作业: 利用单调性判断下列各值的大小。
(1)1.30.5与1.50.5 (2)5.12与5.092
1
1
(3) 1.794 与 1.814
x
1
2的定义域是(0,
)
且在定义域上是减函数,
0 3 2m m 4
1 m 3 ,即为m的取值范围.
3
2
理论
归纳：幂函数 y=xa 在第一象限的图象特征
y
1 0
指数大于1,在第一象限为
a>1
抛物线型（凹）；
a=1
指数等于1,在第一象限为
0<a<1 上升的射线；
限内的图象，已知 k分别取 1,1, 1 , 2 四个 2
值，则相应图象依次为:__C4__C_2__C_3 C1
1
一般地，幂函数的图象在直线x=1
的右侧，大指数在上，小指数在下，
在Y轴与直线x =1之间正好相反。
例3
若m
4
1 2
3
2m
1 2
,
则求m的取值范围.
解:
幂函数f
(x)
小结： 幂函数的性质:
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随 常数α取值的不同而不同.
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1);
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数.
3.如果α>0,则幂函数 在(0,+∞)上为增函数;
α>1a=1
0<α<1
如果α<0,则幂函数
α<0
在(0,+∞)上为减函数。
1
y x2
(5)
y x1
函数 y x的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
函数 y x2 的图像
定义域： R
值 域：[0,)
奇偶性：在R上是偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
在(,0]上是减函数
函数 y x1 的图像
定义域：{x x 0} 值 域：{y y 0}
并且是偶函数，求m的值。
m2 3m 3 1 解之得: m 2或m 1
又因为f (x)是偶函数
m 1不符合题意， 舍去
m 2
练习3：已知幂函数f(x)的图像经过点（3，27）， 求证：f(x)是奇函数。
证明: 设所求的幂函数为y x 函数的图像过点(3，27)
27 3 ,即33 3
3
f (x) x3
f (x)的定义域为R， f (x) (x)3 x3
f (x) f (x)
f (x)是奇函数
二、五个常用幂函数的图像和性质
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
(4)
(5) y 1 x
思考：指数函数y=ax与幂 函数y=xα有什么区别？
答案（2）（5）
二、幂函数与指数函数比较
名称
式子
常数
x
y
指数函数: y=a x
（a>0且a≠1)
幂函数: y= xα
a为底数 α为指数
指数 底数
幂值 幂值
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看未知数x是指数还是底数
指数函数
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1)
-2
幂函数的图象都通过点(1,1) α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
-3 在第一象限内，
a >0,在(0,+∞)上为增函数; -4 a <0,在(0,+∞)上为减函数.
下列结论中正确的是
A 幂函数图像都经过点（0,0），（1,1） B幂函数图像不可能出现在第四象限 C 当n＞0的时候，幂函数y=xn的值随x的增
高中数学必修 ①人教版A
§2.3幂函数
一、幂函数的定义：
一般地，我们把形如 y x 的函数叫做
幂函数，其中 x为自变量， 为常数。
y x 中 x前面的系数是1，后面没有其它项。
练习1：判断下列函数哪几个是幂函数？
（1）y 3x; (2) y x2; (3) y 2x2; (4) y x2 1;
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常 数α取值的不同而不同.
1
y = x y = x2 y= x3 y x 2
y x1
定义域 R 值域 R
R
R [0，+∞） ，0 （0，+）
[0，+∞） R [0，+∞） ，0 （0，+）
奇偶性 奇函数 偶函数
奇函数
非奇非偶 函数
… -2 -1 0 1 2 3 4 …
… -8 -1 0 1 8 27 64 …
… / / 0 1 2 3 2…
y 8
y=x3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6
4
1
2
y=x 2
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-2
-4 -6 -8
函数 y x3 的图像
定义域： R 值 域： R
奇偶性：在R上是奇函数 单调性：在R上是增函数
指数大于0小于1,在第一象
a<0
限为抛物线型（凸）； 指数等于0,在第一象限为
1
x 水平的射线；
指数小于0,在第一象限为
双曲线型；
归纳：幂函数图象在第一象限的分布情况
1 0
0 1
0 1
0
1
在上 (1,) 任取一点
作 x 轴的
垂线，与
幂函数的
图象交点
越高，
的值就越 大。
奇函数
在（－∞,0] 在R上 上是减函 单调性 是增函 数，在(0, 数 +∞）上是
增函数
公共点
在R上 是增函 数
在(0，+∞) 上是增函数
（1，1）
在( －∞,0)， (0, +∞）上是 减函数
下面将5个函数的图像画在同一坐标系中
(1) y x (2) y x2 (3) y x3
(4)
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3 (3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
比较各组数的大小
1
1
1
(1)1.12 ,1.42 ,1.13
1
1
2
(2)2.54 ,2.64 ,0.83
练习3: 如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象
1
y x2
(5)
y x1
y x2
(-2,4)
y x3
4
(2,4)
3
y=x
2
(-1,1) 1
(1,1)
1
y x2
-4
-2
2
4
6
y x 1 (-1,-1) -1
-2
-3
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
幂函数
例1:已知f (x) m2 m 1 x2m3是幂函数，
求m的值。
例2：已知函数 f (x) m2 3m3 xm22
是幂函数,并且是偶函数， 求m的值。
例1:已知f (x) m2 m 1 x2m3是幂函数，
求m的值。
解:因为f (x)是幂函数
大而增大。 D 当n=0的时候，幂函数y=xn的图像是一条
直线。
练习：利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3-2与 0.30.3-2
(3) 2.5 5 与2.7 5
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 (2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
奇偶性：在{x x 0}上是奇函数 单调性：在(0,)上是减函数
在(,0)上是减函数
1
如何画y x3和y x 2的图像呢 ?
1
函数 y x 2 的图像
定义域： [0,)
值 域： [0,)
奇偶性： 非奇非偶函数
单调性：在[0,)上是增函数
x y=x3
y=x1/2
m2 m 1 1
解之得: m 2或m 1
m 2或m 1
快速反应
y 0.2x
（指数函数）
y x1
（幂函数）
y 3x
（指数函数）
1
y x2
（幂函数）
y 5x
（指数函数）
y5 x
（幂函数）
练习1：
已知函数 f (x) m2 3m 3 xm22 是幂函数,
