高考数列经典大题
1.等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()
25
2123n n n b a n n +=
++，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
2.已知数列{}n a 满足：11a =，且对任意∈n N *都有
++
=
L ．
（Ⅰ）求2a ，3a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；
+L
∈n N *）．
3.已知数列}{n a 满足且01=a *)(),1(2
1
21N n n n S S n n ∈++=+
（1）求23,,a a :并证明12,(*);n n a a n n N +=+∈
（2）设*),(1N n a a b n n n ∈-=+求证：121+=+n n b b ；
（3）求数列*)}({N n a n ∈的通项公式。
4．设b>0,数列}{n a 满足b a =1,)2(1
11
≥-+=--n n a nba a n n n ．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）证明：
对于一切正整数n ,121+≤+n n b a ．
5： 已知数列{}n a 是等差数列，()
*
+∈-=N n a a c n n n 212（1）判断数列{}n c 是否是等差数列，并说明理由；（2）如果()为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ΛΛ，试写出数列{}
n c 的通项公式；（3）在（2）的条件下，若数列{}n c 得前n 项和为n S ，问是否存在这样的实数k ，使n S 当且仅当12=n 时取得最大值。若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由。
6.已知各项均为正数的数列{}n a 满足12
212+++=n n n n a a a a , 且42342+=+a a a ,其中*∈N n .(1)
求数列{}n a 的通项公式;(2)设
数列}{n b 满足n
n
n n na b 2)12(?+=
,是否存在正整数
,m n (1)m n <<，使得n m b b b ,,1成等比数列？若存在，求出所有的,m n 的值；若不存在，请说
明理由.(3) 令1n n
n
c a =+,记数列}{n c 的前n 项积为n T ,其中*∈N n ,试比较n T 与9的大小,并加以证明.
7.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足1(n n S a n =-∈N *).各项为正数的数列}{n b 中， 对于一切n ∈N *
,
有n
k ==
且1231,2,3b b b ===.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,求证:2n T <.
8.已知函数213(),{},22
n f x x x a =+n 数列的前n 项和为S 点(,)(n n S n N *
∈）均在函数()y f x =的图象上。
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令1,2
n
n n a b -=
求数列{}n n b n T 的前项和； （3）令11,n n n n n a a c a a ++=+证明：121
222
n c c n <++<+n …+c ．
9.已知数列 {}n a 满足112,21n n n a a a a +==+.
（Ⅰ）令1n n b a =-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n S ， （ⅰ）令2n n n T S S =-，求证：数列{}n T 是单调数列；（ⅱ）求证：当2n ≥时，2711
12
n n S +≥．
10.已知数列{}n a 的首项13
5
a =
，13,1,2,21n n n a a n a +=
=+L ． （1）求证：数列11n a ??
-????为等比数列；
(2) 记12111
n n
S a a a =++L ，若100n S <，求最大的正整数n ．
（3）是否存在互不相等的正整数,,m s n ，使,,m s n 成等差数列且1,1,1m s n a a a ---成等比数列，
如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
11.已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠），且数列{}()n f a 是首项为4，公差为2的等差数列.
(Ⅰ)求证：数列{}n a 是等比数列；
(Ⅱ) 若()n n n b a f a =?，当k ={}n b 的前n 项和n S ；
（III ）若lg n n n c a a =，问是否存在实数k ，使得{}n c 中的每一项恒小于它后面的项？若存在，求出k 的范围；若不存在，说明理由．
12.已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足2
21n n a S -=，
n *N ∈．数列{}n b 满足1
1
n n n b a a +=
?，n T 为数列{}n b 的前n 项和． （1）求1a 、d 和n T ；（2）若对任意的n *N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+?-恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．
13.设数列{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 项和为n S ．
（1）已知11a =，2d =，
（ⅰ）求当n ∈N *时，
64
n S n
+的最小值； （ⅱ）当n ∈N *时，求证：132422315
16
n n n S S S S S S +++++ （2）是否存在实数1a ，使得对任意正整数n ，关于m 的不等式m a n ≥的最小正整数解为32n -?若存在，则求1a 的取值范围；若不存在，则说明理由．
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