选修4-4平面直角坐标系(课堂PPT)

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定义:
设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换:
:
x y
' '
x y
( 0) ( 0)
称 为平面直角坐标系中的伸缩变换。
上述①②③都是坐标伸缩变换，在它们的作用下, 可以实现平面图形的伸缩。
① 0,0
②把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换 可以用坐标伸缩变换得到；
设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标 x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P ′(x ′,y ′) 坐标对应关系为：
x x
y
3
y
②
我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换. 13
怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?
y
在正弦曲线y=sinx上任取一
例1.已知△ABC的三边a, b, c满足y b2+c2=5a2,BE,CF
分别为边AC, CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系
探究BE与CF的位置关系。
C
解：以△ABC的顶点Ａ为原
点Ｏ,边AB所在的直线x轴，建立
E
直角坐标系，由已知，点A、B、 (A)
F的坐标分别为
O
F
Bx
由b2+c2=5a2，|AC|2+|AB|2=5|BC|2， 即x2+y2+c2=5[(x-c)2+y2]， 所以2x2+2y2+2c2-5cx=0.
点，P是以O为端点的动弦的中点，
求A、P间的最短距离
O
分析:以O为原点，OC所在直线为x轴 建立坐标系
P
D
C
x
A
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小结：求轨迹方程的常用方法 1、直接法 2、定义法 3、相关点法 4、参Байду номын сангаас法
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平面直角坐标系 中的伸缩变换
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思考：y 怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
2
O
x
上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换 即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，
因为BE
CF
所以 BECF
因此，BE与CF互相垂直.
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例1.已知△ABC的三边a, b, c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别 为边AC, CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究 BE与CF的位置关系。
还可怎么建立直角坐标系?
y
分析:以AB所在直线为x轴，AB边上的高 C
所在直线为y轴建立直角坐标系
点P(x, y)，保持纵坐标不变，将
横坐标x缩为原来的1/2;
O
x
在此基础上，将纵坐标变为原来 的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.
即在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，若设点P(x,y) 经变换得到点为P’(x’, y’)，坐标对应关系为:
x
1
x
2 ③
y 3 y
把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换
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例2 圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|=4，过动点P 分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN (M、N分别为切点), 使得PM= 2 PN，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹
方程。
解：以直线O1O2为x轴，线段
yP
O1O2的垂直平分线为y轴，建立平 M 面直角坐标系，
NX
则两圆的圆心坐标分别为
3
得到经过伸缩变换后的图形的方程是 xy0
(2)将
x
y
1
2 1
x
代入x2+y2=1，
y
3
O1 O
O2
O1(-2, 0)，O2(2, 0)，设P(x, y)
则PM2=PO12-MO12= (x2)2y21
同理，PN2= (x2)2y21
(x2)2y212[x (2)2y21]
x21x 2y230, (x6)2y23,3 8
练习：CA、CO为半径为1的圆C上 y
互相垂直的两条半径，A、O为定
第一讲 坐标系 平面直角坐标系
1
复习平面直角坐标系基本结论: 1、两点间的距离公式: 2、中点坐标公式 3、点到直线距离公式 4、直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义与方程
2
声响定位问题
观测点
某中心接到其正东、
正西、正北方向三个观测 点的报告：正西、正北两
观测点 信息中心
个观测点同时听到一声巨
y
设P（x, y）为巨响为生点， 由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，
y C
故P在BC的垂直平分线PO上，
P
答:因P巨即 OA响P 的点(发 方比6 生程B在点为8 5 信晚y,6 =息0 4－s中听x8 ，5 心到)的0 爆故 ,西炸P 偏声 北，O 6 4508 ,1 距B中0 0 心6o80 1A 0mx
E
设A(m, 0), B(n, 0), C(0,p) 求出CF、BE的斜率即可
A
FO B x
6
坐标法 建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系，
注意以下原则： (1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
③在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直
角坐标系下进行伸缩变换。
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例1 在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形
经过伸缩变换: x 2 x
y
3
y
后的图形。
(1) 2x+3y=0;
(2) x2+y2=1
解：(1)由伸缩变换
x y ；
2x 3y
x
得到
y
1
2 1
x y
代入 2x+3y=0;
x
1
x
2
①
y y
我们把①式叫做平面直角坐 标系中的一个坐标压缩变换。 12
怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?y
在正弦曲线上任取一点P(x, y),
保持横坐标x不变，将纵坐标伸长
2
为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。 O
x
上述变换实质上就是一个坐标的伸长变换
即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，
响，正东观测点听到巨响
的时间比其他两个观测点
C
晚4s，已知各观测点到中
心的距离都是1020m，试
P
确定该巨响的位置。(假定
当时声音传播的速度为
340m/s，各相关点均在同 B
O
一平面上).
观测点
Ax
3
以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角 坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，
则 A(1020, 0), B(－1020, 0), C(0, 1020)
故|PA|－ |PB|=340×4=1360
由双曲线定义P点在以A, B为焦点的双曲线
x2 a2
y2 b2
1
上
a=680, c=1020, b2=c2-a2=10202-6802=5×3402.
所以双曲线的方程为：
x2
y2
1(x0)
682053420
用y=－x代入上式，得 x685 0,y685 0, 4