半导体物理第一章

第一章02
5
1.3半导体中电子的运动 有效质量
对于半导体来说，起作用的常常是接近于 能带底部或能带顶部的电子，因此，只要 掌握其能带底部或顶部附近(也即能带极值 附近)的E(k)与k的关系就足够了。
用泰勒级数展开可以近似求出极值附近的 E(k)与k的关系。
第一章02
6
1
仍以一维情况为例，设能带底位于波数 k=0，能带底部附近 的k值必然很小。将 E(k)在k=0附近按泰勒级数展开，取至
d2E dk 2
=
1 mn *
，则 a = f
mn *
可见，半导体中电子受外力与加速度的关系和牛顿第二运动定律类似，以有 效质量代换电子的惯性质量
第一章02
17
1.3.4 有效质量的意义
半导体中的电子在外力作用下，描述电子运动规 律的方程中出现的是有效质量而不是惯性质量， 这是因为半导体中的电子即使没有外加电场时， 它也要受到半导体内部原子和其他电子的作用。
往往是各向异性的，即沿不同波矢k方向， E(k)-k的关系不同，由于问题的复杂性，虽 然理论上发展了多种计算方法，还不能完全 确定出电子的全部能态。通常需要理论和实 验相结合来确定半导体中电子的能态。
第一章02
33
1.5.1 k空间等能面
要了解能带结构就要求出E(k)与k的关系。
设一维情况且能带极值在波数k=0处，则导
半导体物理 第一章02
黄正兴
1
第一章 半导体中的电子态
1.1 半导体的晶格结构和结合性质 1.2 半导体中的电子状态和能带 1.3 半导体中电子的运动 有效质量 1.4 本征半导体的导电机构 空穴 1.5 回旋共振
第一章02
2
上节回顾
共有化运动 单电子近似 半导体（晶体）中的电子波函数 导体、半导体、绝缘体的能带特点
当电子在外力作用下运动时，一方面受到外电场 力的作用，同时还和半导体内部原子和其他电子 相互作用着，电子的加速度是半导体内部势场和 外电场作用的综合效果。
第一章02
18
3
但是，要找出内部势场的具体形式并且求 得加速度遇到一定的困难，引进有效质量 后，可使问题变得简单，直接把外力和电 子的加速度联系起来，而内部势场的作用 则由有效质量加以概括。
这个带正电的假想粒子就是空穴
从图1-16可知，在k空间中空穴的状态变化规 律与电子相同
第一章02
29
因为空穴的电荷和电子的电荷相反，但加 速度却与电子相同，为正确使用相关的公 式，引进空穴的有效质量mp*=-mn*，这样 空穴的加速度等得到正确描述。 因为空穴一般出现在价带顶，电子的有效 质量为负，所以空穴的有效质量为正。
这些电子位于导带底部附近，有效质量为 正
第一章02
25
同时，价带缺少一些电子呈不满状 态，因而价带缺少电子也表现出导 电的特性，它们的作用常用空穴来 表示。
当价带顶部附近的一些电子被激发 到导带后，价带中就留下了一些空 状态。空状态因缺少电子带正电
+q
第一章02
26
设空状态出现在A点，除A 外的所有k状态均被电子占 据。
第一章02
30
5
可见，价带中缺少电子而出现空状态时， 可以用空穴来表示。
引进空穴后的概念后，可以把大量电子对 电流的贡献用少量的空穴表示出来
所以，半导体中除了导带上电子的导电作 用外，价带中的空穴也具有导电作用。
第一章02
31
对本征半导体导带中出现多少电子， 价带中就有多少空穴，导带上电子导 电，价带中空穴也参与导电，这就是 本征半导体的导电机构。
顶部附近也可以得到 E(k)
−
E(0)
=
1 2
⎛ ⎜ ⎝
d2E dk 2
⎞ ⎟ ⎠k =0
k
2
因为能带顶部附近 E(k)<E(0)，所以 (d2E/dk2)k=0<0。若也令
1 =2
d2E ( dk 2 )k=0
=
1 mn *
第一章02
9
则能带顶部附近E(k)
E(k)
−
E(0)
=
=2k 2 2mn*
上式说明，，在外力f作用下，电子的波矢k 不断改变，其变化率与外力成正比。
因为电子的速度与 k有关，既然 k状态不断
变化，则电子的速度必然不断变化，其加
速度为 a
=
dv dt
=
1 =
d dt
⎛ dE ⎜⎝ dk
⎞ ⎟⎠
=
1 =
d2E dk 2
dk dt
=
f =2
d2E dk 2
如果令
1 =2
处。设导带底位于k0处，能量为 E(k0)，在晶体中选择适当的坐标轴 (kx,ky,kz),并令mx*，my* ， mz*分别表示 沿kx,ky,kz三个轴方向的导带底电子的 有效质量
第一章02
36
6
用泰勒级数在极值k0附近展开，略去高次项得
E(k)
=
E(k0 ) +
=2 2
[(kx
− k0x )2 mx*
这一点是半导体同金属的最大差异， 金属中只有一种载流子，而半导体则 电子和空穴有两种
正是这两种载流子的作用，使半导体 表现出许多奇异的特性，可以用来制 造形形色色的器件。
第一章02
32
1.5 回旋共振
前面介绍了半导体中E(k)～k关系的基本特点 对于不同半导体，E(k)～k的关系不同，而且
平均速度。设波包由许多频率 ，ω 相差不多
的波组成，则波包中心的运动速度 (即群速)
为
v = dω
dk
由波粒二象性，角频率为ω 的波能量为
E= =ω ，代入上式得到
由前面的 E(k) − E(0) = =2k2
2mn*
v
=
1 =
dE dk
所以
v=
=k mn*
第一章02
13
v
=
=k mn*
v = =k m0
第一章02
15
当有强度为|εE|的外电场时，电子受到
f f==-−qq|Eε |的力，dt时间内，电子有一段位移 ds，外力对电子做的功等于能量的变化，即
dE = fds = fvdt
把速度的表达式
v
=
1 =
dE dk
代入上式，得
所以
dE
=
f =
dE dk
dt
f = = dk dt
第一章02
16
=2 mn* = d 2E
有效质量概括了半导体内部的势场作用
dk 2
第一章02
20
由有效质量的定义式
=2 mn* = d 2E
dk 2
有效质量与能量函数对于k的二次微商成反 比，对宽窄不同的各个能带，E(k)随k的变 化情况不同，能带越窄二次微商越小，有 效质量越大。
由于内层电子的能带窄，所以有效质 量大，外层电子的能带宽，有效质量 就小。
因此，引进有效质量的意义在于他概括了 内部势场的作用，使得解决半导体电子在 外力作用下的运动规律时，可以不涉及到 导体内部势场的作用。
特别是有效质量可以由实验测定，因而可 以很方便地解决电子的运动规律。
第一章02
19
能带底部 d 2E / dk 2 > 0 有效质量为正
v
=
1 =
dE dk
能带顶部 d 2E / dk 2 < 0 有效质量为负
mn*称为能带顶电子的有效质量，它是负 值。
可见，引进有效质量后，如果能定出其大
小，则能带极值附近E(k)与k的关系便确定 了。
第一章02
10
1.3.2 半导体中电子的平均速度
首先考虑自由电子，它的速度由下式决定 ，
v = =k m0
根据式 能量与波矢的关系， E = =2k2
2m0
可以求得 dE/dk = h2k/m0，代入式 上面的速度 表达式，得到自由电子速度
带底附近
E(k
)
−
E(0)
=
=2k 2 2mn*
价带顶附近
E(k
)
−
E
(0)
=
−
=2k 2
2m
* p
第一章02
34
对实际的三维晶体，以kx,ky,kz为坐标轴构成 k空间,k2=kx2+ky2+kz2, 导带底附近
( ) =2
E(k) − E(0) = 2mn*
kx2 + ky2 + kz2
通过布洛赫方法得到的薛定谔方程的解 （晶体中电子的波函数）为（1-14）
ψ (x) = uk (x)eikx
同时可以得到能量与波矢量的关系图
第一章02
3
图1第-1一0 章02
0 4
但是，这个图只能得到E(k)与k的定性关 系，只有得到E(k)与k的函数关系才能得到 他们的定量关系。尽管采用了单电子近 似，求解E(k)与k的关系还是非常复杂的， 它也是能带理论所要专门解决的问题。
上式与自由电子的速度表达式类似，不同的 是有效质量代替原来的惯性质量
能带底mn*>0,，能带底附近，k为正，速度v 也为正，能带顶mn*<0，能带顶附近， k为正 时，v为负
第一章02
14
1.3.3 半导体中的电子加速度
实际中，许多半导体器件都在一定的外加 电压下工作，半导体内部就产生外加电 场，这时电子除受到周期性势场作用外， 还要受到外加电场的作用。在这种情况 下，半导体中电子运动规律又是怎样的呢?
k2项，得到
E(k
)
=
E
(0)
+
⎛ ⎜⎝
dE dk
⎞ ⎟⎠k
=0
k
+
1 2
⎛ ⎜ ⎝
d2E dk 2
⎞ ⎟ ⎠k
=0
k
2
+
...
(1 − 19)
因为，k=0时能量极小，所以，
E(k)
−
E(0)
=
1 2
⎛ ⎜ ⎝
d2E dk 2
⎞ ⎟ ⎠k =0
k2
(1− 20)
E(0)为导带底能量
第一章02
7
对于给定的半导体 (d 2E / dk2)k=0 应该是确定的值，令
当有如图所示的外电场作用 时，所有电子均受到力
f= −qε
的作用。由于
f
= = dk dt
在这个力的作用下电子的状
态随时间的变化率为
dk dt
=
f =
=
−qε =
变化规律如图1-16
注意是k空间
第一章02
27
注意是k空间
Fra Baidu bibliotek
在电场的作用下，电子的状态不
断变化，状态的变化在布里渊区
中的方向为电场强度的相反方 向，即图1-16中B电子的状态移 到C原子的状态位置上，C>D，…Z->Y, Y->X
+
(ky
− k0 y )2 my*
+
(kz
− k0z )2 mz*
]
(1− 43)
其中
1 mx*
=
1 =2
⎛ ∂2E
⎜ ⎝
∂k
x
2
⎞ ⎟ ⎠k0
1 my*
=
1 =2
⎛ ⎜⎜⎝
∂2E ∂k y 2
⎞ ⎟⎟⎠k0
1 mz*
=
1 =2
⎛ ∂2E
⎜ ⎝
∂k
z
2
⎞ ⎟ ⎠k0
第一章02
37
上面的公式也可以写成
v
=
1 =
dE dk
第一章02
11
半导体中的电子在周期性势场中运
动，电子的平均速度与能量之间有什么 样的关系呢? 通过量子力学的严格计 算，可以证明它们之间也存在着与自由 电子类似的关系。这里作简单的说明。
第一章02
12
2
根据量子力学概念，电子的运动可以看做
波包的运动，波包的群速就是电子运动的
所以
1 =2
(
d 2E dk 2
)k
=0
=
1 mn *
E(k)
−
E(0)
=
=2k 2 2mn*
与自由电子的
E(k) = =2k2 2m0
有类似之处，不同的是m0是
电子的惯性质量，称 mn*为有效质量。
因为E(k)>E(0)，所以能带底电子的有效质量为正值。
第一章02
8
同样，设能带顶也位于 k=0处 ，则在能带
电子虽然可以在晶体中作共有化运动，但 是，这些电子能否导电，还必须考虑电子 填充能带的情况，不能只看单个电子的运 动。
研究发现，如果一个能带中所有的状态都 被电子占满，那么，即使有外加电场，晶 体中也没有电流，即满带电子不导电。只 有不满的能带中的电子才可以导电。
第一章02
24
4
在绝对零度时，纯净半导体的价带被电子 填满，导带是空的。在一定温度下，价带 顶附近的一部分电子被激发到导带底附 近，在外电场的作用下，导带中的电子便 参与导电。
(kx − k0x )2 2mx*[E(k ) − E(k0 )] / =2
X电子位于布里渊区边界，X点 的状态与A点的状态完全相同， 也就是说，电子从左端离开布里
渊区，从右端又填补进来。所以 X电子移动到A处。
空状态从A->B->C，第与一章电02 子的k状态变化相同。28
由于有空状态，状态变化过程将产生电 流。电流密度J可以看成一个电子的电流密 度的反方向
J=qv(k) 这样可以把空状态看成带正电的粒子运动
E(k)为定值时，对应许多组不同的(kx,ky,kz), 将这一组不同的(kx,ky,kz)连接起来构成一个 封闭的曲面，这个曲面就是等能面。
此时等势面为一系列球面
第一章02
35
晶体具有各向异性的性质，E(k)与k沿 不同k方向不一定相同，反映出沿不同 的k方向，电子的有效质量不一定相 同，而且能带极值不一定位于波数k=0
所以，外层电子在外力作用下可以得 到较大的速度。
图1第-1一0 章02
0 21
第一章02
22

由电子的速度关系式 v
=
=k mn*
，有
=k = mn*v
这里的hk并不代表半导体中电子的动量， 由于它的变化规律和自由电子的动量变化 规律相似，通常称hk为半导体中电子的准 动量
第一章02
23
1.4 本征半导体的导电机制 空穴