求值域的10种方法

求函数值域的十种方法

一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1．求函数1y =

的值域。

【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。

【练习】

1．求下列函数的值域：

①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(；

③1

+=

x x

y ；

○

4()112

--=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。 【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)

(1,)-∞+∞；○4{1,0,3}-。

二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如

2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

…

例2．求函数2

42y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。

【解析】22

42(2)6y x x x =-++=--+。

∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴2

1(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。 ∴函数2

42y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。

例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。

【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：

)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得

][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ⎡∈⎣。

说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(≥x f 。

例4．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。

【分析与解】本题可看成第一象限内动点(,)P x y 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得：

2(0,4),(0,2),lg lg lg lg[(42)]lg[2(1)2]x y x y xy y y y ∈∈+==-=--+而，y=1时，y x lg lg +取最大

值2lg 。

（

【练习】

2．求下列函数的最大值、最小值与值域：

①142+-=x x y ；

②]4,3[,142∈+-=x x x y ； ③]1,0[,142∈+-=x x x y ；

④]5,0[,142

∈+-=x x x y ；○5x

x x y 4

22++=，]4,41[∈x ；○6y =。

【参考答案】①[3,)-+∞；②[2,1]-；③[2,1]-；④[3,6]-；○573

[6,

]4

；○6[0,2] 三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的

值域。

适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。

例5．求函数1

2+=

x x

y 的值域。 分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x ，从而便于求出反函数。

1

2+=

x x

y 反解得y y x -=2，故函数的值域为(,2)(2,)-∞+∞。

【练习】

）

1．求函数23

32

x y x +=

-的值域。

2．求函数ax b y cx d +=

+，0,d c x c ⎛

⎫≠≠- ⎪⎝

⎭的值域。

【参考答案】1．2

2(,)

(,)3

3-∞+∞；(,)(,)a a

c c

-∞+∞。

四．分离变量法：

适用类型1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。

例6：求函数125

x

y x -=

+的值域。 解：∵177(25)112222525225x x y x x x -++

-===-++++， ∵7

2025

x ≠+，∴12y ≠-，∴函数125x y x -=+的值域为1

{|}2y y ≠-。

适用类型2：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式。

例7：求函数1

22+--=x x x

x y 的值域。

分析与解：观察分子、分母中均含有x x -2

项，可利用分离变量法；则有2222

11

11

x x x x y x x x x --+-==-+-+ 21

113()24

x =-

-+

。 （

不妨令：)0)(()(1)(,43)2

1

()(2

≠=+

-=x f x f x g x x f 从而)∞+⎢⎣⎡∈,4

3)(x f 。 注意：在本题中若出现应排除0)(=x f ，因为)(x f 作为分母.所以4()0,3g x ⎛⎤∈ ⎥⎦⎝

故)1,31

⎢⎣⎡-∈y 。 另解：观察知道本题中分子较为简单，可令22211

1x x t x x x x -+==+--，求出t 的值域，进而可得到y 的

值域。 【练习】

1．求函数1

3

2222++++=x x x x y 的值域。

【参考答案】1．10(2,

]3

五、换元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方

法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。