被控对象特性与数学模型

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工业过程的数学模型可分为动态
干扰变量
数学模型和静态数学模型。动态数学
模型是表示输出变量与输入变量之间 随时间而变化的动态关系的数学描述 。动态数学模型在对动态过程的分析
控制变量
被控变量
和控制中起着举足轻重的作用，可用 图3-1 对象的输入输出量示意图 于各类自动控制系统的设计和分析，
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2. 参量模型 当数学模型是采用数学方程式来描述时，称为参量模型。 对象的参量模型可以用描述对象输入、输出关系的微分方
程式、偏微分方程式、状态方程、差分方程等形式来表示。 对于线性的集中参数对象，通常可用常系数线性微分方
程来描述，如果以 x( t ) 表示输入量，y(t ) 表示输出量，则对象 特性可用下列微分方程式来描述
以及工艺设计和操作条件的分析和确
定。静态数学模型是描述输出变量与
输入变量之间不随时间而变化的数学
关系。
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数学模型的表达形式主要有两大类：一类是非参量形式， 称为非参量模型；另一类是参量形式，称为参量模型。 1. 非参量模型
当数学模型是采用曲线或数据表格等来表示时，称为非 参量模型。
非参量模型可以通过记录实验结果来得到，有时也可以通 过计算来得到，它的特点是形象、清晰，比较容易看出其定 性的特征。但是，由于它们缺乏数学方程的解析性质，要直 接利用它们来进行系统的分析和设计往往比较困难，必要时 ，可以对它们进行一定的数学处理来得到参量模型的形式。
以图3-2的水槽对象为例，截面积为A的水槽，当流入 水槽的流量Q1 等于流出水槽的流量Q2时，系统处于平衡 状态,即静态，这时液位h保持不变。
在用微分方程式来描述对象特性时，往往着眼于 一些量的变化，而不注重这些量的初始值，所以下面在
推导方程的过程中，假定Q1、Q2 、h都代表他们偏离初始
平衡状态的变化值。
3.1 石油加工对象的特点及其描述方法
在化工自动化中，常见的对象有各类换热器、精馏 塔、流体输送设备和化学反应器等，此外，在一些辅助 系统中，气源、热源及动力设备（如空压机、辅助锅炉 、电动机等）也可能是需要控制的对象。本章着重研究 连续生产过程中各种对象的特性，因此有时也称研究过 程的特性。
所谓研究对象的特性，就是用数学的方法来描述出 对象输入量与输出量之间的关系，这种对象特性的数学 描述就称为对象的数学模型。
an y( n )( t ) an1y( n1)( t ) a1y( t ) a0 y( t ) x( t ) （3-1）
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一个对象如果可以用一个一阶微分方程式来描述其特性 （通常称一阶对象），则可表示为
a1y( t ) a0 y( t ) x( t )
（3-2）
或表示成
在工业控制过程中，建立被控对象的数学模型的目的 主要有以下几种。
（1）进行工业过程优化操作。 （2）控制系统方案的设计和仿真研究。 （3）控制系统的调试和控制器参数的整定。 （4）工业过程的故障检测与诊断。 （5）制订大型设备启动和停车操作方案。 （6）设计工业过程操作人员的培训系统。 （7）作为模型预测控制等先进控制方法的数学模型。
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（ 3）根据支配运动特性的基本规律，列出各部分的原始
方程；
（4）消去中间变量，写出只有输入变量和输出变量的微
分方程；
（5）对微分方程进行标准化处理。
1. 一阶对象的数学模型
下面通过一些简单的例子来讨论一阶对象及积分对象
机理建模的方法。 1）水槽对象
1 Q1
图3-2是一个水槽，水经过阀门1不断地
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3.2.1 机理分析法建模
机理建模是根据对象或生产过程的内部机理，列写出 各种有关的平衡方程，如物料平衡方程、能量平衡方程、动 量平衡方程、相平衡方程以及某些物性方程、设备的特性方 程、化学反应定律、电路基本定律等，从而获取对象（或过 程）的数学模型，这类模型通常称为机理模型。
机理法建模的具体步骤如下： （1）根据实际情况确定系统的输入、输出以及中间变量 ，搞清各变量之间的关系； （2）做出合乎实际的假设，以便忽略一些次要因素，使 问题简化；
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在建立对象数学模型（建模）时，一般将被控变量 看作对象的输出量，也叫输出变量，而将干扰作用和控 制作用看作对象的输入量，也叫输入变量。干扰作用和 控制作用都是引起被控变量变化的因素，从控制的角度 看，输入变量就是操纵变量（控制变量）和扰动变量， 输出变量就是被控变量，如图3-1所示。由对象的输入 变量至输出变量的信号联系称为通道，控制作用至被控 变量的信号联系称为控制通道；干扰作用至被控变量的 信号联系称为干扰通道。在研究对象特性时，应预先指 明对象的输入量是什么，输出量是什么，因为对于同一 个对象，不同通道的特性可能是不同的。
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如果在很短一段时间dt内，由于Q1 不等于Q2 ，引起液位 变化了dh，此时，流入和流出水槽的水量之差为
Q1
Q2
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A
dh dt
（3-4）
如果考虑变化量很微小（由于在自动控制系统中，各个
变量都是在它们的额定值附近做微小的波动，因此做这样的
假定是允许的），可以近似认为Q2 与h成正比，与出水阀的
流入水槽，水槽内的水又通过阀门2不 断流出。工艺上要求水槽的液位h保持 一定数值。
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h
2
Q2
A
图3-2 水槽对象示意图
水槽就是被控对象，液位h就是被控变量。如果阀门 2的开度保持不变，而阀门1的开度变化是引起液位变化 的干扰因素，那么，这里所指的对象特性，就是指当阀 门1的开度变化时，液位h是如何变化的。在这种情况下 ，对象的输入量是流入水槽的流量Q1，对象的输出量是 液位h。下面推导表征h与Q1之间的关系的数学表达式。
Ty( t ) y( t ) Kx( t )
（3-3）
式中
T
a1 a0
，称为时间常数；
K
1 a0
，称为放大系数。
以上方程式中的系数以及T、K等都可以认为是相应的参量
模型中的参量，他们与对象的特性有关，一般需要通过对象的
内部机理分析或大量的实验数据处理才能得到。
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3.2 对象数学模型的建立
阻力系数 R2 成反比，用式子表示为
Q2
h R2