数字图像处理傅立叶变换

右边一列:
上图相位谱,下图为根据相位谱的傅立叶 逆变换(忽略幅值信息,设幅值为某一常数);
谢谢观赏！
2020/11/5
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(a)原始图像
(b) DFT变换
(c) 原始图像旋转45º (d) 旋转之后DFT变换结果
(8)微分性质 D[FnfT (xxn,y)](j2u)nF(u,v)
u0,1,2, ,M1 v0,1,2, ,N1
D[F nfT(x,y)](j2v)nF(u,v)
yn u0,1,2, ,M1 v0,1,2, ,N1
f(x ,y )* h (x ,y )1M 1 N 1f(m ,n )h (x m ,y n )
M m 0 N n 0
二维傅立叶变换(幅值及相位)意义
图像的说明 左边一列:
上方为原始图像,下方为本图的相关说 明说明;
中间一列:
上图幅值谱,下图为根据幅值谱的傅立 叶逆变换(忽略相位信息,设相位为0);
2. 离散余弦变换Discrete Cosine Transform
3. 沃尔什－哈达玛变换Walsh-Hadamard Transform
二. 傅立叶变换
➢ 傅立叶变换的作用
（1）可以得出信号在各个频率点上的强度。
（2）可以将卷积运算化为乘积运算。
（3）傅氏变换和线性系统理论是进行图像恢复 和重构的重要手段。
u0,1,2, ,M1 v0,1,2, ,N1
二维傅立叶变换的可分离特性表明，一个二
维傅立叶变换可通过二次一维傅立叶变换来完成，
即：第一次先对y进行一维傅立叶变换
N1
j2vy
F(x,v) f(x,y)e N
y0
x0,1,2,,M1 v0,1,2,,N1
在此基础上对x进行一维傅立叶变换
M1
j2ux
➢ 位移定理
➢ 相似性定理
结论：一个“窄”的函数有一个“宽”的频谱
➢
旋转不变性
由旋转不变性可知，如果时域中离散函数旋转θ角度，
则在变换域中该离散傅立叶变换函数也将旋转同样的角度。
离散傅立叶变换的旋转不变性如图所示。
(a)
(b)
(c)
(d)
图
（a） 原始图像； （b） 原始图像的傅立叶频谱；
F(u,v) f(x,v)e M
x0
u0,1,2, ,M1 v0,1,2, ,N1
变量分离步骤如图所示
F(u,v)DFy{D T Fx[fT(x,y)]} DFx{D T Fy[T f(x,y)]}
若已知频率二维序列F(u，v)，则二
维可分离性对傅立叶逆变换同样适应
M 1N 1
j2(u xv)y
函数f(x)和F(u)被称为傅立叶变 换对。即对于任一函数f(x)，其傅立 叶变换F(u)是惟一的；
反之，对于任一函数F(u)，其傅 立叶逆变换f(x)也是惟一的。
傅里叶变换的条件
傅里叶变换在数学上的定义是严密的，它需要满足 如下狄利克莱条件：
(1) 具有有限个间断点； (2) 具有有限个极值点； (3) 绝对可积;
号， 而计算机处理的是数字信号（图像数据）；二是数学上 采用无穷大概念，而计算机只能进行有限次计算。通常， 将 受 这 种 限 制 的 傅 立 叶 变 换 称 为 离 散 傅 立 叶 变 换 （ Discrete Fourier Transform，DFT)。
离散傅立叶变换
➢ 离散傅立叶变换的定义
(2) 二维离散傅立叶逆变换
若已知频率二维序列F(u，v) （u=0,1,2,3, …,M-1；v=0,1,2,3, …,N-1）， 则二维离散序列F(u，v)的傅立叶逆变换定义为：
f(x,y)
1M1
N1
j2(uxv)y
F(u,v)e MN
MuN 0 v0
x0,1,2, ,M1 y0,1,2, ,N1
e MN
乘以f(x，y)，然后再进行乘积的离
散傅里叶变换时，可以使空间频率域u-v平面
坐标系的原点从(0，0)平移到(u0，v0)的位置。
(4)可分离性
M1N1
j2(u xv)y
F(u,v) f(x,y)e MN
x0y0
M1 N1
j2vy j2ux
{[ f(x,y)e M]e N}
x0 y0
全周期的傅里叶频谱
一幅二维图像的傅里叶频谱
中心化的傅里叶频谱
(7)旋转不变性
图像f(x，y)可以表示为f(r，θ)。同样， 空间频率域的F(u，v)采用极坐标可以表示为 F(ρ，)。二维离散傅立叶存在如下旋转特性：
D[fF (r , T 0 ) ]F (, 0 ) D[F F (, T 0 ) ]f(r , 0 )
高斯函数的定义为：
f (x) ex2
根据傅立叶变换的定义可得：
F(u) f(x)ej2ux dx e e x2 j2uxdx
e (x2j2ux)dx
eu2 e(xju)2dx
令x+ju=t，上式可以化为：
F(u)eu2 et2dt eu2
结论: e x2 与 e u 2 为傅立叶变换函数对。
(2) 比例性质
= k1F 1(u,v) ]k2F 2(u,v)
D[fF (a,b T x)y ]1F (u,v) a b 0 ab ab
(3)平移性质
j2 (u 0x v0y)
D[fF (x,y T )e MN]F (u u 0,v v0)
二维傅立叶变换的移位特性表明，当用
j2 (u0xv0y)
离散傅立叶正变换:
F(u)N 1f(x)ej2N uxu0,1,2, ,N1 x0
离散傅立叶逆变换:
f(x)1N 1F (u)ej2 N uxx0 ,1 ,2 , ,N 1 N u 0
四. 傅立叶变换的性质
➢加法定理 ➢ 位移定理 ➢ 相似性定理 ➢ 卷积定理 ➢ 能量保持定理
➢ 加法定理
1
|F(u,v)|[R2(u,v)I2(u,v)2]
(u,v)argtanI((u,v))
R(u,v)
E(u,v)|F(u,v)|2
3. 二维离散傅立叶变换的性质 (1)．线性特性
D [ k 1 f 1 ( x , F y ) k 1 f 1 ( T x ,y ) D ][ k 1 f 1 ( x , F y ) D ] T [ k 2 f 2 ( x F ,y )
(1) 二维离散傅立叶正变换
根据一维离散傅立叶变换的定义和二维连续傅
立叶变换理论，对于一个具有M×N个样本值的二位 离散序列f(x，y)，（x=0,1,2,3, …,M-1； y=0,1,2,3, …,N-1）其傅立叶变换为：
M1N1
j2(uxv)y
F(u,v)f(x,y)e MN
x0y0
u0,1,2, ,M1; v0,1,2, ,N1
(5)周期性
如果二维离散函数f(x，y)的傅里叶变换为F(u，v)， 则傅立叶变换及其逆变换存在如下周期特性：
F(u,v)F(uk1M,vk2N) u0,1,2,,M1 v0,1,2,,N1
(6)共轭对称性
F(u,v)F*(u,v) u0,1,2,,M1 v0,1,2,,N1
半周期的傅里叶频谱
F(u)可以表示为如下形式：
F(u)R(u)j(Iu) 1
|F(u)|[R2(u)I2(u)]2 (u)argtanI((u))
R(u)
|F(u)|称为F(u)的模，也称为函数f(x)的傅立叶谱，
(u) 称为F(u)的相角。
E(u)|F(u)|2
E(u) 称为函数f(x)的能量谱或功率谱。
例1 高斯函数的傅立叶变换
(9)平均值性质 平均值定义如下
f(x,y)
1
M1N1
f(x,y)
MN x0y0
平均值性质如下：
M1N1
F(0,0)f(x,y) MNf (x, y) x0y0
即： f(x,y) 1 F(0,0)
MN
结论：二维离散函数的平均值等于其傅立叶 变换在频率原点处值的1/MN。
10. 卷积定理：
f(x,y)*h(x,y) <=> F(u,v)H(u,v) f(x,y)h(x,y) <=> F(u,v)*H(u,v)
（4）傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两个 不同的角度来看待图像的问题，有时在空间域无法 解决的问题在频域却是显而易见的。
傅立叶变换
➢ 傅立叶变换的定义
若f(x)为一维连续实函数， 则它的傅里叶变换可定义为：
F(u) f(x)ej2uxdx
傅立叶逆变换定义如下：
f(x) F(u)ej2uxdu
Δx、Δy和Δu、Δv，分别为空间域采样 间隔和频率域采样间隔
两者之间满足如下关系：
x
1 M u
y
1 Nv
F(u，v)可以表示为如下形式：
F (u ,v ) R (u ,v ) j(u I,v )
式中序列R(u，v) 和I(u，v)分别表示离散序列 F(u，v)的实序列和虚序列。
二维序列f(x，y)的频谱（傅立叶幅度谱）、相 位谱和能量谱（功率谱）分别如下：
|F(u)|AT|sinuu(TT )|
几何图形如下页图(b)所示
线性系统与傅立叶变换
傅立叶变换在图像滤波中的应用
首先，我们来看Fourier变换后的图像， 中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。
因此，我们可以在Fourier变换图中，选 择所需要的高频或是低频滤波。
傅立叶变换在卷积中的应用
（c） 旋转45°后的图像； （d） 图像旋转后的傅立叶频谱
➢卷积定理
➢能量保持定理
五. 二维傅立叶变换
1. 二维连续函数傅立叶变换的定义
二维傅立叶正变换:
F(u,v)
f(x,y)ej2(uxv)ydxd
二维傅立叶逆变换:
f(x,y)
F(u,v)ej2(u xv)ydud
2. 二维离散函数傅立叶变换的定义
数字图像处理傅立叶变换
一. 图像变换的作用
➢ 图像变换的定义
是将图像从空域变换到其它域（如频域）的 数学变换
➢ 图像变换的作用
我们人类视觉所感受到的是在空间域和
时间域的信号。但是，往往许多问题在频域 中讨论时，有其非常方便分析的一面。
1. 方便处理 2. 便于抽取特性
➢常用的变换
1. 傅立叶变换Fourier Transform
即，高斯函数的傅立叶变换依然是高斯函数
例2. 矩形函数 矩形函数形式如下:
f
(x)
பைடு நூலகம்
A
0
| x| T 2
| x| T 2
根据傅立叶变换的定义，其傅立叶变换如下：
F(u) f(x)ej2ux dx
T
2 T
Ae j2uxdx
2
Asinu( T)ej2ux0 u
可得矩形函数f(x)的傅立叶频谱为：
f(x,y)
F (u,v)e MN
u 0v 0
M1 N1
j2vy j2ux
{[ F(u,v)e M]e N}
u0 v0
x0,1,2,,M1 y0,1,2,,N1
逆变换的分离性也同样可以分解为两次一维傅立叶变换
f(x ,y ) Du 1 F { D T v 1 F [F (u ,T v ) ]Dv 1 F { D T u 1 F [F (u ,T v )] x 0 ,1 ,2 , ,M 1 y 0 ,1 ,2 , ,N 1
直接进行时域中的卷积运算是很复杂的。 傅立叶变换将时域的卷积变换为频域的乘 积。
f (i, j)
G(S)
fg (i, j)
fg g f
F g(,)G (,)F (,)
fg FFT 1(Fg)
三. 离散傅立叶变换
➢ 离散傅立叶变换的定义
要在数字图像处理中应用傅立叶变换， 还需要解决两个问
题：一是在数学中进行傅立叶变换的f(x)为连续（模拟）信