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曲线坐标
• 如果空间里的点，其位置不是用直角坐标 示，而是用另外三个有序数 每三个有序数
( x, y, z ) 来表
(q1, q2, q3 ) 来表示。就是说
就确定空间的一个点；反之，
(q1, q2, q3 )
空间的一个点就对应一组三个有序数，则称这组有序数
(q1, q2, q3 ) 为空间点的曲线坐标
坐标曲面和坐标曲线
• 每个曲线坐标qi是空间点 ( x, y, z ) 的函数
qi qi ( x, y, z )
反之也类似，每个直角坐标也是曲线坐标的函数
x x(q1 , q2 , q3 ), y y(q1 , q2 , q3 ), z z (q1 , q2 , q3 )
而这样的三个方程 qi ( x, y, z ) ci 分别代表三个 q i的等
q1 的切向的线元。在该坐标系下，线
。
设在直角坐标系下，该线元坐标为 (dx1 , dy2 , dz3 ) ，则 (dx , dy , dz ) 1 2 3 满足关系
dx1 x y z dq1 , dy1 dq1 , dz1 dq1 , q1 q1 q1
因而，该线元长度平方为
即
2 2 2 ds2 h12 dq12 h来自百度文库 dq2 h32 dq3
ds1 dx12 dy12 dz12 (
2
x 2 2 y z ) dq1 ( ) 2 dq12 ( ) 2 dq12 h12 dq12 q1 q1 q1
• 同理沿坐标曲线 q2 的切向的线元长度平方为
2 2 ds2 h2 dq2 2
沿坐标曲线 q3 的切向的线元长度平方为
2 ds3 h32 dq3 2
• 对于任意线元，其在正交曲线坐标系下向三个方向分解，各个方向 上的长度平方分别为
2 2 2 2 2 ds12 h12 dq12 , ds2 h2 dq2 , ds3 h32 dq3
而由于这三个方向是正交的，总的长度平方为
2 2 ds2 ds12 ds2 ds3
量，它们分别指向 q1 , q2 , q3 增加的方向，我们还假定 它们构成右手系。
拉梅系数
• 我们知道，对空间无穷小线元，其长度平方为
ds2 dx2 dy2 dz 2
• 现在考虑该线元长度平方在正交曲线坐标系的形式。 为此，我们先考虑沿坐标曲线 元坐标为 dq1, dq2 0, dq3 0
或q1 曲线。同理我们可以类似地定义 q 2 曲线和 q3曲线。
正交曲线坐标系
• 如果在空间任一点处，三个坐标曲线都互相正交（即各 坐标曲线在该点的切线互相正交），相应地，三个坐标 曲面也互相正交（即各坐标曲面在交点处的法线互相正
交），则称这样的坐标系为正交曲线坐标系。
ˆ ˆ ˆ • 我们用 e1 , e2 , e3 分别表示 q1 , q2 , q3 曲线上的切向单位矢
值曲面。给 c i以不同的数值，则得到三组等值曲面，而
这三组等值曲面称为坐标曲面。 坐标曲面之间两两相交的曲线称为坐标曲线。
• 在由坐标曲面
q2 ( x, y, z ) c2 , q3 ( x, y, z ) c3
相交而成的坐标曲线上，因为 q 2与 q3 分别保持为常数
c2 , c3 而只有 q1 在变化，我们称此曲线为坐标曲线q1
