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第二讲 函数（二）一、函数的图象1，图象的变换 （1）平移变换①函数(),y f x a =+的图象是把函数()y f x =的图象沿x 轴向右（0a >）或向右（0a <）平移||a 个单位得到的；②函数)0(,)(<+=a a x f y 的图象是把函数轴的图象沿y x f y )(=向上（0a >）或向下（0a <）平个单位得到的移a 。
（2）对称变换①函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线x=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y -=的图象关于直线y=0对称；函数)(x f y =与函数)(x f y --=的图象关于坐标原点对称； ②函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称。
③如果函数)(x f y =对于一切,R x ∈都有=+)(a x f )(a x f -，那么)(x f y = 的图象关于直线a x =对称。
④设函数y=f(x)的定义域为R ，满足条件f(a+x)=f(b －x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=2ba +对称。
（3）伸缩变换①)0(),(>=a x af y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的纵坐标伸长)1(>a 或缩短)10(<<a 到原来的a 倍。
②)0(),(>=a ax f y 的图象，可将)(x f y =的图象上的每一点的横坐标伸长)10(<<a 或缩短)1(>a 到原来的a1倍。
例1.将下列变换的结果填在横线上： （1）将函数xy -=3的图象向右平移2个单位，得到函数 的图象；（2）将函数)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位，得到函数 的图象；（3）将函数3)2(-=x y 的图象各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数 的图象. 解析：（1）关键是答案为23--=x y ，还是)2(3--=x y ，可以取一个点检验，将函数xy -=3的图象向右平移2个单位后点（－1，3）变为（1，3），故答案为)2(3--=x y ，即xy -=23（2）关键是答案为)213(log 2+-=x y ，还是]1)2(3[log 2-+=x y ，注意到)13(log 2-=x y 的图象向左平移2个单位后（1，1）变为点（－1，1），所以后者正确，故答案为)53(log 2+=x y ；（3）函数3)2(-=x y 的图象经过变换后，点（3，0）变为（9，1），故答案为3)131(-=x y .评析：总结上述解答，应该明白一个函数)(x f 的图象的各种变换都是针对基本变量x （或y ）进行的，所以变换后发生的变化都应该紧随着变量x （或y ）的后面，应认真总结这些经验.注意，函数图象变换的规律也可以应用到曲线方程表示的图形的变换. 例2.已知函数,1-=x xy 给出下列三个命题中正确命题的序号是 ①函数的图象关于点（1，1）对称； ②函数的图象关于直线x y -=2对称； ③将函数图象向左平移一个单位，再向下平移一个单位后与函数xy 1=重合. .答案：①、②、③.（提示：111y x =+-） 例3．将奇函数)(x f y =的图象沿着x 轴的正方向平移2个单位得到图象C ，图象D 与C 关于原点对称，则D对应的函数是（ ）A ．)2(--=x f yB ．)2(-=x f yC ．)2(+-=x f yD ．)2(+=x f y答案D ．（提示：)2()2()(---=⇒-=⇒=x f y x f y x f y ，即).2(+=x f y例4．已知f(x+199)=4x 2＋4x+3(x ∈R)，那么函数f(x)的最小值为____．分析：由f(x ＋199)的解析式求f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x ＋100)与y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得的最大值和最小值是相同的，由2214434()22y x x x =++=++，立即求得f(x)的最小值即f(x ＋199)的最小值是2． 2.利用图象解决函数问题熟练掌握函数图象的有关知识是学习函数以及解决函数问题的重要基本技能，在学习时要抓住下面两个要点：（1）学习函数图象的最基本的能力是熟练掌握所学过的基本初等函数（如正、反比例函数，二次函数，指数、对数函数，三角函数）的图象；（2）“数形结合”是一种很重要的数学方法，在解决许多函数、方程、不等式及其它与函数有关的问题时，常常运用“数形结合”的方法解答问题或帮助分析问题，运用“数形结合”解答问题需要有下述能力与经验：1）必须有能力准确把握问题呈现的全部图象特征；2）必须能够列出等价的数学式子表达问题的图象特征。
高三函数的图像知识点函数是数学中非常重要的概念，而在高三数学学习中，关于函数的图像尤为重要。
本文将介绍高三函数的图像知识点。
一、函数的图像及其性质函数的图像是函数在直角坐标系中的几何表示，它能够直观地反映函数的性质。
常见的函数图像有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
1. 线性函数图像线性函数的图像是一条直线，表现为函数图像上的所有点都在线性关系 y = kx + b 上。
其中 k 表示斜率，b 表示截距。
2. 二次函数图像二次函数的图像是抛物线，分为开口向上和开口向下两种情况。
开口向上的抛物线表现为函数图像上的点低于顶点，并随着 x 的增大而增大。
开口向下的抛物线则相反。
3. 指数函数图像指数函数的图像是以底数大于 1 的指数函数图像。
当底数大于1 时，指数函数图像表现为随着 x 的增大，函数图像逐渐上升；当底数在 0 和 1 之间时，指数函数图像表现为随着 x 的增大，函数图像逐渐下降。
4. 对数函数图像对数函数的图像是以底数大于 1 的对数函数图像。
对数函数图像与指数函数图像是互逆的关系。
当底数大于 1 时，对数函数图像表现为随着 x 的增大，函数图像逐渐上升；当底数在 0 和 1 之间时，对数函数图像表现为随着 x 的增大，函数图像逐渐下降。
二、函数图像的平移、伸缩和翻折除了基本的函数图像形状外，我们还可以通过平移、伸缩和翻折等变换来改变函数图像。
1. 平移函数图像的平移是指将函数图像沿着 x 轴或 y 轴的方向移动一定的距离。
沿着 x 轴方向平移表示为 y = f(x - a)，其中 a 表示平移的距离；沿着 y 轴方向平移表示为 y = f(x) + b，其中 b 表示平移的距离。
2. 伸缩函数图像的伸缩是指将函数图像在 x 轴或 y 轴的方向上进行拉伸或压缩，改变函数图像的幅度。
沿着 x 轴方向伸缩表示为 y = f(kx)，其中 k 表示水平方向上的伸缩比例；沿着 y 轴方向伸缩表示为 y = kf(x)，其中 k 表示垂直方向上的伸缩比例。
高三数学 幂函数、指数函数与对数函数，函数的最值，函数的图像 知识精讲一、幂函数、指数函数与对数函数 1. 幂函数的定义、图像和性质 （1）定义形如y x a =（a 是常数，a R ∈）的函数叫做幂函数，定义域是使x a有意义的x 的取值范围。
（2）图像和性质①它们都过点（1，1），除原点外，任何幂函数与坐标轴不相交，任何幂函数都不过第四象限。
②a =1312123，，，，时，幂函数图像过原点且在[)0，+∞上是增函数。
③a =---2112，，时幂函数图像不过原点且在[)0，+∞上是减函数。
④任何两个幂函数最多有三个公共点。
二、函数的最值1. 值域与最值值域的概念：即对于定义域A 上的函数y f x =()其值域是指集合{|()}}y y f x x A =∈，，值域是函数值的变化区域。
函数的最值就是在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数这是函数的最小（大）值。
因此，求函数的最值和值域其实质是相同的，方法也完全一样，即可运用求值域的方法求（证）最值问题。
2. 求函数最值的常用方法有下列八种方法（1）直接法：直接法也叫观察法，就是直接由函数解析式的本身观察出函数的值域，其题型特征是解析式中的某一部分是独立的。
（2）逆求法：通过反解x ，把x 用含有y 的式子表示出来，使含有y 的式子有意义，求出y 的范围，其题型特征是y f x =()中很容易把x 解出来，并且从y f x =()到x g y =()必须是同解变形。
（3）换元法：通过简单的换元把一个复杂函数变成简单函数，其解题特征是函数解析式中含有根号，当根号里是一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元。
（4）判别式法：把y f x =()通过同解变形为关于x 的一元二次方程，利用判别式大于等于零求其值域，其题型特征是解析式中含有根式或分式。
（5）基本不等式法：利用基本不等式a b ab a b c abc +++≥，≥233()a b c R ，，∈+可以求函数y 的最值，其题型特征是解析式是和式时要求积为定值，解析式是积式时，要求和为定值，不过有时须要用到拆项，添项和平方的技巧。
（七）函数的图像1.直接画图（给定范围画图要注意空心点还是实心点）(1)基本初等函数：一次函数，二次函数，指数函数，对数函数，幂函数,,(213x x y x y ===)11xx y ==-，三角函数. (2)常见函数：如,d cx b ax y ++=),0(>+=a x a x y ),0(>-=a xa x y 绝对值函数，分段函数. 2.利用性质画图(1)奇偶性：画一半，另外一半利用对称性画出，如122--=x x y 偶函数.(2)单调性：导数3.图象变换（1）平移变换（左加右减，上加下减）①)0)((>±=a a x f y 的图象，可由)(x f y =的图象沿x 轴方向向左(a +)或向右)(a -平移a 个单位得到；②)0()(>±=b b x f y 的图象，可由)(x f y =的图象沿y 轴方向向上（b +）或向下（b -）平移b 个单位得到.（2）对称变换①)(x f y -=与)(x f y =的图象关于y 轴对称；②)(x f y -=与)(x f y =的图象关于x 轴对称.（3）伸缩变换①)0)((>=k x kf y 的图象可由)(x f y=的图象上每一个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的k 倍而得到；②)0)((>=k kx f y 的图象可由)(x f y =的图象上每一个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的k1倍而得到. （4）翻折变换 ①要得到)(x f y =的图象，可先画出)(x f y =的图象，然后“上不动，下翻上”即可得到； ②由于)(x f y =是偶函数，要得到)(x f y =的图象，可先画出)(x f y =的图象，然后“右不动，左去掉，右翻左”即可得到.易错点提醒：（1）左右的平移变换和横向的伸缩变换都只跟x 有关；（2）区别：12-=x y （12122-=→-=→=x x x y y y ）；12-=x y （1222-=→=→=x x x y y y ）4.指对混合型函数图像（注意存在渐近线）如：（1）x x y ln =（2）xx y ln =（3）x x y ln = （4）2ln x x y =（5）x e y x = （6）x ex y =（7）xe x y ⋅= （8）2x e y x=（九）周期性1.定义(数的角度)：对于函数)(x f y =，若存在一个非零常数,T 对定义域内任意的x ，都有),()(x f T x f =+则称)(x f y =为周期函数，称T 为这个函数的周期.注：①形的角度：图像重复出现.②如果T 是函数)(x f y =的一个周期，则)0,(≠∈k Z k kT 也是)(x f y =的周期.③最小正周期：如果在周期函数)(x f y =的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期.题目如果没有特别说明，要求的周期就是最小正周期. ④解题时看到大的数如2017，要想到周期性.2.结论(1))(x f 恒满足),()(b x f a x f +=+则b a T -=；(2))(x f 恒满足),()(x f a x f -=+则a T 2=；(3))(x f 恒满足,)(1)(x f a x f =+则a T 2=； (4))(x f 恒满足,)(1)(x f a x f -=+则a T 2=； (5))(x f 恒满足),()()2(x f a x f a x f -+=+则a T 6=； (6)若函数关于直线b x a x ==,对称，则b a T -=2；(7)若函数关于点)0,(),0,(b a 对称，则b a T -=2；(8)若函数关于点),0,(a 直线b x =对称，则b a T -=4.3.区分周期性与对称性(1)若()f x 恒满足()()f a x f b x +=+则周期为T a b =-；(2)若()f x 恒满足()()f a x f b x +=-则()f x 关于直线2a b x +=对称； (3)若()f x 恒满足()()f a x f b x +=--则()f x 关于点(,0)2a b +对称； (4)若()f x 恒满足()()1,f a x f b x +=--+则()f x 关于点1(,)22a b +对称.。
一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
（二）一次函数1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ① k不为零② x指数为1 ③ b取零当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，•直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．(1)解析式：y=kx（k是常数，k≠0）(2)必过点：（0，0）、（1，k）(3)走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限(4)增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小(5)倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴3、一次函数及性质一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ① k不为零②x指数为1 ③ b取任意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-kb ，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（-kb，0）（3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>0b k 直线经过第一、三、四象限⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限（4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.一次 函数 ()0k kx b k =+≠k ，b 符号0k >0k <0b >0b <0b =0b >0b <0b = 图象Ox yyx OOx yyx OOx yyxO性质y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小4、一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它及两坐标轴的交点：（0，b ），.即横坐标或纵坐标为0的点.b>0 b<0 b=0k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大k<0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y随x的增大而减小5、正比例函数及一次函数之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）6、正比例函数和一次函数及性质正比例函数一次函数概念一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.图像的平移b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.6、直线11bxky+=（01≠k）及22bxky+=（02≠k）的位置关系（1）两直线平行⇔21kk=且21bb≠（2）两直线相交⇔21kk≠（3）两直线重合⇔21kk=且21bb=（4）两直线垂直⇔121-=kk7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.8、一元一次方程及一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b 确定它及x 轴的交点的横坐标的值.9、一次函数及一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.10、一次函数及二元一次方程组（1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象及一次函数y=bc x b a+-的图象相同.（2）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b cx b a +-和y=2222b c x b a +-的图象交点.二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式① 一般式：()()20f x ax bx c a =++≠ ② 顶点式：()()()20f x a x m n a =++≠ ③零点式：()()()()120f x a x x x x a =--≠当240b ac∆=->时，二次函数的图像和x轴有两个交点()11,0M x，()22,0M x，线段1212M M x xa=-==当240b ac∆=-=时，二次函数的图像和x轴有两个重合的交点,02bMa⎛⎫-⎪⎝⎭．特别地，当且仅当0b=时，二次函数()()20f x ax bx c a=++≠为偶函数．1. 二次函数基本形式：2y ax=的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2=+的性质：y ax c上加下减。
3. ()2=-的性质：y a x h左加右减。
4. ()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2=-+，确定其y a x h k顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、及y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、及x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若及x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，及x 轴的交点，及y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a>-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线及x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线及x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象及各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好及上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线及y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线及y 轴的交点为坐标原点，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线及y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线及y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线及x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k=-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k=-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数及一元二次方程：1. 二次函数及一元二次方程的关系（二次函数及x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象及x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象及x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象及x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象及x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2=++的图象及y轴一定相交，交点坐标为(0，)c；y ax bx c3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象及x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c=++中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知及x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.二次函数及一元二次方程、一元二次不等式的关系从函数观点来看，一元二次不等式()200ax bx c a++>≠的解集就是二次函数()()20=++≠的图像上，位于x轴上方的点的横坐标的集合；f x ax bx c a一元二次不等式()200++<≠的解集就是二次函数ax bx c a()()20=++≠的图像上，位于x轴下方的点的横坐标的集合；f x ax bx c a一元二次不等式()200++≥≠的解集就是二次函数ax bx c a()()20=++≠的图像上，位于x轴上方的点和及x轴的交点的f x ax bx c a横坐标的集合；一元二次不等式()200++≤≠的解集就是二次函数ax bx c a()()20=++≠的图像上，位于x轴下方的点和及x轴的交点的f x ax bx c a横坐标的集合．一元二次方程()200++=≠的解就是二次函数ax bx c a()()20=++≠的图像上，及x轴的交点的横坐标．f x ax bx c a反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会及坐标轴相交（K≠0）。
