沪科版九年级下册数学 24.2 圆的基本性质 第二课时 垂径定理 (共22张PPT)

⑵垂径定理也可理解为，如果一条直线，它具有两个性质：
①经过 圆心 ； ② 垂直 于弦.那么这条直线就：
③ 平分 这条弦， ④平分 弦所对的劣弧； ⑤平分 弦所对的优弧.
探究四
灵活运用
例1：如图，⊙O 的半径是5cm，
弦AB为6cm。求圆心O到弦AB的 距离。
分析：过O作OE⊥AB于E,连接OA, 将问题转化为解直角三角形，利用勾
２、从方法上学习了什么？
（１）垂径定理和勾股定理结合。 （２）在圆中解决与弦有关的问题时常作的辅助线
——过圆心作垂直于弦的线段； ——连接半径。
谢谢，再见!
在我的印象里，他一直努力而自知，每天从食堂吃饭后，他总是习惯性地回到办公室看厚厚的专业书不断提升和充实自己，他的身上有九零后少见的沉稳。同事们恭喜他，大多看 到了他的前程似锦，却很少有人懂得他曾经付出过什么。就像说的：“如果这世上真有奇迹，那只是努力的另一个名字，生命中最难的阶段，不是没有人懂你，而是你不懂自已。” 而他的奇迹，是努力给了挑选的机会。伊索寓言中，饥饿的狐狸想找一些可口的食物，但只找到了一个酸柠檬，它说，这只柠檬是甜的，正是我想吃的。这种只能得到柠檬，就说 柠檬是甜的自我安慰现象被称为：“甜柠檬效应”。一如很多人不甘平庸，却又大多安于现状，大多原因是不知该如何改变。看时，每个人都能从角色中看到自已。高冷孤独的安 迪，独立纠结的樊胜美，乐观自强的邱莹莹，文静内敛的关睢尔，古怪精灵的曲筱绡。她们努力地在城市里打拼，拥有幸或不幸。但她依然保持学习的习惯，这样无论什么事她都 有最准确的判断和认知；樊胜美虽然虚荣自私，但她努力做一个好HR，换了新工作后也是拼命争取业绩；小蚯蚓虽没有高学历，却为了多卖几包咖啡绞尽脑汁；关睢尔每一次出镜 几乎都是在房间里戴着耳机听课，处理文件；就连那个嬉皮的曲筱潇也会在新年之际为了一单生意飞到境外……其实她们有很多路可以走：嫁人，啃老，安于现状。但每个人都像 个负重的蜗牛一样缓缓前行，为了心中那丁点儿理想拼命努力。今天的努力或许不能决定明天的未来，但至少可以为明天积累，否则哪来那么多的厚积薄发和大器晚成？身边经常 有人抱怨生活不幸福，上司太刁，同事太蛮，公司格局又不大，但却不想改变。还说：“改变干嘛？这个年龄了谁还能再看书考试，混一天是一天吧。”一个“混”字就解释了他 的生活态度。前几天我联系一位朋友，质问为什么好久不联系我？她说自已每天累的像一条狗，我问她为什么那么拼？她笑：“如果不努力我就活得像一条狗了。”恩，新换的上 司，海归，虽然她有了磨合几任领导的经验，但这个给她带来了压力。她的英语不好，有时批阅文件全是大段大段的英文，她心里很怄火，埋怨好好的中国人，出了几天国门弄得 自己像个洋鬼子似的。上司也不舒服，流露出了嫌弃她的意思，甚至在一次交待完工作后建议她是否要调一个合适的部门？她的脸红到了脖子，想着自己怎么也算是老员工，由她 羞辱？两个人很不愉快。但她有一股子倔劲，不服输，将近40岁的人了，开始拿出发狠的学习态度，报了个英语培训班。回家后捧着英文书死啃，每天要求上中学的女儿和自己英 语对话，连看电影也是英文版的。功夫不负有心人，当听力渐渐能跟得上上司的语速，并流利回复，又拿出漂亮的英文版方案，新上司看她的眼光也从挑剔变柔和，某天悄悄放了 几本英文书在她桌上，心里突然发现上司并没那么讨厌。心态好了，她才发现新上司的优秀，自从她来了后，部门业绩翻了又翻，奖金也拿到手软，自己也感觉痛快。她说：这个 社会很功利，但也很公平。别人的傲慢一定有理由，如果想和平共处，需要同等的段位，而这个段位，自己可能需要更多精力，但唯有不断付出，才有可能和优秀的人比肩而立。 人为什么要努力？一位长者告诉我：“适者生存。”这个社会讲究适者生存，优胜劣汰。虽然也有潜规则，有套路和看不见的沟沟坎坎，但一直努力的人总会守得云开见月明。有 些人明明很成功了，但还是很拼。比如剧中的安迪，她光环笼罩，商场大鳄是她的男闺蜜，不离左右，富二代待她小心呵护，视若明珠，加上她走路带风，职场攻势凌历，优秀得 让身边人仰视。这样优秀的人，不管多忙，每天都要抽出两个小时来学习。她的学习不是目的，而是能量，能让未来的自己比过去更好一些。现实生活中，努力真的重要，它能改 变一个人的成长轨迹，甚至决定人生��
,
径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧.
已知:如图在⊙O中，CD是直径，AB是弦， CD⊥AB，垂足为E．
垂径定理
证明： 连接OA,OB，则OA=OB. ∵CD⊥AB于E，AE=BE.
∵⊙O关于直径CD对称,
定理剖析
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对 的两条弧。
题设
直径（或过圆心的直线） 垂直于弦
问
桥拱图案是圆弧形，那么这段弧是
题
轴对称图形吗？圆也有这个性质吗？
探究一
拿出一个准备好 的圆形纸片，你 用什么方法快速 找到圆心？再重 复做几次，你会 发现什么？
探究发现 圆的轴对称性
●O
任意两条折痕的交点就是圆心. 圆是轴对称图形. 其对称轴是任意一条过圆心的直线.
, 探究二
拿出一个准备好的圆形纸片，按下列步 骤操作：
股定理解决问题.
圆心到弦的距离叫 弦心距。
·O
E
A
B
巩固提高 1、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆
. 心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径
2、已知：如图1，若以O为圆心作一个⊙O的
. 同心圆，交大圆的弦AB于C，D两点 求证：AC＝BD.
变式：再添加一个同心圆，得（图2）则AC BD （写出答案，不证明）
E点还是AB的中点吗？
A•
C,D还是AB所对的两段弧
的中点吗？
•C
•O
•
E•┐
•B
•D
探究发现 • 垂径分弦
我们发现， CD⊥AB，则：
你能用一句话把这个结论概括出来吗？
猜想：如果圆的一条直径垂直于 一条弦，那么这条直径平 分这条弦，且平分这条弦 所对的两条弧.
验证猜想 如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直
P是弦AB上任意一点，求OP的取值范围.
方法归纳
1.垂径定理经常和勾股定理结合使用。 2.解决有关弦的问题时，经常 （1）连结半径； （2）过圆心作一条与弦垂直的线段（弦心 距）等辅助线，为应用垂径定理创造条件。
课堂小结 请围绕以下两个方面小结本节课：
1、从知识上学习了什么？
圆的轴对称性；垂径定理及其应用
（1）对折，画出折痕CD；
（2）在半圆形纸片上任意选一点，用笔标记， 摊平在记号标上A,B，连接AB交CD于E点。
C
观察折痕CD与AB的位置关
系，你有什么发现？图中
O
有哪些相等关系？
A
E
B
D
探究二
（3）操作：CD是圆0的 直径，过直径上任一点E 作弦AB⊥CD，将圆0沿CD 对折，比较图中的线段和 弧，你有什么发现？
知识梳理
A
B E O
解决有关弦的问题，常用的方法有： （1）过圆心作弦的垂线（弦心距）；（2）作垂 直于弦的直径；（3）连接半径 目的都是为利用垂径定理创造条件
探究五 再逛赵州桥解决求桥拱半径的实际问题
赵州石拱桥的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m． 你能根据大桥提 供的数据计算它的半径吗？（精确到0.1m）
义务教育教科书（沪科）九年级数学下册
第24章 圆
第2课时 垂径分弦
实际问题 赵州桥主桥拱的半径是多少？
这幅照片是我国隋代建造的一座石拱桥，位于河北省赵县的 洨河上，因此习惯称为赵州石拱桥，据今已经1300多年了，是我 国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度 （弧所对的弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2m． 你能根据大桥提供的数据计算它的半径吗？
解决问题 分析：如图，用弧AB表示主桥拱。设弧AB所在圆的圆心为O,半径 为R.经过圆心O作弦AB 的垂线OC,D为垂足，OC与AB交于点D,则根 据垂径定理，D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高，将问 题转化为解直角三角形问题：
37.4
解：如图，设半径为R，
C
AABD=3127.A4B,C2D12=737. .4 18.7,
7.2
A
18.7
R
D
R-7.2
B
OD OC DC R 7.2.
在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD2 ,
O
即R2 18.72 (R 7.2)2.
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
巩固提高
1、见教材第17页练习第3题
2、（学有余力）已知⊙O的半径为13，弦AB=24，
结论
平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧
Байду номын сангаас 常用形式 语言表示：
符号语言
CD是直径 CD⊥AB
A
AE ＝ BE A⌒C＝B⌒C ⌒AD＝B⌒D
O
E
B
D
图形语言
探究三
在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
D A
B
E
A
O
E AC
A
CE O B
B C
O
O
E
C
D B
AE D
B
O
D D
O
AE
B
C
探究发现
⑴垂径定理中的垂径可以是 直径、半径 或过圆心的直线或 线段 ，其本质是 “过圆心”.