复变函数 第五章留数(2)剖析

第五章 留数
2、极点
如果 Laurent 级数中只有有限多个 z z0 的负幂项，且其 中关于 (z z0 )1 的最高幂为 (z z0)m，即
f (z) cm (z z0 )m c2 (z z0 )2
c1(z z0 ) c0 c1(z z0 ) (m 1, cm 0)
1 f (z)
以 z0 为（可去奇点看作解析点）m 级零点。
（4）f (z) 的孤立奇点 z0为极点的充要条件是：lim f (z) 。
zz0
第五章 留数
3、本性奇点
如果 Laurent 级数含有无限多个 z z0 的负幂项，那么， 孤立奇点z0 称为f (z) 的本性奇点。
定理 f (z) 的孤立奇点 z0 为本性奇点的充要条件是 lim f (z) 不存在。即当 z z0 时， f (z)既不趋于∞，也不趋于一z个有z0 限 值。
其中 a0 (z0 ) 0
f (z) 在 z0 的 Taylor 展开式为
f (z) a0(z z0)m a1(z z0)m1 a2(z z0)m2
可见，f (z) 在 z0 的Taylor展开式的最前 m 项的系数都为零。
第五章 留数
由Taylor级数的系数公式可知，这时
f (n) (z0 ) 0
则孤立奇点 z0 称为 f (z)的 m 级极点。
上式也可写成
f
(z)
(z
1 z0 )m
g(z)
其中， g(z) cm cm1(z z0 ) cm2 (z z0 )2
g(z) 在 z z0 R 内是解析函数，且 g(z0 ) cm 0。
第五章 留数
例如，函数
z2
(z 2 1)(z 1)3
1-2. 函数的零点与极点的关系
一、关于零点的定理
如果函数 f (z)能表示成
f (z) (z z0)m (z)
其中， (z)在 z0解析，并且 (z0 ) 0，m 为一正整数，则 z0
称为 f (z) 的 m 级零点。
定理 如果 f (z) 在 z0解析，那么，z0 为 f (z) 的 m 级零点的 充要条件是：
zx0
x 0
e x 0 1 x
所以， lim e1 z 不存在。
z0
另外，f (z) 在 z 0 邻域内的 Laurent 展开式为：
e1
z
1
1 z
1 2!
1 z2
1 n!
1 zn
(z 0) 0 z
可见， f (z)在 z 0 邻域内的 Laurent 展开式有无限多zn 项。
第五章 留数
如果 z0 是 f (z)的可去奇点，则下列三个条件是等价的，即 它们中的任何一条都是可去奇点的特征：
（1） f (z) 在z0 点的 Laurent 展开式中不含 z z0 的负幂 项；
（2） lim
zz0
f
(z) c0 ( ) ，c0
为复常数；
（3） f (z) 在 z0 点的某去心邻域内有界。
f (n) (z0 ) 0 f (m) (z0 ) 0
( n 0, 1, 2, , m 1)
第五章 留数
证：必要性
如果 z0 为 f (z) 的 m 级零点，那么， f (z) 可表成
的形式。
f (z) (z z0)m (z)
设 (z) 在 z0的 Taylor 展开式为
(z) a0 a1(z z0) a2 (z z0 )2 an (z z0 )n
定理 若 z z0 为 f (z) 的一个本性奇点，且 f (z) 在 z0 点的
充分小邻域内不为零，则 z z0 亦必为
1 f (z)
的本性奇点。
第五章 留数
例1 试证 z 0 是 f (z) e1 z 的本性奇点。
证： lim e1 z lim e1 x
z x0
x0
lim e1 x lim e1 x lim 1 0
第五章 留数
§1. 孤立奇点 §2. 留数 §3. 留数在定积分上的应用 §4.辐角原理
第五章 留数
§1. 孤立奇点
如果函数 f (z)在 z0 不解析，但在 z0 的某一邻域 0 z z0 内处处解析，那么，z0 称为 f (z) 的孤立奇点。
1-1. 孤立奇点的类型
在 z0 的邻域 0 z z0 内，可将 f (z) 展成 Laurent 级数
（1） f (z) 在以 z0 点为中心的去心邻域内的 Laurent 级数只 有有限多个 z z0 的负幂项；
（2） f (z)在 z0点的去心邻域 0 z z0 内能表成
f (z) 1 g(z) (z z0)m
其中，g(z) 在 z0 点邻域内解析，且 g(z0 ) 0。
（3）h(z)
f (z)
cn
(
z
z0
)n
n
根据 0 z z0 内 f (z) 的 Laurent 级数的不同，孤立奇点 分为三种类型。
第五章 留数
1、可去奇点
如果 Laurent 级数中不含 z z0 的负幂项，孤立奇点 z0 称为 f (z) 的可去奇点。
即
c0 c1(z z0 ) cn (z z0 )n
在 0 z z0 内收敛于 f (z) 。
在谈到可去奇点时，可以把它当作解析点看待。
例如，z = 0 是 sin z 的可去奇点。
z
因为其 Laurent 级数中不含负幂项
sin z 1 (z 1 z3 1 z5 ) 1 1 z2 1 z4
z z 3! 5!
3! 5!
第五章 留数
f
(m) (z0 ) m!
a0
0
再证充分性。
( n 0, 1, 2, , m 1)
f (z) 在 z0点解析。
因
f (n) (z0 ) 0
( n 0, 1, 2, , m 1)
f
(m) (z0 m!
)
a0
0
故必有 f (z) cm(z z0)m cm1(z z0)m1 cm2(z z0)m2
z=1
是它的一个三级极点，g(z)
z2 z2 1
；
z
i 是它的一级极点，g(z)
z2 (z 1)3(z i)
。
如果 z0为 f (z) 的极点，则由上式
lim f (z)
zz0
或
lim f (z)
zz0
第五章 留数
如果 f (z)以 Hale Waihona Puke Baidu0为其孤立奇点，则下列四个条件是等价的。 它们中的任何一条都是 m 级极点的特征：