第一章三角函数1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二) 学习目的：
要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性；
掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。 学习重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性；
学习难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用
课堂探究：
1.奇偶性
请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？
(1)余弦函数的图形
当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。
例如：
f (-3π)=21,f (3π)=21 ,即f (-3π)=f (3
π)；…… 由于cos(－x)=cosx ∴f (-x)= f (x).
以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数。
定义：一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x ，都有f (-x)= f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数。
例如：函数f (x)=x 2+1, f (x)=x 4-2等都是偶函数。
(2)正弦函数的图形
观察函数y=sinx 的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？ 这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。
也就是说，如果点（x,y ）是函数y=sinx 的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y ）也在函数y=sinx 的图象上，这时，我们说函数y=sinx 是奇函数。
定义：一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x ，都有 f(－x)=－f(x) ，那么函数f (x)就叫做奇函数。
例如：函数y=x, y=x
1 都是奇函数。 如果函数f (x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f (x)具有奇偶性。 注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数：
（1）其定义域关于原点对称；
（2）f (-x)= f (x)或f (-x)=- f (x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。
首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f (-x)，看是等于f (x)还是等于- f (x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。
2.单调性
从y ＝sin x ，x ∈［－
23,2ππ］的图象上可看出： 当x ∈［－2π，2
π］时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－1增大到1. 当x ∈［2
π，23π］时，曲线逐渐下降，sin x 的值由1减小到－1. 结合上述周期性可知： 正弦函数在每一个闭区间［－
2π＋2k π，2
π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.
余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1.
3.有关对称轴
观察正、余弦函数的图形，可知
y=sinx 的对称轴为x=2π
π+k k ∈Z
y=cosx 的对称轴为x=πk k ∈Z
（1）写出函数x y 2sin 3=的对称轴；
（2）)4sin(π
+=x y 的一条对称轴是（ C ）
(A) x 轴， (B) y 轴， (C) 直线4π=
x ， (D) 直线4π-=x 4.例题讲解
例1 判断下列函数的奇偶性 (1)1sin cos ();1sin cos x x f x x x
+-=++ (2)f(x)=sin 4x-cos 4x+cos2x;
(3)()lg(sin f x x =
（4）2
|2|)1lg()(2---=x x x f （5）⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+=)0(
)0( )(22x x x x x x x f ； 例2 (1)函数f (x )＝sin x 图象的对称轴是 ；对称中心是 .
(2)
函数()cos f x x x =+图象的对称轴是 ；对称中心是 .
例3 已知f(x)=ax+bsin 3x+1(a 、b 为常数)，且f(5)=7,求f(-5).
例4 已知12
1sin ()log .1sin x f x x -=+已知 (1) 求f(x)的定义域和值域；
(2) 判断它的奇偶性、周期性；
(3) 判断f(x)的单调性.
例5 (1)θ是三角形的一个内角，且关于x 的函数f(x)=sain(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数，
求θ的值.
(2)若函数f(x)=sin2x+bcos2x 的图象关于直线8x π=-
对称，求b 的值. 例6 已知24()log (sin
sin )(0,1)22a x x f x a a =->≠，试确定函数的奇偶性、单调性. 1.有关奇偶性
（1）|sin |||sin )(x x x f +=
（2）x
x x x x cos sin 1cos sin 1)(++-+= 2.有关单调性
（1）利用公式2sin 2cos 2sin sin β
αβ
αβα-+=-，求证x x f sin )(=在]2
,2[ππ-上 是增函数；
（2）不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0；
①)10
sin()18sin(ππ
---； ②)4
17cos()523cos(ππ--- （3）比较3sin ,2sin ,1sin 大小；)2sin(1sin )3sin(-<<-ππ
（4）求函数)43sin(2π+
=x y 的单调递增区间；
5.巩固与练习
（1）化简：4cos 2sin 22+- （2）已知非零常数b a ,满足158tan 5sin 5cos 5cos 5sin
ππππ
π=-+b a b a ，求a b 的值； （3）已知35sin 10cos 8,5cos 10sin 8=+=+βαβα
求值：（1）)sin(βα+；（2）)3sin(
απ+
解：（1）4cos 2sin 22+- 2cos 3|2cos |32cos 3)2sin 1(32sin 212sin 22222-===-=-+-=
