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证明: 由于 F (1) = F (2) = 0, 所以存在 1 , 1 < 1 < 2, 满足 . 所以存在 , 满足 1 < < 1 , 且 .
. 所以
四. 设 f( x) 在[0, x](x > 0)上连续, 在(0, x) 内可导, 且 f(0) = 0, 试证: 在(0, x) 内存在一个 , 使 .
证明: 令 存在一个 , 满足
, 在[x 1, x 2] 上使用柯西定理. 在(x 1, x 2) 内至少
九. 若 x 1 x 2 > 0, 证明: 存在一个 ( x 1 , x 2 ) 或( x 2, x 1 ), 使
证明: 不妨假设 0 < x 1 < x 2 . 令 在( x 1 , x 2 ) 内至少存在一个, 满足
. 在[ a , b ] 上使用拉格朗日定理
六. 设函数 f (x), g (x), h(x )在[a, b] 上连续, 在(a , b )内可导, 证明: 存在一个 (a,
b ), 使
证明: 令 使
, 则 F(a ) = F (b) = 0, 所以存在一个 ( a, b),
七. 设函数 f( x) 在[0, 1] 上二阶可导, 且 f(0) = f(1) = 0, 试证: 至少存在一个 (0, 1), 使
一. 设函数 f(x) 在闭区间[0, 1] 上可微, 对于[0, 1] 上每一个 x, 函数 f(x)的值都在开 区间(0, 1) 内, 且 , 证明: 在(0, 1) 内有且仅有一个 x, 使 f(x) = x.
证明: 由条件知 0 < f(x) < 1. 令 F(x) = f (x) －x, 于是 F(0) > 0, F(1) < 0, 所以存在 (0, 1), 使 F( ) = 0. 假设存在 1 , 2 (0, 1), 不妨假设 2 < 1 , 满 足 f( 1) = 1, f( 2) = 2 . 于是 < 1 ). 所以 , 矛盾. 1－2 = f( 1) －f( 2 ) = . ( 2 <
十二. 设 f(x )在[a, b ]上连续, 在(a, b )内可导, 且 f( a) = f (b) = 1, 证明: 存在、 ( a , b ), 使得
证明: 对于
在[ a , b ] 上使用拉格朗日定理, 在( a , b ) 内存在, 使得
所以在( a , b ) 内存在, 使得
,
于是
.
十一. 设 f(x )在[a, b] 上连续, 在(a , b )内有二阶连续导数, 试证: 至少存在一个 ( a , b ), 使
证明: x , t [ a , b ], 有
取 t =
, 分别取 x = b , x = a , 得到
二式相加, 得 所以存在 ( a , b ), 使得
证明: ( )
,
二边积分可得
, 所以
令
. 由 f(0) = f(1) = 0 知存在 (0, 1),
. 所以
F( ) = F(1) = 0, 所以存在 ( , 1),
. 立即可得
八. 设 f( x) 在[x 1, x 2] 上二阶可导, 且 0 < x 1 < x 2, 证明: 在( x1 , x2 )内至少存在一个, 使
二. 设函数 f(x) 在[0, 1] 上连续, (0, 1) 内可导, 且 1) 内存在一个, 使 .
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. 证明: 在(0,
证明: 由罗尔定理, 存在 , 满足 0 < < 1 , 且
, 其中 1 满足
.
.
三．设函数 f(x) 在[1, 2] 上有二阶导数, 且 f(1) = f(2) = 0, 又 F(x) =(x －1)2 f(x), 证明: 在(1, 2) 内至少存在一个 , 使 .
证明: 令 F ( t ) = f ( t ), G ( t ) = ln(1+ t), 在[0, x ] 上使用柯西定理
,
(0, x)
所以
, 即
五. 设 f ( x ) 在[a, b ] 上可导, 且 ab > 0, 试证: 存在一个 ( a , b ), 使
证明: 不妨假设 a > 0, b > 0. 令
即是
, 在[ x 1 , x 2 ] 上使用柯西定理.
立即可得
.
十. 设 f( x), g( x) 在[a , b] 上连续, 在(a , b )内可导, 且 f( a) = f( b) = 0, g( x) 0, 试证: 至少存在一个 ( a , b ), 使
证明: 令 使
, 所以 F (a) = F(b ) = 0. 由罗尔定理至少存在一个 (a, b),
