第二章 连续时间系统的时域分析
第一讲 微分方程的建立与求解
一、微分方程的建立与求解
对电路系统建立微分方程，其各支路的电流、电压将为两种约束所支配： 1.来自连接方式的约束：KVL 和
KIL ，与元件的性质无关。
2.来自元件伏安关系的约束：与元件的连接方式无关。
例2-1 如图
2-1所示电路，激励信号为，求输出信号。
电路起始电压为零。
图2－1
解以输出电压为响应变量，列回路电压方程：
所以齐次解为：。
因激励信号为，若，则，将其代入微分方程：
所以，从而求得完全解：
由于电路起始电压为零并且输入不是冲激信号，所以电容两端电压不会发生跳变，，从而
若，则特解为，将其代入微分方程，并利用起始条件求出系数，从而得到：
二、起始条件的跳变——从到
1.系统的状态(起始与初始状态)
(1)系统的状态：系统在某一时刻的状态是一组必须知道的最少量的数据，利用这组数据和系统的模型
以及该时刻接入的激励信号，就能够完全确定系统任何时刻的响应。
由于激励信号的接入，系统响应及其
各阶导数可能在t=0时刻发生跳变，所以以表示激励接入之前的瞬时，而以表示激励接入以后的瞬
时。
(2)起始状态：，它决定了零输入响应，在激励接入之前的瞬时t=系统的状态，它总结
了计算未来响应所需要的过去的全部信息。
(3)初始状态：跳变量,它决定了零状态响应，在激励接入之后的瞬时系统的状态。
(4)初始条件：它决定了完全响应。
这三个量的关系是：。
2.初始条件的确定（换路定律）
电容电压和电感电流在换路（电路接通、断开、接线突变、电路参数突变、电源突变）瞬间前后不能
发生突变，即是连续的。
时不变：
时变：
例电路如图2-2所示，t=0以前开关位于"1"已进入稳态，t=0时刻，开关自"1"转至"2"。
(1)试从物理概念判断、和、。
(2)写出t>0时间内描述系统的微分方程式,求的完全响应。
图2－2
解
(1)换路前电路处于稳态电感相当于短路，电感电流，电容相当于开路= 0，= = 0。
开关换到2时，电容两端电压不能突变，=
= 0，电容相当于短路，可看成电路接入了的电流源。
电感电流不能突变，仍为1A，所以电容支路电流为4A，。
(2)t>0时,电路方程为：
特征方程为：，特征根为：。
方程的完全响应为：
代入初始条件得：
所以零输入响应为零，强迫响应为零；完全响应等于自由响应。
3.初始条件等效为激励源
三、零输入响应(z.i.r)和零状态响应(z.s.r)
一个系统的完全响应从解微分方程角度来分可分解为通解和特解即自由响应和强迫响应；从因果关系来分可以分解为零输入响应和零状态响应；从系统状态来分可分解为稳态响应和暂态响应，它们之间的联系与区别在第四章详细讨论。
这里仅举例说明。
例2-2如图2-3所示，时刻，同时自位置1转至位置2，求输出电压的完全响应，并指出其零输入、零状态、自由、强迫响应各分量。
(a)(b)
图2－3
解时的电路如图2-3(b)所示。
根据KCL得
齐次解为，特解为，则完全解为
因为，所以
零输入响应为，零状态响应为；自由响应为，强迫响应为；稳态响应为，暂态响应为。
第二讲冲激响应与阶跃响应
用卷积积分的方法求解系统的零状态响应既是本章的重点，也是本章的难点。
卷积积分分析法的步骤有三：首先是将信号在时域表示为冲激函数积分；其次就是求系统的冲激响应；再就是用卷积积分求解系统的零状态响应。
我们首先对第二点进行讨论。
一、冲激响应和阶跃响应
1.定义：在初态为零的条件下，若激励是单位冲激函数，系统的零状态响应叫冲激响应；若激励是单位阶跃函数，系统的零状态响应叫阶跃响应。
2.特点：冲激响应有两个特点，一是当时间为负值时，系统响应等于零，这一特点反映了系统的实现性，不能想象在信号加入以前就有输出，系统只能延迟信号，不能提前信号；另一是在经过长时间后，响应函数等于零，这一特点反映了系统的稳定性，无源有耗系统中的有限能量是不可能永远保存的。
因此，冲激响应一般从零值增长到最大值后再逐渐下降为零(如上图所示)。
这两个特点可用如下两式表示：
实现性(因果性)：
稳定性：
3.阶跃响应及与冲激响应的关系
由时不变系统特性可知：当输入由原来的输入变为它的积分时，输出也由原来的输出变为它的积分。
4.的求法：将作为一个特殊的零输入响应来处理，思路是单位冲激函数在>0时为零，因此，我们只需要解齐次方程，并求出时的初始条件，用这组初始条件确定齐次方程解的系数，从而得出系统的冲激响应。
这里作两点说明：
(1)冲激函数的引入解决了函数在跳变点处导数的存在问题，从而使得一个微分方程在-∞<<∞内都成立。
(2)，匹配就是使方程两端的冲激函数及其导数相匹配。
关键是如何确定时的初始条件。
以一个二阶系统为例，若方程式的左端含有冲激函数，方程式的右端、而且是最高导数项也必须出现冲激函数，这样方程的两端才能匹配。
分析如下：
2阶导数项含有冲激，在=0不连续，
1阶导数项含有阶跃，在=0不连续，
0阶导数项为斜坡，在=0连续，
对其取积分：
二阶系统需两个条件：
下面以RLC串联谐振电路为例来说明如何用这种方法求系统的冲激响应，然后再把它推广到一般情况。
例2-3 已知，输入为冲激函数，求的函数表达式。
解根据KVL，
因电路处于零状态，故
因t>0时,=0,则齐次微分方程为
初始条件为
代入上式解得
5.结语
对于右边只有的情况
(1)写出激励和响应关系的微分方程。
(2)<0,=0；>0，是一个特殊的零输入响应。
(3)时的初始条件是由于=0时冲激信号作用的结果。
如果等式右边具有冲激函数及其各阶导数的情况
利用算子表示
设
则，令
两边作算子运算，得，交换算子的运算顺序，有
，可得。
例
写成算子形式，有
令
，
6.冲激函数匹配法
(1)原理
(a) 对于一个描述系统的微分方程，由于它在整个时间范围内都成立，它在任一特定时刻当然也成立。
在引入冲激函数以前，函数在不连续点(跳变点)的导数不存在。
这样，一个微分方程就不能在整个时间范围内成立。
冲激函数的引入解决了函数在跳变点处导数的存在问题，从而使得微分方程在整个时间范围内成立了。
(b) 因为定义了单位阶跃函数的导数等于单位冲激函数，这表明函数在跳变点处要出现冲激函数项，匹配就是使方程左右两端冲激函数项相等。
(2)归纳
(a) 冲激函数只匹配冲激函数及其各阶导数项，使方程两端这些函数项对应相等。
(b) 匹配从方程左端最高项开始，首先使方程右端冲激函数最高阶次项得到匹配。
(c) 每次匹配低阶冲激函数项时，如果方程左端所有同阶次的冲激函数各项系数之和不能和右端匹配，则由左端的最高阶次项中补偿。
(d) 在匹配低阶冲激函数时，已匹配好的高阶次冲激函数项系数不变。
(e) 一般说，冲激函数匹配法不是求微分方程的解，而仅仅是求响应及其各阶导数在激励函数不连续点处的跳变量。
动画演示
二、用算子符号表示微分方程
1.算符表示法：。
2.算符的某些性质
(1) 把微分方程写成代数形式的算子方程。
(2) 由p多项式所组成的运算符号，可以像代数式那样相乘和进行因式分解。
(3) 算子方程的两边公因子不能相消。
3.转移算子(传输算子)
对于系统方程的一般形式有：
线性方程：
算子H(p)完整地建立了描述系统的数学模型，一些有用的系统特性可以通过对H(p)的分析得到如下的结论：
(1)求得微分方程的阶数与电路的阶数是一致的。
电路的阶数是指电路中含有独立储能元件的个数。
(2)对于同一电路，无论哪一个变量作为响应变量，描述它们的齐次方程是相同的，这表明同一系统的自由响应是惟一的。
(3)对于同一个电路，有几个响应变量就有几个把响应变量同输入联系起来的传输算子。
第三讲卷积
迄今为止，我们已经有三种方式对系统进行具体的描述了，一是用微分方程，二是用系统的传输算子，三是用系统的冲激响应。
一个微分方程代表一个系统，其输入输出由微分方程联系；一个传输算子也代表一个系统，其输出由传输算子对输入作用得出；同样，一个冲激响应函数则可用于表示一般的系统，它可以是由微分方程或传输算子表示的，也可以是不能由微分方程或传输算子表示的。
系统冲激响应表示要一般的多。
上次课讨论过用卷积求解系统的零状态响应有三个步骤，并已讨论了第二个步骤，现对(1)、
(3)两个步骤进行分析和推导。
一、卷积
1.任意函数表示为冲激函数的积分
波形分解可以有许多种方法，其目的是将复杂的信号变为简单信号之和，从而在求系统响应时，通过将各简单信号响应相加得到系统总响应，这是线性系统性质的典型应用(信号的分解→求响应→再叠加)。
时域中最典型的激励就是。
(a)(b)(c)
复杂波形(a)分解为序列(b)之和，实际观察起来是不直观的，所以有时用(c)中的脉冲来代替函数。
事实上，如果脉冲单元足够短，并且足够高，那么这种短脉冲的响应与冲激的响应可能难以区分，所以可以用这种脉冲序列近似任意的激励。
基本思想：
(1)用一系列脉冲代替激励。
(2)再用一系列冲激代替脉冲。
(3)求一系列冲激在系统中引起的响应之和。
(4)检验(3)的结果与原来激励的真实响应之间有什么差异。
分析的步骤：
(a)将分解为一系列相邻的脉冲。
各脉冲宽度为Δt，高度等于左侧所在时间的取值。
(b)用冲激代替每个脉冲，并适当地选取冲激的强度，使得冲激的效果与脉冲相同。
(c)冲激序列之和对于原来函数的近似程度也完全取决于时间间隔的大小。
愈小，冲激序列之和也愈趋近于。
当，对各项的取和也就变成了取积分，这时冲激序列之和也就精确表示。
2.作为叠加积分的卷积积分
下图表示单位冲激信号激励系统时，在时域里测定的是系统冲激响应，在频域测定的是系统的频率响应。
由此可以看出，系统的冲激响应和系统的频率响应是由一对傅里叶变换式联系起来的。
卷积有许多应用，所以它也有许多不同的名称，如重叠积分、扫描积分、加权平均等，卷积这一名称来源于它的几何解释。
它应用在不同的学科领域中，如在物理学的测量过程中，我们就常常遇到被测物理量与仪器权函数之间相互作用的卷积。
如下图所示的是物理量测量过程，显示器给出的数据并非待测量物理量本身，而是待测物理量与测试仪表特性二者之综合，若测量仪表是一个线性时不变系统，则
之间的关系可用卷积公式来表达。
(1)研究的问题：研究LTI系统对任意信号零状态响应的一种基本运算。
(2)实际意义：求解任意输入下的响应转换为求解系统对一系列冲激函数响应的叠加。
(3)条件或前提：
系统必须是线性的(以保证信号的分解有效)
系统是时不变的(以保证系统的输出仅与输入有关，而与输入施加的时刻无关。
)
初态为零(以保证系统的系统的响应为,而与初始条件无关。
)
(4)公式的推导：
(a)把激励表示成一系列的冲激函数。
(b)求冲激序列的响应。
因为引起的响应为，所以引起的响应为。
这里应用了时不变特性。
其中代表冲激出现的时刻。
应用线性系统的叠加特性，将总响应近似写成
(c)；
卷积积分的一个优点是从系统角度来说，如果我们不知道系统的内部结构，因而写不出系统的微分方程时，只要能够通过实验的方法，获得系统的冲激响应曲线的波形或实验数据，仍可求出系统对任意激励的零状态响应。
由此可以得出，要计算线性时不变系统对任意激励的零状态响应，可以归结为：
(1)确定冲激响应；
(2)计算积分。
3.卷积公式的物理解释
为了计算某一时刻的值，就必须知道激励在这一时刻前的全部范围内的值，
，因此要提醒大家注意的是卷积公式中出现了三个不相同的时间。
(1)三个与时间有关系的变量
t：表示观察响应的时刻(称之为现在)。
τ：表示信号的激励的时间。
(称之为过去)某时刻的响应只与该时刻之前的激励有关，与尚未发生的激励无关。
t-τ：表示系统的记忆时间，也称系统响应的时间或系统带宽的倒数。
对一个物理可实现系统来讲，。
图2－12
由特性可知=0τ>t实现性；=0 t-τ→∞ 稳定性。
所以出现在卷积公式中的代表一个翻转了的或折叠了的冲激响应，因此我们可以解释滤波器的响应为输入过去值的加权叠加。
图中当观测响应时间由变为时，t-τ增大，很久以前的τ，趋于零，所以出现在很久以前的对现在输出的影响可以忽略不计，即滤波器有记忆作用。
(2)时域法与频域法的比较
频域法求解零状态响应时，系统的频率响应可以作为一个对不同频率的加权滤波器。
而对时域来讲，系统的冲激响应是这样对激励信号作用的，当现在的时间变化时，冲激响应扫描激励函数，总是产生过去输入的一个加权总和。
离现在最近的激励，加权最重，对积分的贡献也最大。
4.讨论和推广
(1), 两个积分完全相同的理由是第二个积分实际上就是从观测时间向前积分直到没有激励信号为止。
(2)在求时，对每一个新的值，都需要一个新的积分。
(3)积分限：大致可分为以下四种情况，这四种情况描述了和的取值范围。
5.卷积的图解说明
卷积的图解在信号与系统分析中是很有用的，它使人们能够直接观察到许多抽象关系的具体情况。
下面将从卷积的图解入手，导出卷积的图解步骤、卷积积分限的确定规律和卷积结果的分段表示规律。
举一实例来说明。
求=*，其中。
解，
图解步骤：
(1)折叠：把相对纵轴作镜像。
(2)位移：把移动一个t值
(3)相乘：将位移后的函数乘以
(4)积分：和乘积曲线下的面积即为t时刻的卷积值。
(5)连续位移：遍历各时间点，得到全部卷积值。
卷积图解方法的动画演示
例2-4一个实因果系统冲激响应表示为：，式中的和分别表示的偶部和奇部。
若已知
(1)求系统冲激响应的表达式。
(2)当输入信号为时，用卷积求系统的响应。
(3)指出自由响应分量和强迫响应分量。
解因为该系统是因果系统，所以，有：
第四讲卷积的计算方法
计算卷积的方法：(1)用图解法计算卷积；(2)用函数式计算卷积；(3)利用性质计算卷积；(4)卷积的数值解法。
一、图解法计算卷积
求；→非零值的下限是－∞，→非零值的下限是0，我们选择这两个之中最大一个作为积分的下限；→非零值的上限是t，→非零值的上限是∞，我们选择两个之中最小的一个作为积分的上限。
积分限的确定方法一：若两个函数的左边界分别为，，右边界分别为t r1，t r2，积分的下限为
；积分的上限为。
例2-4用图解的方法求下列积分
解 (1)-∞≤t≤0 重合面积为零：=0
(2)0≤t≤1
(3)1≤t≤2
(4)2≤t≤3
(5)3≤t≤∞ =0
结语：若与为有限宽度的脉冲，的面积为和面积之积,
的宽度为和宽度之和。
二、函数式计算卷积
1.利用门函数直接计算卷积积分：
2.表达式的推导
(1)将被卷积的两个函数和都表示成单位阶跃函数移位加权之和。
其中和分别是的第i段和的第j段数学表达式。
和分别是和的起点。
(2) 将(1)和(2)代入卷积公式：
由以上讨论得出卷积积分的上下限和定义域如下：
积分限的确定方法二：利用门函数确定卷积积分的积分限和定义域（推导过程见上页公式）。
例2-5设，求系统的零状态响应。
解
例2-6设系统是因果的，但激励是非因果的，，求。
解
例2-7求下图所示两函数积分。
解
例2-8下式错在哪里？
解从第二个等号开始更正为：
三、快速定限表
若参与卷积的两个函数和都是只有一个定义段的，它们的时限长度分别为和，
并且<，长函数的左、右时限分别为，而短函数的的左右时限分别为
，并规定积分号内括号统一只表示，即只反转时限长的函数。
运算步骤：
1.求出关于τ的不定积分
2.将的两个时限值两两相加，并将得到的四个数从小到大依次排列在水平画出的时间轴上。
于是t轴被分成五段，这就是卷积结果的五段定义域。
3.在左右边上两段分别写上卷积积分结果——“0”，中间一段的上下限即是短信号的上下限，右边余下的一段上限与中间一段相同，其积分下限为t减去长信号的右时限；左边余下的一段积分下限与中间一段相同，上限为t减去长信号的左时限。
4.将各段积分限代入计算中间三段非零的卷积积分结果。
例2-9计算下图中两个函数的积分。
解 (1)求出关于τ的不定积分
(2)将两函数的时限值两两相加，得出定义域：1+4=5； 1+5=6； 3+4=7； 3+5=8。
(3)确定积分限
(4)
关键：
1.卷积结果各分段时限的确定。
2.各分段内卷积积分限的确定。
四、杜阿美尔积分Duharmal integral
1.已知，而且，求证：。
证明：
由系统之因果性，当=时，响应为
2.利用杜阿美尔积分求系统的零状态响应。
例2-10已知，其输入电压如下图所示，应用杜阿美尔积分求。
解 (1)确定系统的阶跃响应：
(2)求。
当0<t<1时，，有：
当1<t<3时，，有：
当t>3时，在原信号加了一个的信号，其导数，有：
第五讲卷积的性质
作为一种数学运算方法，卷积具有某些运算规律，掌握这些运算规律，可使卷积运算得以简化。
一、卷积代数
1.卷积的符号表示式表明卷积是一种特殊类型的乘法，乘法某些代数性质可用于卷积。
(1)交换律：
(2)分配律：
(3)结合律：
平移特性：
此性质表明无论哪个函数平移了一个距离，则所得的卷积就是简单平移了同一距离，但大小和形状保持不变。
2.卷积的微分和积分：
(1)两函数相卷积后的导数等于两函数之一的导数与另一函数相卷积。
(2)两函数相卷积后的积分等于两函数之一的积分与另一函数相卷积。
(3)推广
若则，两个分别为m阶和n阶函数导数卷积，由它们卷积的(m+n)阶导数给出。
3.奇异信号的卷积特性：
(1)
(2)
(3)
(4)
推广：
(5)
例１求下图所示两个函数的卷积。
解
例2求下图所示两个函数的卷积。
解把微分一次得到两个冲激函数。
又有：，所以
例3计算下图所示函数的卷积结果，并画出波形。
图2－23
解观察待卷积的两个函数，是周期短脉冲，将其微分可得到一系列冲激函数。
冲激函数能简化卷积运算，所以对微分，对积分。
二、系统的并联与级联
对于因果系统，串联系统的冲激响应等于各串联子系统的冲激响应的卷积；并联系统的冲激响应等于各并联子系统的冲激响应相加。
例1 下图所示系统由几个“子系统”组合而成，各子系统冲激响应分别为：，
，。
试求总系统的冲激响应=?
解
例2线性系统如图所示，它由几个子系统组成，已知部分子系统的冲激响应为，
，若整个系统对的零状态响应如图(b)所示，求子系统的冲激响应。
解系统总的冲激响应
当输入为时，输出为。
由卷积的性质可得：
三、综合应用
若和为有限宽度的脉冲。
证明：
1.*的面积等于与的面积之积。
2.*的宽度为与的宽度之和。
证明：
对上式交换积分次序得
令，
的宽度为，的宽度为。
t=0时，*=0：
t=时，卷积在t>时开始有值：
t=时，卷积在t>时又将等于零：。
