取值范围.
19．如图，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，1AB AD ==，
2AE BC ==.
（1）直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （2）若二面角E BD F --的余弦值为
1
3
，求线段CF 的长. 20．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的短轴长为2，左、右焦点分别为1F 、2F ，
且当点P 在C 上移动时，12F PF ∠的最大值为90.直线:l y kx m =+与椭圆交于不同的两点A 、B ，与圆2
2
2
3
x y +=相切于点M . （1）求椭圆C 的方程；
（2）证明：OA OB ⊥（其中O 为坐标原点）； （3）设AM λ=
BM
，求实数λ的取值范围.
21．设N 为正整数，区间[],1k k k I a a =+（其中k a R ∈，1,2,...,k N =）同时满足下列两个条件：①对任意[]0,100x ∈，存在k 使得k x I ∈；②对任意{}1,2,...,k N ∈，存在[]0,100x ∈，使得i i k
x I ≠∉
，其中
i i k
I ≠表示除k
I 外的1N -个集合的并集.
（1）若100N =，判断以下两个数列是否满足条件：①()11,2,...,100k a k k =-=；②()11,2,...,1002
k k
a k =
-=？（结论不需要证明） （2）求N 的最小值；
（3）判断N 是否存在最大值，若存在，求N 的最大值；若不存在，说明理由.
参考答案
1．{}0,1,2 【分析】
求出集合A 、B ，利用并集的定义可求得集合A B .
【详解】
{}{}120,1A x Z x =∈-<<=，{}
{}2200,2B x x x =-==，因此，{}0,1,2A B =.
故答案为：{}0,1,2. 【点睛】
本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．(]2,1- 【分析】
将所求不等式变形为1
02
x x -≤+，转化为整式不等式求解即可. 【详解】
将原不等式变形为
1
02x x -≤+，等价于()()12020x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩
，解得21x -<≤.
因此，不等式
102
x
x -≥+的解集是(]2,1-. 故答案为：(]2,1-. 【点睛】
本题考查分式不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 3．2log y x = 【分析】
先根据待定系数法求指数函数的解析式，再根据指数函数与对数函数互为反函数即可求解. 【详解】
解：设指数函数为x
y a
=(0a >且)1a ≠，又因为指数函数的图象过点()2,4，
所以24a =，解得2a =，所以指数函数的解析式为2x
y =，根据指数函数与对数函数互为反函数，
所以2x
y =的反函数为2log y x =.
【点睛】
本题考查待定系数法求函数解析式和指数函数与对数函数互为反函数，是基础题. 4．0或4 【分析】
利用12120A A B B +=求解. 【详解】
因为直线()1:110l a x ay ++-=与()2:320l ax a y +-=垂直，则
()()1320a a a a ++-=，解得：0a =或4a =.
故答案为：0或4. 【点睛】
本题考查直线的垂直问题，比较简单. 一般地，两直线平行时有12210A B A B -=；两直线垂直时12120A A B B +=. 5．2 【分析】
根据题意得出第三行第二列的元素3的代数余子式，可得出关于x 的等式，即可解得实数x 的值. 【详解】
在行列式21
4
6
5
32020
x --中，第三行第二列的元素3的代数余子式的值为4，
则2124446
x x --
=-=-，解得2x =.
故答案为：2. 【点睛】
本题考查利用行列式中代数余子式求参数，考查计算能力，属于基础题.
6．80 【分析】
求出二项展开式的通项，利用x 的指数为4，求出参数的值，再将参数的值代入通项可得出结果. 【详解】
5212x x ⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭的展开式通项为()525103155122k
k k k k k k T C x C x x ---+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令1034k -=，得2k =，因此，5
212x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中，含4x 项的系数为352280C ⋅=.
故答案为：80. 【点睛】
本题考查利用二项式定理求展开式中指定项的系数，考查计算能力，属于基础题. 7．1
16
y =- 【解析】
试题分析：抛物线的标准方程是，所以准线方程是
考点：抛物线方程 8．8 【分析】
作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC ∆及其内部，再将目标函数3z x y =+对应的直线进行平移，观察直线在y 轴上的截距变化，然后将最优解代入目标函数可得到结果． 【详解】
作出不等式组0262x y x y x y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
表示的可行域，如下图：
联立026x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩
，可得点()2,2A ，
将直线:3l z x y =+进行平移，观察直线l 在y 轴上的截距变化，
可知当直线l 经过点A 时，直线l 在y 轴上的截距最大，此时目标函数3z x y =+达到最大值，即max 2328z =+⨯=. 故答案为：8. 【点睛】
本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．
9．54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭
【分析】 当0f x
时,()3k x k Z ππωω=-
+∈,当0x >时,123x πω=,253x πω=,383x πω
=,则523823π
πω
ππω
⎧≤⎪⎪⎨
⎪>⎪⎩,进而求解即可 【详解】
由题,()sin 3f x x πω⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
取零点时,3
x k π
ωπ+
=()k Z ∈ ,即()3k x k Z ππωω
=-
+∈,
则
当0x >时,123x πω=,253x πω=,383x πω=,所以满足523823π
πωππ
ω
⎧≤⎪⎪⎨⎪>⎪⎩,解得54,63ω⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭ 故答案为：54,63⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【点睛】
本题考查已知零点求参数问题,考查运算能力 10．3 【分析】
先推导出函数()y f x =的周期为4，可得出()()()2020ln 2ln 2ln 28f f f -=-=-=-，代值计算，即可求出实数a 的值. 【详解】
由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x -=-， 又()()11f x f x -=+，
所以，()()()()()21+1+11f x f x f x f x f x +==-+=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 则()()()()()42+2+2f x f x f x f x f x +==-+=--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以，函数()y f x =是周期为4的周期函数，
所以()()()()
ln 2ln 22020ln 2ln 2ln 228a
a a f f f e e -=-=-=-=-=-=-，解得3a =.
故答案为：3. 【点睛】
本题考查利用函数的对称性计算函数值，解题的关键就是结合函数的奇偶性与对称轴推导出函数的周期，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 11．②④ 【分析】
根据题意，画出方程对应的函数图象，根据图像判断函数单调性、值域、最值以及函数零点个数的判断，数形结合即可选择. 【详解】
当y≥0时，方程
2
4
x
+y|y|＝1化为
2
21
4
x
y
+=（y≥0），
当y＜0时，方程
2
4
x
+y|y|＝1化为
2
21
4
x
y
-=（y＜0）.
作出函数f（x）的图象如图：
由图可知，函数f（x）在R上不是单调函数，故①错误；
y＝f（x）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1，故②正确；函数f（x）的值域为（﹣∞，1]，故③错误；
双曲线
2
21
4
x
y
-=的渐近线方程为y
1
2
=±，
故函数y＝f（x）与y＝﹣x的图象只有1个交点，
即函数F（x）＝f（x）+x有且只有一个零点，故④正确.
故答案为：②④.
【点睛】
本题考查函数单调性、值域以及零点个数的判断，涉及椭圆和双曲线的轨迹绘制，以及数形结合的数学思想，属综合中档题.
12．
99
, 87⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【分析】
设落在
1
,8
2
⎛⎫
⎪
⎝⎭
内的最小项为1
n
a
+
，根据题意可得
1
1
2
n
a
+
>，
1
2
n
a≤，
6
8
n
a
+
<，
7
8
n
a
+
≥同
时成立，化简可得n与d的四个不等式，结合线性规划知识，画出可行域，结合题意，即可
求解. 【详解】
设落在1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭
内的最小项为1n a +，
则有112n a +>
，1
2n a ≤，68n a +<，78n a +≥同时成立， 即有32nd >，3
(1)2
n d -≤，(5)9n d +<，(6)9n d +≥同时成立，
所以d >0，所以有n >32d ，n -132d ≤，n +5<9d ，n +69
d
≤，
令3
2d =y ，n =x ，则有16566
x y x y x y x -≤<⎧⎪>+⎨⎪≤+⎩
*()x N ∈，画出可行域如图：
可行域是一个平行四边形内部及部分边界线，A （1，1），C （127,55），所以1<x 12
5
≤，而*x ∈N ，因此x 只能取2，此时7643y <≤，所以734
623
d <≤， 所以
99
87
d ≤<， 故答案为：99,87⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
． 【点睛】
本题考查了由等差数列的特定项满足的条件建立n 与d 的不等式问题，综合考查了涉及整点的线性规划中的可行域问题，考查分析理解，求值化简的能力，属难题． 13．C 【详解】
试题分析：试题分析：此几何体为三棱锥,此三棱锥的体积为114222323V ⎛⎫
=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭
.故C 正确. 考点：三视图. 14．B 【解析】
因为点A ，B 到直线1
2
y =
的距离相等，所以可设()10,A x y ，则()20,1,,B x y A B -在2x y =上，∴可得()120220log ,log 1x y x y ==-，()
122020log log 1x x y y +=+-()()
2
002002
1log 1log 24
y y y y +-=-≤=-，
001y y ≠-，122x x ∴+<-，即,A B 的横
坐标之和的取值范围是(),2-∞-，故选B.
【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、对数的运算以及利用基本不等式求范围，属于难题.求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值；三相等是，最后一定要验证等号能否成立. 15．B 【分析】
先根据等比数列前n 项和公式求n a ，再利用二项式定理求解1
n
k
n n
k
k A C a
==∑，之后根据q 的
范围求极限即可. 【详解】
解：∵ ()()3,00,1q ∈-⋃，∴ 1
21
1
111n n
k n n k q a q
q q q
q
--=-=
=+++⋅⋅⋅+=-∑， ∴ 2121
111=111n n
k
n
n n
k n n n k q q q A C a C C C q q q =---=++⋅⋅⋅+---∑ ()()121221=
1n n n n n n n n n C C C C q C q C q q ⎡⎤++-++⋅⋅⎣⎦-⋅+⋅⋅⋅+ ()1=211n n q q ⎡⎤-+⎣
⎦-，
∴ 1111=22n n n
q q A ⎡⎤+⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
又 ∵ ()()3,00,1q ∈-⋃，∴ 1012
q
+≤
< ∴ lim
11=2n n n A q
→∞-.
故选：B. 【点睛】
本题考查等比数列前n 项和公式、二项式系数和、二项式定理和极限，考查数学运算能力. 16．C 【分析】
设311232363415,,3,7,1,1b a a b a a b a a b b b →→→→→→→→→→→→
=+=+=+≤≤≤，且1320b b b →→→→
++=，构造图
形如图所示，根据数量积的运算化简可得结果. 【详解】
设311232363415,,3,7,1,1b a a b a a b a a b b b →
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
=+=+=+≤≤≤，且1320b b b →
→
→
→
++=，如图所示：
则1313
121111256712b b b b b b b a a a b a b →→→
→→→→→→→→→
→
⎛⎫⎛
⎫
'=⋅≤⋅⎛⎫⎛⎫+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭≤-≤-≤ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
⎝⎭，且等号可以取到. 故选：C.
【点睛】
本题考查几何法解决向量的运算，考查数量积的运算，考查数形结合的能力，属于难题. 17．（1）3
C π
=（2
）【详解】
分析：(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式，结合特殊角的三角函数值，求得角C ； (2)运用向量的平方就是向量模的平方，以及向量数量积的定义，结合基本不等式，求得ab 的最大值，再由三角形的面积公式计算即可得到所求的值. 详解：（1）∵2cos 2c B a b =-，
()2sin cos 2sin sin 2sin cos 2sin sin C B A B C B B C B ∴=-∴=+-，，
12sin cos sin cos 23
B C B C C ，，π∴=∴=∴=
（Ⅱ）取BC 中点D ，则1
22
CA CB DA -
==，在ADC ∆中，2222cos AD AC CD AC CD C =+-⋅，
（注：也可将122CA CB DA -==两边平方）即2
2422a ab b ⎛⎫=+-
⎪⎝⎭
，
22
ab ab
≥=
，所以8ab ≤，当且仅当4,2a b ==时取等号．
此时1sin 24
ABC S ab C ∆
=
=，其最大值为点睛：该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，和角公式，向量的平方即为向量模的平方，基本不等式，三角形的面积公式，在解题的过程中，需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果. 18．（1）答案见解析；（2）1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
.
【分析】
（1）分0a =和0a ≠两种情况讨论，结合函数奇偶性的定义可判断出函数()y f x =的奇偶性；
（2）任取121x x >≥，利用作差法得出()()()()22121212122212
x x x x a x x f x f x x x ⎡⎤--+⎣⎦
-=
，
然后对函数()y f x =在区间[
)1,+∞上单调递增或单调递减进行分类讨论，结合参变量分离法可求得实数a 的取值范围. 【详解】
（1）当0a =时，()f x x =，该函数的定义域为{}
0x x ≠，()()f x x f x -=-=-， 此时，函数()y f x =为奇函数； 当0a ≠时，()2a
f x x x =+
，该函数的定义域为{}0x x ≠，()2
a f x x x
-=-+， 则()()f x f x -≠，()()f x f x -≠-，此时，函数()y f x =为非奇非偶函数. 综上所述，当0a =时，函数()y f x =为奇函数； 当0a ≠时，函数()y f x =为非奇非偶函数；
（2）任取121x x >≥，则()()()()2
2211212122222
1212a x x a a f x f x x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫
-=+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()221212121212122222
1212
x x x x a x x a x x x x x x x x x x ⎡⎤--+-+⎣⎦=--=，
121x x >≥，则120x x ->.
①若函数()y f x =在[
)1,+∞上单调递增，则()()120f x f x ->，
则()22
12120x x a x x -+>，得22
1212
2
21212
111x x a x x x x x x <=++， 由已知条件得()2
21212110,2x x x x +∈，所以，2
21212
11
112x x x x >+，则12a ≤； ②若函数()y f x =在[
)1,+∞上单调递减，则()()120f x f x -<，
则()22
12120x x a x x -+<，得221212
2
21212
111x x a x x x x x x >=++，
由已知条件得()2
21212110,2x x x x +∈，所以，2
21212
11
112x x x x >+，此时a 不存在. 综上所述，实数a 的取值范围是1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
. 【点睛】
本题考查函数奇偶性的判断，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 19．（1）49；（2）8
7
. 【分析】
以A 为原点建立空间直角坐标系；（1）表示出,,,C E B D 的坐标，首先求解出平面BDE 的法向量()12,2,1n =，根据直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值等于
11
CE n CE n ⋅⋅可求得结果；
（2）设()0CF t t =>得到()2,1,F t ，可求解出平面BDF 的法向量()2,,2n t t =-，从而得到12cos ,32n n
<>=
；根据二面角余弦值与法向量夹角余弦值的关系可建立方程
1
3
=，解方程求得结果.
【详解】
以A 为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：
（1）由题意得：()2,1,0C ，()0,0,2E ，()0,1,0B ，()1,0,0D
()2,1,2CE ∴=--，()1,1,0BD =-，()0,1,2BE =-
设平面BDE 的法向量()1111,,n x y z =
111111020
BD n x y BE n y z ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩，令11z =，则12y =，12x = ()12,2,1n ∴= 设直线CE 与平面BDE 所成角为θ
11
4224
sin 33
9
CE n CE n θ⋅--+∴=
=
=
⨯⋅ 即直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为：
49
（2）设()0CF t t =>，则()2,1,F t ()2,0,BF t ∴= 设平面BDF 的法向量()2222,,n x y z =
222222020
BD n x y BF n x tz ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，令22z =-，则2x t =，2y t = ()2,,2n t t ∴
=- 由（1）知，平面BDE 的法向量()12,2,1n =
1212212cos ,3n n
n n n n t ⋅∴<>=
==⋅
又二面角E BD F --的余弦值为13 13
=，解得：87t =
∴线段CF 的长为：
87
【点睛】
本题考查空间向量法求解直线与平面所成角、利用平面与平面所成角求解其他量的问题；关键是能够熟练掌握直线与平面所成角、平面与平面所成角的向量求法，对于学生的计算能力有一定要求，属于常考题型.
20．（1）2212x y +=；（2）证明见解析；（3）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
.
【分析】
（1）由题意求得b 、c 的值，可求得a 的值，进而可求得椭圆C 的方程； （2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，由直线与圆相切得出()
2
2
213
m k =
+，联立直线l 与椭圆的方程，列出韦达定理，计算出0OA OB ⋅=可证得结论成立；
（3）
利用勾股定理得出λ=
，再由0OA OB ⋅=可推导出22
12214232x x x -=+，进而得
出2132
4
x λ+=，结合1x 的取值范围可求得实数λ的取值范围.
【详解】 （1）
22b =，可得1b =，
当点P 位于椭圆C 的短轴端点时，12F PF ∠取最大值90，此时12F PF △是等腰直角三角形， 所以，1c b ==
，a =
C 的方程为22
12
x y +=；
（2）由于直线l 与圆2
2
23x y +=
3=，可得()2
2213m k =+，
设点()11,A x y 、()22,B x y ，
联立22
12y kx m
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()()222214210k x kmx m +++-=， 由韦达定理得122421km x x k +=-+，()
212221
21
m x x k -=+，
()()()()221212*********OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++()()()2222
222
2
2
2114321021
21
k m k m m k m k k +---+=
+=
=++，
因此，OA OB ⊥；
（3）
221112
x y +=，22
2212x y +=
，
AM BM λ===，
由（2）知，12120x x y y +=，则22
22
221212
1
2
1122x x x x y y ⎛⎫⎛⎫==-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，可得22
122
14232x x x -=+，
2132
4x λ+∴=
==，
12x -≤≤21321,242x λ+⎡⎤
∴=∈⎢⎥⎣⎦
. 因此，实数λ的取值范围是1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了直线垂直的证明，以及椭圆中参数取值范围的求解，考查韦达定理设而不求法的应用，考查计算能力，属于中等题. 21．（1）()11,2,...,100k a k k =-=，但()11,2,...,1002
k k
a k ≠
-=；（2
）100；（3）N 的
最大值存在，且为200. 【分析】
（1）()11,2,...,100k a k k =-=，但()11,2,...,1002
k k
a k ≠
-=； （2）记b a -为区间[],a b 的长度，可求区间[0,100]的长度为100，k I 的长度为1．由①，得100N ≥，结合12100[0,1],[1,2],,[99,100]I I I ==⋯=显然满足条件①，②．可求N 的最小值；
（3）首先，由题意利用反证法证明200N ≤．进而给出200N =存在的例子，可知N 的最大值存在，且为200．. 【详解】
（1）()11,2,...,100k a k k =-=，但()11,2,...,1002
k k
a k ≠
-=； （2）记b a -为区间[],a b 的长度，可求区间[0,100]的长度为100，k I 的长度为1．由①，得100N ≥，
又因为12100[0,1],[1,2],,[99,100]I I I ==⋯=显然满足条件①，②. 所以N 的最小值为100.
（3）N 的最大值存在，且为200. 解答如下：
(1)首先，证明200N ≤.
由②,得12,,,N I I I ⋯互不相同,且对于任意,[0,100]k k I ⋂≠∅. 不妨设12n a a a <<⋯<<⋯,
如果20a ≤,那么对于条件②,当1k =时,不存在x∈[0,100],使得(2,3,,)i x I i N ∉=⋯. 这与题意不符,故20a >，
如果111k k a a +-≤+,那么11k k k I I I -+⊆⋃，
这与条件②中“存在x ∈[0,100],使得(1,2,,1,1,)i x I i k k N ∉=⋯-+⋯”矛盾， 故111k k a a +->+.
所以426420019811,12,,199a a a a a a >+>>+>⋯>+>,
则2001100a +>.
故12200[0,100]I I I ⋃⋃⋯⋃⊇.
若存在201I ,这与条件②中“存在x ∈[0,100],使得(1,2,,200)i x I i ∉=⋯”矛盾， 所以200N ≤，
(2)给出200N =存在的例子. 令1100(1)2199k a k =-+-,其中1,2,,200k =⋯,即12200,,,a a a ⋯为等差数列,公差100199d =. 由1d <,知1k k I I +≠∅,则易得122001201,22I I I ⎡⎤⋃⋃⋯⋃=-⎢⎥⎣⎦， 所以12200,,,I I I ⋯满足条件①. 又公差10011992d =
>， 所以100100(1),(1)199199
k k I k -∈-.(注：100(1)199k -为区间k I 的中点对应的数)， 所以12200,,,l I I ⋯满足条件②.
综合(1)(2)可知N 的最大值存在，且为200.
【点睛】
本题考查集合的综合问题，考查分析问题的能力和推理能力，属于难题.。