高三数学期末测试题(含答案解析)

高三数学期末测试题
一、选择题（本大题共14小题，共70.0分）
1.在等差数列中，已知，公差，则
A. 10
B. 12
C. 14
D. 16
2.椭圆的焦距为，则m的值为
A. 9
B. 23
C. 9或23
D. 或
3.已知向量，，则
A. 50
B. 14
C.
D.
4.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施5个程序，其中程序A只能出现在第
一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有
A. 12种
B. 18种
C. 24种
D. 36种
5.九章算术有这样一个问题：今有男子善走，日增等里，九日走一千二百六十里，
第一日、第四日、第七日所走之和为三百九十里，问第八日所走里数为
A. 150
B. 160
C. 170
D. 180
6.等腰三角形一个底角的正切值为，则这个三角形顶角的正弦值为
A. B. C. D.
7.已知椭圆的左、右顶点分别为，，且以线段为
直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A. B. C. D.
8.平面过正方体的顶点A，平面，平面，
平面，则m，n所成角的正弦值为
A. B. C. D.
9.如图，正四棱锥底面的四个顶点A、B、C、D在球O
的同一个大圆上，点P在球面上，如果，则球O的
表面积为
A.
B.
C.
D.
10.下列点不是函数的图象的一个对称中心的是
A. B. C. D.
11.下列有关命题的说法错误的是
A. 若“”为假命题，则p，q均为假命题
B. “”是“”的充分不必要条件
C. “”的必要不充分条件是“”
D. 若命题p：，，则命题：，
12.已知定义在上的奇函数满足恒成立，且，则
的值为
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
13.已知双曲线与抛物线有公共焦点F且交
于A，B两点，若直线AB过焦点F，则该双曲线的离心率是
A. B. C. D.
14.已知函数，，若当时，恒成立，
则实数m的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
15.函数的定义域是______．
16.为椭圆上任意一点，P到左焦点的最大距离为m，最小距离为n，
则______ ．
17.我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有三人共，
二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：
今有3人坐一辆车，有2辆车是空的；2人坐一辆车，有9
个人需要步行，问人与车各多少？如图是该问题中求人数的
程序框图，执行该程序框图，则输出S的值为______．
18.已知函数对定义域中任意的，，当时都
有成立，则实数a的取值范围是______．
19.函数的部分图
象如图所示，则
的值
为______ ．
20.已知，，P是椭圆上的一点，则的最大值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
21.如图，圆柱的底面半径为r，球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的
顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．
Ⅰ计算圆柱的表面积；
Ⅱ计算图中圆锥、球、圆柱的体积比．
22.某校高二年级学生身体素质考核成绩单位：分的频率分布直方图如图所示：
求频率分布直方图中a的值；
根据频率分布直方图估计成绩的众数和平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表．
23.已知，且．
若，求的值；
求的最大值．
24.已知函数．
判断函数在区间上的单调性，并用定义证明其结论；
求函数在区间上的最大值与最小值．
25.已知直线：与直线：的交点为M．
求过点M且到点的距离为2的直线l的方程；
求过点M且与直线：平行的直线l的方程．
26.如图，已知椭圆C：的离心率是，一个顶点是．
Ⅱ设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查等差数列的通项公式，是基础题．
解题时要认真审题，利用等差数列通项公式求解．
【解答】
解：等差数列，，公差，
．
故选B．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查椭圆的简单性质的应用，注意椭圆的焦点坐标所在的轴，属于基础题．利用椭圆方程求出焦距，得到方程求解即可．
【解答】
解：椭圆的焦距为，则：
当时，焦点在x轴上时，，解得，
当时，焦点在y轴上时，，解得．
则m的值为9或
故选C．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了向量的坐标运算及其模的计算公式，属于基础题．
利用向量的坐标运算及其模的计算公式即可得出．
【解答】
解：1，，，．
．
故选C．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查分步计数原理，考查两个元素相邻的问题，是一个基础题，注意排列过程中的相邻问题，利用捆绑法来解，不要忽略被捆绑的元素之间还有一个排列本题是一个分
步计数问题，A只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，程序B和C实施时必须相邻，把B和C看做一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列．
【解答】
解：本题是一个分步计数问题，
由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，
从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有种结果，
程序B和C实施时必须相邻，
把B和C看做一个元素，同除A外的2个元素排列，共有种结果，
根据分步计数原理知共有种结果．
故选C．
5.【答案】C
【解析】【分析】
由题意可知，该男子每日走的路程构成等差数列，且，，利用等差数列的性质求得，的值，进一步求得公差，则答案可求．
本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．
【解答】
解：由题意可知，该男子每日走的路程构成等差数列，
且，，
则，，，
，
则．
故选：C．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换，二倍角公式的应用，属于中档题．设等腰三角形底角为，顶角为，直接利用同角三角函数的基本关系求出，
，结合三角恒等变换求出，，结合二倍角公式求出结果．
【解答】
解：设等腰三角形底角为，顶角为，
由于等腰三角形一个底角的正切值为，即，
则：，，，．
则：．
故选D．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质、涉及直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
根据直线与圆相切的条件，利用点到直线的距离公式得到a，b的关系，进而求得离心率．
【解答】
解：以线段为直径的圆与直线相切，
原点到直线的距离等于半径a，
即，化为，
椭圆C的离心率．
故选A．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属于基础题．
画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．
解：如图：平面，平面，平面，
可知：，，
是正三角形．
m、n所成角就是．
则m、n所成角的正弦值为：．
故选A．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查球的内接体问题，考查球的表面积、体积，考查学生空间想象能力，属于基础题．
由题意可知，平面ABCD，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面积．【解答】
解：如图，正四棱锥底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，
则底面ABCD，，，，，
所以，，
球O的表面积是，
故选D．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查正切函数的图象的对称性，属于基础题．
根据正切函数的图象的对称性，得出结论．
解：对于函数的图象，
令，求得，，
可得该函数的图象的对称中心为，．
结合所给的选项，A、C、D都满足，
故选：B．
11.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查命题的真假判断，复合命题的判定，充分条件与必要条件，特称命题的否定，属于基础题．
根据复合命题真假判断的真值表，可判断A；根据充分条件与必要条件的定义，可判断B，C，根据特称命题的否定，可判断D．
【解答】
解：若“”为假命题，则p，q均为假命题，故A正确；
“”时，“”成立，“”时，“”不一定成立，故“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
“”时，“”不一定成立，“”时，“”成立，故“”的充分不必要条件是“”，故C错误；
若命题p：，，则命题：，，故D正确．
故选C．
12.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查函数值的计算，函数的奇偶性周期性的应用，属于基础题．
通过奇偶性和单调性转化，即可得到答案．
【解答】
解：，
函数是周期为4的周期函数，
则，
，
，
是奇函数，，
当时，由得：
，
即，则，
即
．
故选B．
13.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查抛物线与双曲线的综合，考查抛物线与双曲线的几何性质，确定几何量之间的关系是关键．综合性较强，属中档题．
根据抛物线与双曲线的焦点相同，可得，利用直线AB，过两曲线的公共焦点建立
方程关系即可求出双曲线的离心率．
【解答】
解：抛物线和双曲线有共同的焦点，，
直线AB过两曲线的公共焦点F，
，即为双曲线上的一个点，
，
，
，解得，
，，
故选B．
14.【答案】D
【解析】解：函数，，可得时奇函数，
由，
可得：，
，在R上递增，
，
那么；
，
．
则．
恒成立，则实数m的取值范围是：；
故选：D．
根据，可得时奇函数，在R上递增，可得，脱去“f”，
即可求解．
本题主要考查了函数恒成立问题的求解，转化思想的应用，三角函数闭区间是的最值的应用．
15.【答案】且
【解析】【分析】
本题考查了求函数的定义域问题，是一道基础题．根据二次根式的的被开方数非负以及分母不为零得到关于x的不等式组，解出即可．
【解答】
解：要是函数有意义，
则，
解得：且，
故答案为且．
16.【答案】10
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的性质，属于基础题．
由椭圆性质得，
【解答】
解：P到左焦点的最大距离为，最小距离为，
故答案为10．
17.【答案】39
【解析】【分析】
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是中档题．
由题意知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】
解：模拟程序的运行，可得
，执行循环体，，，；
满足条件，执行循环体，，，；
满足条件，执行循环体，，，；
满足条件，执行循环体，，，；
满足条件，执行循环体，，，；
满足条件，执行循环体，，，；
不满足条件，退出循环，输出S的值为39．
故答案为39．
18.【答案】
【解析】解：任意的，，当时都有成立，
可得在R上为减函数，
可得，即为，
即有，
故答案为：
由题意可得在R上为减函数，由对数函数、一次函数的单调性以及函数的单调性定
义，可得a的不等式，解不等式可得a的范围．
本题考查分段函数的单调性的判断，以及参数的范围，注意运用对数函数、一次函数的单调性以及函数的单调性定义，考查运算能力，属于中档题．
19.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了根据三角函数的图象与性质求函数解析式的应用问题，也考查了根据三角函数的周期性求值的应用问题，是基础题目．
根函数的图象与性质，求出A、与的值，再利用
函数的周期性即可求出答案．
【解答】
解：由图象知，，，
由五点对应法得，可求得，
，
，
．
故答案为：．
20.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中
档题．
由题意画出图形，可知B为椭圆的左焦点，A在椭圆内部，设椭圆右焦点为F，借助于椭圆定义，把的最大值转化为椭圆上的点到A的距离与F距离差的最大值求
解．
【解答】
解：由椭圆方程，得，，则，
是椭圆的左焦点，在椭圆内部，
如图：设椭圆右焦点为F，由题意定义可得：，
则，
．
连接AF并延长，交椭圆与P，则此时有最大值为，
的最大值为．
故答案为：．
21.【答案】解：Ⅰ已知圆柱的底面半径为r，则圆柱和圆锥的高为，圆锥和球的底面半径为r，
则圆柱的表面积为；
Ⅱ由Ⅰ知，
圆柱体积，
球体积，
图案中圆锥、球、圆柱的体积比为1：2：3．
【解析】本题考查圆锥、球、圆柱的体积比的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．球内切于圆柱，所以圆柱高h等于球直径2r，圆柱底面积等
于球最大横截面面积S，圆柱体积，球体积，球最大横截面积
，圆锥的体积，由此能求出图案中圆锥、球、圆
柱的体积比．
22.【答案】解：，
由图可知众数的估计值为75．
平均数的估计值：
．
【解析】本题考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查众数、平均数的求法，考查运算求解能力，是基础题．
利用频率分布直方图的性质能求出a．
利用频率分布直方图的性质能估计成绩的众数和平均数．
23.【答案】解：已知，且．
则：，
整理得，
所以．
由于，
所以．
由得，
所以，
，
由于，
所以，．
由于，
所以，
故的最大值为．
【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．利用的结论，进一步根据基本不等式求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，基本不等式的应用．24.【答案】解：在区间上是增函数．
证明如下：
任取，，且，
．
，，
，即
函数在区间上是增函数；
由知函数在区间上是增函数，
故函数在区间上的最大值为，
最小值为．
【解析】本题考查函数的单调性的判断与应用，函数的最值的求法，考查计算能力．利用函数的单调性的定义证明即可；
利用函数的单调性，求解函数的最值即可．
25.【答案】解由解得
，的交点M为，
设所求直线方程为，即，
到直线的距离为2，
，
解得或．
直线方程为或；
过点且与平行的直线的斜率为：，
所求的直线方程为：，即．
【解析】先求两条直线的交点，设出直线方程，利用点到直线的距离，求出k，从而确定直线方程．
已知直线的斜率，利用点斜式方程求解即可．
本题考查两条直线的交点坐标，直线的一般式方程，点到直线的距离公式，考查计算能力，是基础题．
26.【答案】解：Ⅰ设椭圆C的半焦距为c，依题意，得，
且，
解得，
所以椭圆C的方程是；
Ⅱ易知，直线PQ的斜率存在，
设其方程为，
将直线PQ的方程代入，
消去y，整理得，
，
设，，
则，，
因为，且直线BP，BQ的斜率均存在，
所以，
整理得，
因为，，
所以，
，
将代入，
整理得，
将代入，整理得，
解得，或舍去，
所以，直线PQ恒过定点．
【解析】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，难度比较大，属于难题．
Ⅰ设椭圆C 的半焦距为求出b利用离心率求出a，即可求解椭圆C的方程；
Ⅱ直线PQ 的斜率存在，设其方程为将直线PQ 的方程代入椭圆方程，消去y，设，，利用韦达定理，通过，化简求出，求出m，即可得到直线PQ恒过的定点．
第21页，共21页。