第四章平稳过程

对于固定的 t0 ,
由大数定律，n必须很大，难以实现。由于平稳过程的统计 特征不随时间而变，能否以一个样本函数去近似计算过程的数字 特征呢？下面引入各态历经概念。
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1 n mX (t0 ) xi (t0 ) n i 1 1 n RX ( ) E[ X (t0 ) X (t0 )] xi (t0 )xi (t0 ) n i 1
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n
4.2 平稳过程相关函数的性质
n ____ k n n ____ _________ j X j k k 1 j 1 __________ ______ n n
k 1 n
第4章 平稳过程
(4)
R
________
2 2
0;
1 , 2 , , n 有
R
k 1 j 1 k j
n
n ____
X
(t j tk ) 0;
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4.2 平稳过程相关函数的性质
_______
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4.2 平稳过程相关函数的性质
第4章 平稳过程
2、若 X (t ) X (T t ), 则称 X (t )为周期平稳过程，使得上式 成立的最小正数T为过程的周期。周期平稳过程的相关函数 也为周期函数，且其周期同过程的周期。 证明： RX (T ) E[ X (t ) X (T t )]
设二阶矩过程 { X (t ), t T }满足：
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4.1 平稳过程的概念
第4章 平稳过程
（1） mX (t ) m （常数） （2） RX (s, t ) RX ( ), t s 则称 { X (t ), t T } 为宽平稳过程。 显然，一个严平稳过程如果存在二阶矩，则必为宽平稳过 程。以后平稳过程均指宽平稳过程。 例1、设 { X n , n 1,2, } 是不相关的随机变量序列，且 X k ~ N (0, 2 ), k 1,2, 试讨论{ X n , n 1,2, }平稳性. 解: n 1, mX (n) E[ X n ] 0
k 1 j 1
(t t ) k j E[ X (tk ) X (t j )]
2 j 1
E[ k X (tk ) j X (t j )]
E k X (tk ) 0.
k 1
由相关函数的性质可知： （1）若 { X (t ), t T }是实平稳过程，则其相关函数是 偶函数，即 RX ( ) RX ( ); （2）设 { X (t ), t T }是平稳过程,则其协方差函数 C X ( ) 满足: CX (0) DX (t ) 0, CX ( ) CX (0).
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4.1 平稳过程的概念
第4章 平稳过程
即严平稳过程的二维分布仅于时间差有关，与起始点无关. 若严平稳过程存在二阶矩，则有
RX (s, t ) E[ X (s) X (t )]
mX (t ) E[ X (t )] xdF( x) m
_______
_______
E[ X (t ) X (t )]
RX ( ).
3、由二阶矩过程的均方微积分的有关结论可得 （1）平稳过程 X (t ) 均方连续的充要条件为 RX ( )在 0 处连续。 （2）平稳过程 X (t ) 均方可导的充要条件为 RX ( ) 在 0
第4章 平稳过程
证明：(1) RX (0) E[ X (t ) X (t )] E[ X (t ) 2 ]
D[ X (t )] m X
（2) RX ( ) E[ X (t ) X (t )]
________ __________ __________ ____ _______
3) RXY ( ) E 2 [ X (t ) Y (t )]
2 ______
2
__
__
2
E[ X (t ) Y (t ) ]
E[ X (t ) ] E[ Y (t ) ]
2 2
______
2
RX (0) RY (0)
同理可得
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则称 { X (t ), t T } 为严平稳过程。
由定义可知严平稳过程的一维分布与t 无关，即
F (t; x) F (t ; x) F ( x), t;
二维分布函数满足
F (t1 , t2 ; x1 , x2 ) F (t1 , t2 ; x1 , x2 )( t1 )
第4章 平稳过程
例2、设 X (t ) a cos(t ), a, 为常数， 在 [0,2 ] 上均匀分布，试讨论其平稳性。 解： mX (t ) E[ X (t )] E[a cos(t )]
1 2 a cos( t )d 0 2 0 RX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]
处一阶、二阶导数都存在。
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4.2 平稳过程相关函数的性质
第4章 平稳过程
' X ( t ) X 均方可导，则其导数过程 (t ) （3）若平稳过程 '' 仍为平稳过程，且 mX ' (t ) 0, RX ' ( ) RX ( ).
RXY ( ) 的性质 （2）
的实过程时， RXY ( ) RYX ( ) ;
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1）RXY ( ) RYX ( ), 特别，当 X (t ),Y (t ) 为联合平稳 __________ __
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__________ _
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n, m 1, RX (m, n) E[ X m X n ]
所以, {X n , n 1,2, }具有平稳性,称其为平稳随机序列。
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百度文库 2 , m n 0, m n
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4.1 平稳过程的概念
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4.2 平稳过程相关函数的性质
__ __
第4章 平稳过程
2）对任意的复常数 , , X (t ) Y (t )也是平稳过程，且 它们的互相关函数满足：
RX Y ( ) RX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RY ( );
3） RXY ( ) RX (0) RY (0)
2
2
2
RYX ( ) RX (0) RY (0).
证明：1） RXY ( ) E[ X (t ) Y (t )]
_______
2
E[ Y (t ) X (t )]
RYX ( )
__________ __
__________ __________ ___ __________ _
RYX ( ) RX (0) RY (0).
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2
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4.3 平稳过程的各态历经性
第4章 平稳过程
1、各态历经概念
设 X (t ) 是平稳随机过程，其数学期望函数与相关函数 怎样通过试验近似地确定？作n次试验，得样本函数
xi (t ),i 1,2, , n
E[a cos(t1 )a cos(t2 )]
a2 cos , 其中 t2 t1. 2
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4.2 平稳过程相关函数的性质
第4章 平稳过程
1、相关函数的性质 设{ X (t ), t T } 是平稳过程，其相关函数为 RX ( ), 则 (1) R X (0) E[ X (t ) ] m X (2) RX ( ) RX ( ); (3) RX ( ) RX (0); (4) RX ( ) 具有非负定性，即 n 1, t1 , t2 , , tn T 及复数
_________ ________ ___ ________
第4章 平稳过程
E{ X (t ) X (t ) X (t ) Y (t ) Y (t ) X (t ) Y (t ) Y (t )}
RX Y ( ) RX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RY ( )


（常数）




x1 x2 dF(s, t; x1 , x2 )

x1 x2 dF(0, t s; x1 , x2 )
RX (t s) RX ( ), t s
同理 CX (s, t ) CX ( ), t s 2、宽平稳过程
__________ __
2
0;
E[ X (t ) X (t )]
RX ( );
(3) RX ( ) 2 E[ X (t ) X (t )
_______
2
2 E[ X (t ) ]E[ X (t ] RX (0),
2
2
RX ( ) RX (0);
2) RX Y ( ) E{[ X (t ) Y (t )][X (t ) Y (t )]}
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__________ __________ _
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4.3 平稳过程的各态历经性
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4.1 平稳过程的概念
第4章 平稳过程
1、严平稳过程
设随机过程 { X (t ), t T }, 若对于任意的n和任意的
t1 , t2 , , tn T , , t1 , t2 , , tn T
有
F (t1 , t2 , , tn ; x1 , x2 , , xn ) F (t1 , t2 , , tn ; x1 , x2 , , xn )
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4.3 平稳过程的各态历经性
第4章 平稳过程
(1)时间平均与时间相关函数
设 {X (t ), t }是平稳过程，称 1 T i m X (t )dt X (t ) 为平稳过程{X (t ), t } 1) l T 2T T 在( t ) 的时间平均。 _______ T ______ 1 2) l i m X (t ) X (t )dt X (t ) X (t ) 为平稳过程 T 2T T {X (t ), t }在 ( t ) 的时间相关函数。 (2)设 {X (t ), t }是均方连续的平稳过程,若
4、联合平稳过程的互相关函数及其性质 （1）定义：设 { X (t ), t T }, {Y (t ), t T }为两个平稳过程，
若对于任意 t , s T , RXY (s, t ) RXY (t s),
则称这两个过程为联合平稳过程。
记 RXY (t , s) RXY (t s) RXY ( ), t s.