第二章复习与思考题
1•什么是拉格朗口插值基函数？它们是如何构造的？有何重要性质？
答：若斤次多项式「（■¥）（丿• = 0,1, •••/）在川+ 1个节点%0 < X ）<•••<£上满足条件 则称这兀+1个〃次多项式/0（x ）,/j （%）,---,/…（X ）为节点兀0,兀［,£上的斤次拉格朗口插值 基函数. 以厶4）为例，山人（兀）所满足的条件以及人（兀）为〃次多项式，可设
人（x ） = A （x — Xo ）・・・（x —sX —耳+1）・・・（兀一兀）
其中A 为常数,利用l k （x k ）= 1得
1 =力（耳一 X 。）…（忑iX 忑-无+1）…（耳一兀）
A = _______ ______________________________ ,
（忑-观）…（忑-sX 忑-忑+1）…（忑 7）'
k X k -兀（））•••（£•
-忑一lX 无-无+1）・・・（丑-兀J §Xk -Xj
对于l （x ）（i = 0,l ，•…屮），有£#厶（兀）=
戏R=（）,l,…丿，特别当k=0时，有 /=0
口（兀）=1・
i=0
2•什么是牛顿基函数？它与单项式基｛1,兀…,兀"｝有何不同？
答：称｛1,兀一兀0，（兀一 XoXx —兀］）,•••,（兀一兀0）…（兀一兀“-］）｝为节点兀（），兀1，…，兀“上的牛顿 基函数，利用牛顿基函数，节点£上的77次牛顿插值多项式住（x ）可以表示为 吩）=do+e （x-兀0）+…+认-兀0）…（兀-乙一1）
其中务=/比,州,…，兀讣£二0,1,・・・”与拉格朗日插值多项式不同，牛顿插值基函数在增 加节点时可以通过递推逐步得到高次的插值多项式，例如
马+1（0=人（兀）+伽（兀一兀0）…（兀一兀J
，
（兀-兀0）…（兀-仏X XT K T ） =FT x ~x j
k H j,
其中a k+\是节点X(), X］,忑+］上的k +1阶差商,这1点要比使用单项式基｛1, X,…,x"｝方便得多.
3.什么是函数的斤阶均差？它有何重要性质？
答:称血讣血匕竝为函数/(x)关于点勺,耳的一阶均差，
X k ~ *()
/［尢(),州，无］=止丛上止込1为/⑴的二阶均差.一般地，称
耳一兀1
/［兀0,旺,…£卜/［几，…小"」— /［•—・…亠」为f(兀)的n 阶均差.
£ - G
均差具有如卜-基本性质：
(1)〃阶均差可以表示为函数值/(々),/&),•••,/(兀)的线性组合,即
£「........ ］ _ V* f｛x j)
J 15()，X】，…兀“ _| =乙7 \―7旷\—7 \，
7=0 g 一兀0丿…g - 躯厂®・+J・・・g—X n)
该性质说明均差与节点的排列次序无关，即均差具有对称性.
⑵ 爪用,・・・£卜血如二込上血3』
£一兀()
(3)若/(x)在［a,b］上存在〃阶导数,且节点兀°,兀］，…,兀〃w ［d,b］,则n阶均差与兄阶导数的关系为
/ko,州,…兀］=，何，§w［a,b］.
n\
4.写出〃+ 1个点的拉格朗日插值多项式与牛顿均差插值多项式，它们有何异同？答：给定区
间［。上］上刃+ 1个点
a上的函数值X =/(兀)(/ = 0,1, •••/),则这H + 1个节点上的拉格朗日插值多项式为
L”(x) = $y山(x),
k
=
x-Xj
J
其中心H
J=o
Zk
这兀+1个节点上的牛顿插值多项式为
其中务=/［兀0,州，…,“］,k =0,1,・・・’为/（兀）在点兀0,兀］，…，林上的R阶均差.
由插值多项式的唯一性，厶（兀）与几（兀）是相同的多项式，其差别只是使用的基底不同, 牛顿插值多项式具有承袭性，当增加节点时只需增加一项，前面的工作依然有效，因而牛顿插值比较方便，而拉格朗口插值没有这个优点.
5.插值多项式的确定相当于求解线性方程组Ax = y ,其中系数矩阵A与使用的基函数
有关.y包含的是要满足的函数值（儿,乳,…,儿）厂・用下列基底作多项式插值时，试描述矩
阵4中非零元素的分布.
（1）单项式基底；（2）拉格朗FI基底；（3）牛顿基底.
答：⑴ 若使用单项式基底，则设代（兀）=a Q +%兀+…+ %兰"、其中d。，a】，…，％为待定系数，利用插值条件，有
d()+ d］X()+ …+ Cl n X Q a()
>o
+。］兀］+••• + £/：
5+%兀+•••+〜* 二儿
因此，求解/U=y的系数矩阵4为
1 …兀0
4 I州…斗
• •• ••• ••• •••
.1兀“…< 为范德蒙德矩阵.
(2)若使用拉格朗日基底，则设L n(x) = a o l o(x) + a}l{(x) + • • • + a n l n(x),其中人(x)为拉格朗口插值基函数，利用插值条件，冇
切0 （兀0 ） +砧（兀0 ）+…+必（兀0 ） = Vo
切0 （兀1） +轴61）+…+臥（兀1） = X
、卯0 （心）+⑷厶（兀）+…+（£ ）=儿
由拉格朗口插值基函数性质，求解= y的系数炬阵A为
1 0 0
A = 0 • • • 1 • • • … 0 • • • • •
0 0
(1)
为单位矩阵. （3）若使用牛顿基底，则设P n {x ） = a Q +a,（x-
•x (J + ・・・ + d“(x_. 兀0卜・（％-兀一|），由插 值条件，有
0（）+。1 （兀0 一兀0）+…+ %（兀0 一 x 0)---(x 0-x /J _1) = 儿
Q ()+ % (兀]_*())+••• + %(%] — 兀o ）…（兀】一£」=
角+①伉一兀（））+•••+%（耳一 无o ）…亿-心一1）= •儿
即
^0 =儿
a 04-a 1(x I -x 0)=y 1
do + 4 （兀”一兀o ） + …+ 色仇一兀o ）•••（£- £-1 ）=儿
故求解Ar = y 的系数矩阵A 为
1
1
A= 1
• •
1
为下三角矩阵. 6. 用上题给出的三种不同基底构造插值多项式的方法确定基函数系数，试按工作量由低 到高给出排序.
答：若用上述三种构造插值多项式的方法确定基函数系数，则工作量由低到高分别为拉 格朗日基底，牛顿基底，单项式基底.
7. 给出插值多项式的余项表达式，如何用它估计截断误差？
答：设/叫兀）在[a,b]上连续，/（,,+1）（x ）在（d,b ）内存在，节点 aR n ⑴= L” （x ）=，（吟）% ⑴，
[n + 1）1
这里g w （d,b ）H.与兀有关，0“+1（兀）=（兀一兀oXx — xJ …（尤一兀）.
若冇max|/（n 叫* = M 曲，则L”（x ）逼近/（x ）的截断误差
(X 2-X O X%2-X1) 心一兀0 （百_々X 耳_兀]）・・心“ _兀oX© _兀】）•••（£ _兀-1）
