2021学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.1.1变化率问题课时分层作业含解析人教A版必修二

课时分层作业(十二) 变化率问题

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．函数f (x )＝x 2－1在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则实数m 的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．4 B [由已知得：m 2－1－(12－1)m －1＝3，

∵m －1≠0， ∴m ＋1＝3，∴m ＝2.]

2．已知一直线运动的物体，当时间从t 变到t ＋Δt 时物体的位移为Δs ，那么lim Δt →0

Δs

Δt 为( )

A ．时间从t 变到t ＋Δt 时物体的速度

B ．在t 时刻该物体的瞬时速度

C ．当时间为Δt 时物体的速度

D ．时间从t 变到t ＋Δt 时物体的平均速度

B [Δs Δt 表示从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度，从而lim Δt →0 Δs

Δt 表示在t 时刻该

物体的瞬时速度．选B.]

3．若函数f (x )在x 0处有定义，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)

h 的结果( )

A ．与x 0，h 均无关

B ．仅与x 0有关，而与h 无关

C ．仅与h 有关，而与x 0无关

D ．与x 0，h 均有关

B [根据曲线在某点处切线斜率的意义知，该极限值只与x 0有关，而与h 没有关系．]

4．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1

x 中，平均变化率最大的是( )

A ．④

B ．③

C ．②

D ．①

B [Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1

x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx

＝－10

13.∴k 3＞k 2＞k 1

＞k 4，故应选B.]

5．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3 s ，则枪弹射出枪口时的瞬时速度为( )

A ．800 m/s

B ．600 m/s

C ．200 m/s

D ．400 m/s

A [位移公式为s ＝12at 2，∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20

＝at 0Δt ＋12a (Δt )2

， ∴Δs Δt ＝at 0＋1

2a Δt ，

∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 ⎝

⎛

⎭⎪⎫at 0＋12a Δt ＝at 0，

已知a ＝5.0×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3 s ，∴at 0＝800 m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.]

二、填空题

6．已知函数y ＝2

x ＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝________. 13 [Δy ＝f (1.5)－f (2)＝

⎝ ⎛⎭⎪⎫21.5＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋3＝4

3

－1＝13.] 7．已知汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为________．(由大到小排列)

v 3＞v 2＞v 1 [∵v 1＝s (t 1)－s (t 0)t 1－t 0＝k OA ，v 2＝s (t 2)－s (t 1)

t 2－t 1＝k AB ，

v 3＝s (t 3)－s (t 2)

t 3－t 2＝k BC .又∵由图象得k OA ＜k AB ＜k BC

∴v 3＞v 2＞v 1.]

8．一物体位移s 和时间t 的关系是s ＝2t －3t 2，则物体的初速度是__________． 2 [物体的速度为v ＝s ′(t )， ∴s ′(t )＝lim Δt →0

s (t ＋Δt )－s (t )Δt

＝lim Δt →0 2(t ＋Δt )－3(t ＋Δt )2－2t ＋3t 2

Δt

＝lim Δt →0 2Δt －6t Δt －3(Δt )2

Δt ＝2－6t .

即v ＝2－6t ，

所以物体的初速度是v 0＝2－6×0＝2.] 三、解答题

9．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值．

[解] ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .

∴f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a Δx

Δx ＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2a ，即2a

＝2，

∴a ＝1.

10．若一物体的运动时间t (单位：s)与位移s (单位：m)的函数关系式为s ＝⎩⎨⎧

3t 2＋2， 0≤t ＜3，

29＋3(t －3)2

，t ≥3，

求此物体在t ＝1和t ＝5时的瞬时速度．

[解]当t＝1时，s＝3t2＋2，

∴v＝lim

Δt→0Δs

Δt

＝lim

Δt→0

3(1＋Δt)2＋2－(3×12＋2)

Δt

＝lim

Δt→0

(6＋3Δt)＝6.

当t＝5时，s＝29＋3(t－3)2，

∴v＝lim

Δt→029＋3(Δt＋2)2－29－3×22

Δt

＝lim

Δt→0

(3Δt＋12)＝12.

故此物体在t＝1和t＝5时的瞬时速度分别是6 m/s和12 m/s.

11．(多选题)一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s＝3t－t2.则下列正确的是（）

A．此物体的初速度是3 m/s

B．此物体在t＝2时的瞬时速度大小为1 m/s，方向与初速度相反

C．t＝0到t＝2时平均速度1 m/s

D．t＝3 s时的瞬时速度为0 m/s

ABC[A中，初速度v0＝lim

Δt→0s(0＋Δt)－s(0)

Δt

＝lim

Δt→0

3Δt－(Δt)2

Δt

＝lim

Δt→0

(3－Δt)

＝3(m/s)．

即物体的初速度为3 m/s.即A正确；

B中，v＝lim

Δt→0s(2＋Δt)－s(2)

Δt

＝lim

Δt→03(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－4)

Δt

＝lim

Δt→0－(Δt)2－Δt

Δt

＝lim

Δt→0

(－Δt－1)＝－1(m/s)．

即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．即B正确．