第2课时 数列的综合应用 题型一 数列和解析几何的综合问题 例1 (2004·浙江)已知△OBC 的三个顶点坐标分别为O (0,0)，B (1,0)，C (0,2)，设P 1为线段BC 的中点，P 2为线段CO 的中点，P 3为线段OP 1的中点，对于每一个正整数n ，P n ＋3为线段 P n P n ＋1的中点，令P n 的坐标为(x n ，y n )，a n ＝1 2 y n ＋y n ＋1＋y n ＋2. (1)求a 1，a 2，a 3及a n 的值； (2)求证：y n ＋4＝1－y n 4 ，n ∈N * ； (3)若记b n ＝y 4n ＋4－y 4n ，n ∈N * ，求证：{b n }是等比数列． (1)解 因为y 1＝y 2＝y 4＝1，y 3＝12，y 5＝3 4， 所以a 1＝a 2＝a 3＝2， 又由题意可知y n ＋3＝ y n ＋y n ＋1 2 ， 所以a n ＋1＝1 2y n ＋1＋y n ＋2＋y n ＋3 ＝12y n ＋1＋y n ＋2＋y n ＋y n ＋12 ＝1 2y n ＋y n ＋1＋y n ＋2＝a n ， 所以{a n }为常数列， 所以a n ＝a 1＝2，n ∈N * . (2)证明 将等式12y n ＋y n ＋1＋y n ＋2＝2两边除以2得14y n ＋y n ＋1＋y n ＋2 2＝1. 又因为y n ＋4＝ y n ＋1＋y n ＋2 2 ， 所以y n ＋4＝1－y n 4，n ∈N * . (3)证明 因为b n ＋1＝y 4n ＋8－y 4n ＋4 ＝? ????1－ y 4n ＋44－? ?? ?? 1－y 4n 4 ＝－14(y 4n ＋4－y 4n )＝－1 4b n ， 又因为b 1＝y 8－y 4＝－1 4 ≠0，
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 第3讲 数列不等式的证明问题(选用) 高考定位 1.数列中不等式的证明是浙江高考数学试题的压轴题；2.主要考查数学归纳法、放缩法、反证法等数列不等式的证明方法，以及不等式的性质；3.重点考查学生逻辑推理能力和创新意识. 真 题 感 悟 (2017·浙江卷)已知数列{x n }满足：x 1＝1，x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)(n ∈N * ). 证明：当n ∈N * 时， (1)0＜x n ＋1＜x n ； (2)2x n ＋1－x n ≤ x n x n ＋1 2 ； (3)12n －1≤x n ≤12n － 2. 证明 (1)用数学归纳法证明：x n ＞0. 当n ＝1时，x 1＝1＞0. 假设n ＝k (k ≥1，k ∈N * )时，x k ＞0， 那么n ＝k ＋1时，若x k ＋1≤0，则0＜x k ＝x k ＋1＋ln(1＋x k ＋1)≤0，矛盾，故x k ＋1＞0，
因此x n ＞0(n ∈N * ). 所以x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)＞x n ＋1， 因此0＜x n ＋1＜x n (x ∈N * ). (2)由x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)得， x n x n ＋1－4x n ＋1＋2x n ＝x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1). 记函数f (x )＝x 2 －2x ＋(x ＋2)ln(1＋x )(x ≥0). f ′(x )＝2x 2 ＋x x ＋1 ＋ln () 1＋x ＞0(x ＞0)， 函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x )≥f (0)＝0， 因此x 2 n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1)＝f (x n ＋1)≥0， 故2x n ＋1－x n ≤ x n x n ＋1 2 (n ∈N * ). (3)因为x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)≤x n ＋1＋x n ＋1＝2x n ＋1， 所以x n ≥12x n －1≥122x n －2≥…≥12n －1x 1＝1 2n －1. 故x n ≥1 2n － 1. 由 x n x n ＋1 2 ≥2x n ＋1－x n 得 1 x n ＋1－12≥2? ???? 1x n －12＞0， 所以1x n －12≥2? ????1x n －1－12≥…≥2n －1? ????1x 1－12＝2n －2， 故x n ≤1 2n － 2.
高考压轴题瓶颈系列之——浙江卷数列 【见证高考卷之特仑苏】 1. 【2014年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b ()()* ∈=N n a a a n b n 2 2 1 . 若 {}n a 为等比数列，且.6,2231b b a +== (Ⅰ)求 n a 与 n b ； (Ⅱ)设() * ∈-= N n b a c n n n 1 1。记数列{}n c 的前n 项和为n S . （i ）求 n S ； （ii ）求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有n k S S ≥． 2. 【2011年.浙江卷.理19】（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列 {} n a 的首项 1a a = (a R ∈),设数列的前n 项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列 （Ⅰ）求数列 {} n a 的通项公式及 n S （Ⅱ）记 1231111 ...n n A S S S S = ++++ ， 212221111...n n B a a a a =++++，当2n ≥时，试比较 n A 与 n B 的大
3. 【2008年.浙江卷.理22】（本题14分）已知数列 {}n a ，0≥n a ，01=a ， 22111() n n n a a a n N ?+++-=∈． n n a a a S +++= 21)1()1)(1(1 )1)(1(11121211n n a a a a a a T +++++++++= ． 求证：当? ∈N n 时，（Ⅰ）1 + 绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数 学 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。满分150分。考试用时120分钟。 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。 参考公式： 若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B = 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 ()C (1) (0,1,2,,)k k n k n n P k p p k n -=-=L 台体的体积公式121 ()3V S S h = 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高 柱体的体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式1 3 V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 24S R =π 球的体积公式 34 3 V R =π 其中R 表示球的半径 选择题部分（共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1．已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则=U A e A ．? B ．{1，3} C ．{2，4，5} D ．{1，2，3，4，5} 2．双曲线2 21 3 =x y -的焦点坐标是 《备战2020年浙江省高考数学优质卷分类解析》 第六章数列与数学归纳法 数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显，小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等变难程度.往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要． 一．选择题 1.【浙江省台州市2019届高三上学期期末】已知公差不为零的等差数列满足，为数列 的前项和，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 设公差为，由得到， 整理得到，因，故， ，所以，故选A. 2.【浙北四校2019届高三12月模拟】已知数列是一个递增数列，满足，,，则=（） A． 4 B． 6 C． 7 D． 8 【答案】B 【解析】 当n=1时，则=2，因为， 可得=1或=2或=3， 当=1时，代入得舍去； 当=2时，代入得 ，即=2，， ，又是一个递增数列，且满足 当=3时，代入得不满足数列是一个递增数列，舍去. 故选B. 3.是首项为正数的等比数列，公比为q，则“”是“对任意的正整数，”（） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 设等比数列的首项为， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴“”是“”的必要不充分条件． 故选B． 数列 一、选择、填空题 1、 （2009杭州高中第六次月考）数列{n a }满足2 1 1=++n n a a )(*∈N n ， 12=a ，n S 是}{n a 的前n 项和，则21S 的值为 （ ） A ．92 B ．112 C ．6 D ．10 A 2、（2009杭州学军中学第七次月考）已知等差数列{}n a 通项公式为21n a n =-，在 12a a 与之间插入1个2,在23a a 与之间插入2个2，…，在1n n a a +与之间插入n 个2，…， 构成一个新的数列{}n b ，若10k a b =，则k = （ ） A 、45 B 、50 C 、55 D 、60 C 3、（2009嘉兴一中一模）各项都是正数的等比数列}{n a 中，2a ，32 1 a ，1a 成等差数列，则 4 35 4a a a a ++的值为（ ） （A ）215- （B ）215+ （C ）251- （D ）215-或2 1 5+ B 4、（2009桐庐中学下学期第一次月考）等比数列{an}的前n 项和为Sn ，若10S :5S 2 :1=， 则 15S : 5 S ＝ ( ▲ ) A.4:3 B 3:2 C. 2:1 D. 3:1 A 二、填空题 1、（2009金华一中2月月考）将正奇数排列如下表其中第 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 …… i 行第j 个数表示ij a ),(**N j N i ∈∈，例如 932=a ，若2009ij a =，则=+j i ． 60 2、（2009宁波十校联考）已知{}n a 是等差数列，12784,28a a a a +=+=，则该数列前10项和10S =________ 100 3、（2009台州市第一次调研）已知等差数列}{n a 中，，a 73=166=a ,将此等差数列的各项排成如下三角形数阵: 10987654321 a a a a a a a a a a 则此数阵中第20行从左到右的第10个数是 ▲ ． 598 二、解答题 1、（2009杭州二中第六次月考）数列{}n a 中，212,,a t a t ==其中0t ≠且1t ≠ ，x =函数 311()3[(1)]1(2)n n n f x a x t a a x n -+=-+-+≥的一个极值点． （Ⅰ）证明: 数列1{}n n a a +-是等比数列； （Ⅱ）求n a ． （1 ）由题意得0,f '=即1133[(1)]0n n n a t t a a -+-+-=， 11(),(2)n n n n a a t a a n +-∴-=-≥， ∴当1t ≠时，数列1{}n n a a +-是以2t t -为首项，t 为公比的等比数列， （2）211(),n n n a a t t t -+∴-=-即11,n n n n a t a t ++-=-10,n n a t a t ∴-=-= 第 1 页 共 4 页 2019年全国高考数学数列部分知识点考查分析 一、等差数列及其性质 1．（2019年全国Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知40S =，55a =，则( ) A ．25n a n =- B ．310n a n =- C ．228n S n n =- D ．21 22n S n n =- 2．（2019年全国Ⅲ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若10a ≠，213a a =，则105S S = ． 3．（2019年全国Ⅲ文）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若35a =，713a =，则10S = ． 4．（2019年北京理）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =-，510S =-，则5a = ，n S 的最小值为 ． 5．（2019年江苏）已知数列*{}()n a n N ∈是等差数列，n S 是其前n 项和．若2580a a a +=，927S =，则8S 的值是 ． 二、等比数列及其性质 1．（2019年全国Ⅲ文理）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3(a = ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 2．（2019年全国Ⅰ文）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，33 4 S =，则4S = ． 3.（2019年上海秋）已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2n n S a +=，则5S =______. 三、数列综合 1．（2019年全国Ⅰ文）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =-． （1）若34a =，求{}n a 的通项公式； （2）若10a >，求使得n n S a …的n 的取值范围． 2．（2019年全国Ⅱ理）已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +=-+，1434n n n b b a +=--． （1）证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列； （2）求{}n a 和{}n b 的通项公式． 3．（2019年全国Ⅱ文）已知{}n a 的各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和． 4．（2019年北京文）设{}n a 是等差数列，110a =-，且210a +，38a +，46a +成等比数列． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最小值． 5．（2019年天津文）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0．已知113a b ==，23b a =，3243b a =+． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； (三)数 列 1．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2n ＋3a n ＋2(t ∈R )． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1－b n ＝a n ＋1，求数列?? ????12b n ＋7n 的前n 项和T n . 解 (1)因为a 1＝S 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2n ＋3a n ＋2， 所以(t ＋1)S 1＝a 2 1＋3a 1＋2，所以t ＝5. 所以6S n ＝a 2n ＋3a n ＋2.① 当n ≥2时，有6S n －1＝a 2n －1＋3a n －1＋2，② ①－②得6a n ＝a 2n ＋3a n －a 2n －1－3a n －1， 所以(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0， 因为a n >0，所以a n －a n －1＝3， 又因为a 1＝1， 所以{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列， 所以a n ＝3n －2(n ∈N *)． (2)因为b n ＋1－b n ＝a n ＋1，b 1＝1， 所以b n －b n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *)， 所以当n ≥2时， b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝a n ＋a n －1＋…＋a 2＋b 1＝3n 2 －n 2 . 又b 1＝1也适合上式，所以b n ＝3n 2－n 2 (n ∈N *)． 所以12b n ＋7n ＝13n 2－n ＋7n ＝13·1n (n ＋2)＝16·? ?? ??1n －1n ＋2， 所以T n ＝16·? ?? ??1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2 ＝16·? ????32－1n ＋1－1n ＋2＝3n 2＋5n 12(n ＋1)(n ＋2). 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3，S 52 ，S 4成等差数列，a 5＝3a 2＋2a 1－2. (1)求数列{a n }的通项公式； 【步步高】（浙江专用）2017年高考数学 专题五 数列 第32练 数 列的概念及其表示练习 一、选择题 1．已知数列3，7，11，15，…，则53是数列的( ) A ．第18项 B ．第19项 C ．第17项 D ．第20项 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2 n2＋n ，则数列{a n }的第5项为( ) A ．5 B ．15 C.15 D.1 15 3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2 －3n ＋1，那么这个数列的通项公式是( ) A ．a n ＝4n －5 B ．a n ＝??? ?? 0， n ＝1， 4n －5， n≥2 C ．a n ＝4n －1 D ．a n ＝? ?? ?? 0， n ＝1， 4n －1， n≥2 4．(2015·洛阳一模)设a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则数列{a n }的最大项是( ) A ．107 B ．108 C.865 8 D ．109 5．(2015·深圳五校联考)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝5an －13 3an －7，则a 2 016等于( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．－1 6．(2015·合肥一模)已知a n ＝n －7 n －52，设a m 为数列{a n }的最大项，则m 等于( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 7．(2015·宁波期末考试)已知数列{a n }的前4项分别为2,0,2,0，则下列各式不可以作为 数列{a n }的通项公式的是( ) A ．a n ＝1＋(－1) n ＋1 B ．a n ＝2sin nπ 2 C ．a n ＝1－cos n π D ．a n ＝? ?? ?? 2，n 为奇数， 0，n 为偶数 8．(2015·安徽江南十校联考)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1 n )，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n 二、填空题 9．(2015·安庆教学检测)根据下面5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n 个图中有________个点． 取得最大值 n a ，则当n )78 2)(＋n (＝n a 的通项公式为}n a {已知数列)张家界统考(2015·．10时，n ＝________. － n (＝n a 1)·－n (2＋…＋3a 5＋2a 3＋1a 满足：}n a {数列)石家庄灵寿一中月考(2015·．11__. ______＝n a 的通项公式}n a {，则数列)* N ∈n 3(＋1 ＋n 1)·3 12．(2015·安徽江淮十校联考)已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意－ 2)＋n S (f ，且满足n S 项和为n 的前}n a {，若数列)y (f ＋)x (f ＝)y ·x (f 都有y ，x 的正数________. ＝n a ，则)* N ∈n (3)(f ＝)n a (f 数列求和—非常规通项常规求和方法 一、错位相减法 1、数列{}n a 满足12a =，1* 11(21)2(2)()n n n n n n a a a a n N ++++=-∈.{}n a （1） 求23,a a 的值； （2） 如果数列{}n b 满足2n n n a b =，求数列{}n b 的通项公式. 2、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若* 121()n n a S n N +=+∈. （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 在n a 和1n a +之间插入n 个实数，使得这n+2个数依次组成公差为n d 的等差数列， 设数列1n d ?? ???? 的前n 项和为n T ，求证：2n T <. 3、已知数列{}n a 的首项1a a =，前n 项和为n S ，且满足2 1324n n S S n n ++=++. （1） 若数列{}n a 为递增数列，求实数a 的取值范围； （2） 若11a =，数列{}n b 满足1111,()2n n n n n b b b a a -+=-?=+，求数列{}n b 的通项公式. 4、已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1232486,,,a a a a a a ++=成等比数列，若数列{}n b 满足 1*1223113 ...3,22 n n n b b b n N a a a +++++=?-∈. （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 求数列{}n b 的前n 项和n S . 5、对于数列{}n a ，我们把121121......n n n a a a a a a a --++++++++称为数列{}n a 的前n 项的对称和（规定：{}n a 的前1项的对称和等于1a ）.已知等差数列{}n c 的前n 项的对称和等于2 * 2,n n t n N ++∈. （1） 求实数t 的值； （2） 求数列2n n c ?? ???? 的前n 项的对称和. 6、已知正项数列{}n a 满足：11a =，* 121()n n a a n N +-=∈. （1） 求证：{}+1n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2） 若数列{}n b 满足：11b a =，且数列11n n n b b a +??-? ?+?? 的前n 项和为1 12n -，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 理科数学答案解析 选择题部分 一、选择题 1.【答案】B 【解析】2{|}{Q x x 4x |x 2x 2}=∈≥=∈≥≤R R 或﹣ ，即有R {|Q x 2}x 2-=∈< 【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“x ?∈R ，n ?∈*N ，使得2n x ≥”的否定形式是： x ?∈R ，n ?∈*N ，使得2n x <.故选：D ． 【提示】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【考点】命题的否定． 5.【答案】B 【解析】∵设函数2f (x)sin x bsinx c =++， ∴c 是图像的纵坐标增加了c ，横坐标不变，故周期与c 无关， 当b 0=时，211f (x)sin x bsinx c cos2x c 22=++=-++的最小正周期为2π T π2 = =， 当b 0≠时，11 f x cos2x bsinx c 22 =-+++（） ， ∵y cos2x =的最小正周期为π，y bsinx =的最小正周期为2π， ∴f (x)的最小正周期为2π， 故f (x)的最小正周期与b 有关，故选：B. 【提示】根据三角函数的图像和性质即可判断 【考点】三角函数的周期性及其求法． n d h ，可得 【提示】设锐角的顶点为O ，1|OA |a =，1|OB |b =，n n 1n 1n 2A A A |||A b |+++==，n n 1n 1n 2B B B |||B d |+++==， 2006年至2020年历年浙江高考数学压轴题数列 2020年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学 20.已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，111112 1,,()n n n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-= ?∈*N ． （Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比0q >，且1236b b b +=，求q 与a n 的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差0d >，证明：1211n c c c d +++<+ ． 20．（本题满分15分）已知等比数列{a n}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项．数列 {b n}满足b1=1，数列{（b n+1?b n）a n}的前n项和为2n2+n． （Ⅰ）求q的值； （Ⅱ）求数列{b n}的通项公式． 22．（本题满分15分）已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（）． 证明：当时， （Ⅰ）0＜x n +1＜x n ； （Ⅱ）2x n +1? x n ≤； （Ⅲ）≤x n ≤ ． * ∈N n * ∈N n 1 2n n x x +1 12 n +2 1 2 n + 2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学 20.（本题满分15分）设数列{}n a 满足1 12 n n a a +-≤，n *∈N ． （I ）证明：() 1122n n a a -≥-，n * ∈N ； （II ）若32n n a ??≤ ??? ，n *∈N ，证明：2n a ≤，n * ∈N ． 2018年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷） 数 学 本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。满分150分。考试用时120分钟。 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。 参考公式： 若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B = 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概 率()C (1) (0,1,2,,)k k n k n n P k p p k n -=-= 台体的体积公式121 ()3 V S S h = 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高 柱体的体积公式V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式1 3 V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 24S R =π 球的体积公式 34 3 V R =π 其中R 表示球的半径 选择题部分（共40分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则=U A e A ．? B ．{1，3} C ．{2，4，5} D ．{1，2，3，4， 2021届高三数学一轮复习典型题专项训练 数列 一、选择、填空题 1、（温州市2019届高三8月适应性测试）已知数列}{n a 中的各项都小于1，2 11= a ，n n n n a a a a -=-++2 1212)(*N n ∈，记n n a a a a S ++++= 321，则∈10S （ ） A. )21 ,0( B. )4321(， C. )1,4 3( D. )2,1( 2、（金丽衢十二校2019届高三第一次联考）等比数列｛a n ｝的前n 项和为Sn ，己知S 2＝3，S 4＝15，则S 3＝（ ） A. 7 B 、－9 C 、7或－9 D 、 638 3、（浙江省名校协作体2019届高三上学期第一次联考）已知公差为d 的等差数列}{n a 的前n 项和 为n S ，若存在正整数0n ，对任意正整数m ，000?+n n a a D. 02100>?++n n a a 4、（七彩阳光联盟2019届高三上学期期初联考）设实数,,b c d 成等差数列，且它们的和为9，如果 实数,,a b c 成等比数列，则a b c ++的取值范围为（ ） A. 9(,)4+∞ B. 9(,)4-∞ C. 9[,3) (3,)4+∞ D. 9 (,3)(3,)4 -∞-- 5、（温州九校2019届高三第一次联考）已知数列}{n a 的通项) 1()12)(1(+++=nx x x nx a n ， *N n ∈，若12018321<++++a a a a ，则实数x 可以等于（ ） A. 32- B. 125- C. 4813- D. 60 11 - 6、（嘉兴市2019届高三上学期期末检测）已知等比数列{a n }的各项均为正，且 5a 3 , a 2 , 3a 4成等差数列，则数列{a n }的公比是 A 、 12 B 、2 C 、1 3 D 、3 7、（丽水、衢州、湖州三地市2019届高三上学期期末）已知数列{a n }满足a 1＝2，a n +1＝2a n ﹣1（n ∈N *），则数列{a n }是 数列（填“递增”或“递减”），其通项公式a n ＝ ． 8、（宁波市2019届高三上学期期末考试）数列 满足，，则数列 第3讲 数列的综合问题 [考情考向分析] 1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.与数列有关的不等式的证明问题是高考考查的一个热点，也是一个难点，主要涉及到的方法有作差法、放缩法、数学归纳法等． 热点一 利用S n ，a n 的关系式求a n 1.数列{a n }中，a n 与S n 的关系 a n ＝??? ?? S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2. 2．求数列通项的常用方法 (1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式． (2)在已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用累加法求数列的通项a n . (3)在已知数列{a n }中，满足a n ＋1 a n ＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用累乘法求数列的通项a n . (4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)． 例1 (2018·浙江)已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3＋a 4＋a 5＝28，a 4＋2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1＝1，数列{(b n ＋1－b n )a n }的前n 项和为2n 2 ＋n . (1)求q 的值； (2)求数列{b n }的通项公式． 解 (1)由a 4＋2是a 3，a 5的等差中项， 得a 3＋a 5＝2a 4＋4， 所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＋4＝28，解得a 4＝8. 由a 3＋a 5＝20，得8? ?? ??q ＋1q ＝20， 解得q ＝2或q ＝1 2. 因为q >1，所以q ＝2. (2)设c n ＝(b n ＋1－b n )a n ，数列{c n }的前n 项和为S n . 由c n ＝? ?? ?? S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，解得c n ＝4n －1(n ∈N * )． 由(1)可得a n ＝2 n －1 ， 所以b n ＋1－b n ＝(4n －1)×? ????12n －1 ， 故b n －b n －1＝(4n －5)×? ?? ??12n －2 ，n ≥2， b n －b 1＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 3－b 2)＋(b 2－b 1)＝(4n －5)×? ???? 12n －2＋(4n －9)×? ?? ??12 n －3 ＋…＋7×1 2 ＋3. 设T n ＝3＋7×12＋11×? ????122＋…＋(4n －5)×? ?? ??12n －2 ，n ≥2，① 则12T n ＝3×12＋7×? ????122＋…＋(4n －9)×? ????12n －2＋(4n －5)×? ????12n －1 ，n ≥2，② ①－②，得12T n ＝3＋4×12＋4×? ????122＋…＋4×? ????12n －2－(4n －5)×? ?? ??12n －1，n ≥2， 因此T n ＝14－(4n ＋3)×? ?? ??12n －2 ，n ≥2. 又b 1＝1，所以b n ＝15－(4n ＋3)×? ?? ??12n －2 ，n ≥2， 当n ＝1时，b 1＝1也满足上式， 所以b n ＝15－(4n ＋3)×? ?? ??12n －2，n ∈N * . 思维升华 给出S n 与a n 的递推关系，求a n ，常用思路：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为 a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再 求a n . 浙江专版2020年【高考】数学第1部分重点强化专题专题2数列突破点4等差数列等比数 列教学案 2020-12-12 【关键字】方法、条件、问题、务必、充分、建立、研究、网络、热点、思想、重点、能力、载体、方式、关系、分析、满足、强化、解决、提高、核心 建知识网络明内在联系 [高考点拨]数列专题是浙江新高考的必考专题之一，主要考查等差、等比数列的基本量运算及数列求和的能力，该部分即可单独命题，又可与其他专题综合命题，考查方式灵活多样，结合浙江新高考的命题研究，本专题我们按照“等差、等比数列”和“数列求和及综合应用”两条主线展开分析和预测． 突破点4 等差数列、等比数列 (对应学生用书第16页) [核心知识提炼] 提炼1等差数列、等比数列的运算 (1)通项公式 等差数列：a n＝a1＋(n－1)d； 等比数列：a n＝a1·q n－1. (2)求和公式 等差数列：S n ＝ n a 1＋a n 2 ＝na 1＋ n n －1 2 d ； 等比数列：S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)． (3)性质 若m ＋n ＝p ＋q ， 在等差数列中a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 在等比数列中a m ·a n ＝a p ·a q . 提炼2等差数列、等比数列的判定与证明 数列{a n }是等差数列或等比数列的证明方法： (1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法 ①利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N * )为同一常数； ②利用中项性质，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (2)证明{a n }是等比数列的两种基本方法 ①利用定义，证明 a n ＋1a n (n ∈N * )为同一常数； ②利用等比中项，即证明a 2 n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2). 提炼3数列中项的最值的求法 (1)根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数f (n )＝a n ，利用求解函数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解，但要注意自变量的取值必须是正整数的限制． (2)利用数列的单调性求解，利用不等式a n ＋1≥a n (或a n ＋1≤a n )求解出n 的取值范围，从而确定数列单调性的变化，进而确定相应的最值． (3)转化为关于n 的不等式组求解，若求数列{a n }的最大项，则可解不等式组 ? ?? ?? a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1；若求数列{a n }的最小项，则可解不等式组? ?? ?? a n ≤a n －1， a n ≤a n ＋1，求出n 的取值范围 之后，再确定取得最值的项． [高考真题回访] 回访1 等差数列及其运算 1．(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋ S 6>2S 5”的( ) 【导学号：68334059】 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 (2017年新课标Ⅰ) 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C 【解析】设公差为d ，则有11 2724 ,61548a d a d +=?? +=?解得4d =，故选C. ( 2017年新课标Ⅱ卷理) 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 【答案】B 【解析】塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由 ()71238112 x -=-可得3x =，故选B 。 ( 2017年新课标Ⅱ卷理) 15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11 n k k S ==∑ ． 【答案】 21 n n + 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，所以1123 434102 a d a d +=?? ??+=?? ，解得111a d =??=? ，所以()1,2n n n n a n S +==，那么 ()121 1211n S n n n n ??==- ?++?? ，那么 11111111221......21223111n k k n S n n n n =????????? ?=-+-++-=-= ? ? ? ?? ?+++???? ??????∑ . 14．(2017年新课标Ⅲ卷理)设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________． 【答案】8- 【解析】由题意可得：()()12 11113 a q a q ?+=-??-=-?? ，解得：112a q =??=-? ，则3 418a a q ==- (2017年新课标Ⅲ卷理) 9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．-24 B ．-3 C ．3 D ．8 【答案】A 【解析】设等差数列的公差为0d ≠，()()()2 2 32612115a a a d d d =??+=++，22d d =-，()0d ≠，所以2d =-， ()665 612242 S ?=?+ ?-=-，故选A. 2017年高考数学——数列（解答+答案） 1.（17全国1文17．（12分）） 记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。 2.（全国2文17.（12分）） 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为1,1n T a =-，11b =，222a b +=. （1）若335a b += ，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S . 3.（17全国3文17．（12分）） 设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n +++-=K . （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}21 n a n +的前n 项和. 已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11242451,10,a b a a b b a ==+==． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++K ． 5.（17天津理18.（本小题满分13分）） 已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n * ∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大 于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =. （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n * ∈N . 6.（17江苏19.（本小题满分16分）） 对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足： 1111......2n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-++++++++=，对任意正整数()n n k >总成 立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”. （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”； （2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列.2018年度浙江数学高考试题(整理汇编含标准答案)
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