上海市复旦附中2020届高三下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．若集合{}
12A x Z x =∈-<<，{
}
2
20B x x x =-=，则A B =______.
2．不等式
102
x
x -≥+的解集是______. 3．已知指数函数的图象过点()2,4，则其反函数为______.
4．若直线()1:110l a x ay ++-=与()2:320l ax a y +-=互相垂直，则实数a 的值为______.
5．在行列式21
4
6
5
32020
x --中，第三行第二列的元素3的代数余子式的值为4，则实数
x 的值为______.
6．5
212x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中，含4x 项的系数为______. 7．抛物线24y x =的准线方程为______.
8．若x 、y 满足约束条件0
262x y x y x y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
，则3z x y =+的最大值是________.
9．设函数()sin 3f x x πω⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，其中0>ω.若函数()f x 在0,2π上恰有2个零点，则ω的取值范围是________．
10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x -=+，当()0,1x ∈时，
()ax f x e =（其中e 是自然对数的底数），若()2020ln 28f -=-，则实数a 的值为
______.
11．如果方程24
x +y |y |＝1所对应的曲线与函数y ＝f （x ）的图象完全重合，那么对于函
数y ＝f （x ）有如下结论： ①函数f （x ）在R 上单调递减；
②y ＝f （x ）的图象上的点到坐标原点距离的最小值为1；
③函数f （x ）的值域为（﹣∞，2]； ④函数F （x ）＝f （x ）+x 有且只有一个零点. 其中正确结论的序号是_____.
12．已知等差数列{}n a 的首项11a =-，若数列{}n a 恰有6项落在区间1
,82⎛⎫ ⎪⎝⎭
内，则公差d 的取值范围是________．
二、单选题
13．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：m ），则该几何体的体积是( )
A ．3
13
m
B ．
323
m C ．
343
m D ．3
83
m
14．已知A ，B 是函数2x y =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线1
2
y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞- B ．(,2)-∞- C ．(,3)-∞-
D ．(,4)-∞-
15．用
1
n
k
k x
=∑表示n 个实数12,,...,n x x x 的和，设1
1
n
k n k a q
-==
∑，1
n
k n n
k
k A C a
==
∑，其中
()()3,00,1q ∈-⋃，则lim
2n
n
n A →∞的值为（ ）
A ．
1q
B ．
11q
- C ．q
D ．1q -
16．已知平面向量()1,2,...,6k a k =满足：()1,2,...,6k a k k ==，且
126...0a a a +
+
+=，则()()
1256a a a a +⋅+的最大值是（ ）
A ．9
B ．10
C ．12
D ．14
三、解答题
17．在∆ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos 2c B a b =-， （Ⅰ）求C ∠的大小； （Ⅱ）若1
22
CA CB -
=，求ABC ∆面积的最大值． 18．已知函数()2a
f x x x
=+
（0x ≠，常数a R ∈）. （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数()f x 在[)1,x ∈+∞上是单调函数，求a 的取值范围.
19．如图，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，1AB AD ==，
2AE BC ==.
（1）直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （2）若二面角E BD F --的余弦值为
1
3
，求线段CF 的长. 20．已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的短轴长为2，左、右焦点分别为1F 、2F ，
且当点P 在C 上移动时，12F PF ∠的最大值为90.直线:l y kx m =+与椭圆交于不同的两点A 、B ，与圆2
2
2
3
x y +=相切于点M . （1）求椭圆C 的方程；
（2）证明：OA OB ⊥（其中O 为坐标原点）； （3）设AM λ=
BM
，求实数λ的取值范围.
