第六章 数字控制器的直接设计方法

6.6
达林算法
对于大多数工业生产过程，由于被控对象模烈的不精确性 及其参数随时间的漂移，要求控制系统的输出值在最少拍 内到达稳态的设计不但不能达到预期的效果，反而会产生 大的超调或振荡。对此，除了采用上述两节中的修改算法 外，达林Dahlin还提出了一种新的算法，即在选择闭环ｚ 传递函数时，采用相当于连续一阶惯性环节的M (z)来代 替最少拍多项式。如果对象有纯滞后，则M(z)还应包含同 样的纯滞后环节。则达林算法的原理如下：
在【例6.1】中，对象G(z)有一个在单位圆外的零点z＝-2.78。这里， ｉ＝1，对于单位阶跃输入，设计过程为
例题【6.1】当输入改为单位速度信号时最少拍控制器 设计如下：
2）对于含有单位圆上或圆外非零极点的不稳定被控 对象的讨论
若不稳定被控对象Z传递函数含有单位圆上或圆外的极点 z=pi，在理论上可通过最少拍控制器设置零点来抵消这一 极点而形成一个稳定闭环控制系统，此时控制系列和输出 系列都是收敛的。 但这种稳定是建立在系统的不稳极点被控制器零点准确抵 消的基础上的。在实际控制过程中，由一于对系统参数辨 识的误差以及参数随时间的变化，这类抵消是不可能准确 实现的。 下面讨论一般情况。设不稳定对象的Z传递函数为
第六章 数字控制器的直接设计方法
6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 数字控制器的直接设计方法概述 参数优化的低阶控制算法 最少拍随动系统的设计 最少拍无纹波随动系统的设计 惯性因子法 非最少的有限拍控制 达林算法 小结
6.0 数字控制器的直接设计方法概述
从被控对象的特性出发，直接根据采样系统理论来设计数字控制器的 方法称为直接数字设计。它完全是根据采样系统的特点进行分析与综 合，并导出相应的控制规律，因此比模拟化设计具有更一般的意义。
克服此问题的方法 已知控制量u对于给定的参考输入量w的Z传递函数为
因此如果对象G(z)的所有零点都在单位圆内，那么这一传递环节 是稳定的。如果G(z)有在单位圆上和圆外的零点 为保证这一传递环节的稳定性，M(z)必须含有相同的零点，即
对例题6.1考虑稳定性后设计最少拍控制器过程如下：
本章中所有设计方法都是基于图6-2所示闭环系统，确定 其数字控制器可以采用两种方法： 1、参数优化方法，即先确定D(z)结构，然后通过某一优 化指标求出D(z)中的参数。 2、按照某一期望的闭环响应M(z)或期望的误差响应等来 设计数字控制器D(z)，此法中D(z)的结构将依赖于对象 G(z)的结构。
式中，pi为系统的不稳极点。
•
但如果实际对象的传递函数发生了如下变化
若仍使用上述最少拍控制器 则闭环传递函数将变为
在输入为单位阶跃时
输出系列为0, 1，0.9, 1.13, 0.821，1.246,…，在参数变化后闭环系统 不再稳定（如图6-6所示）
结论：在最少拍控制系统 设计中，控制器零点与对 象不稳定极点相消只能给 出理论的稳定控制，而实 际上，闭环系统是不可能 真正稳定的。 为了解决 对不稳定对象的最少拍控 制问题，应注意在控制器 中不应出现与对象不稳极 点相消的零点，显然，根 据式(6-14)在设计1-M(z)时， 应该使它包含有
6.3 最少拍无纹波随动系统的设计
最少拍无纹波系统的设计，是在最少拍控制存在纹波时， 对期望闭环响应M (z)进行修正，以达到消除采样点之间纹 波的目的。系统输出在采样点之间的纹波，是由控制量系 列的波动引起的（参见[例6.1]），其根源在于控制量的z 变换含有非零极点。根据采样系统理论，如果一采样传递 环节含有在单位圆内的极点，那么这个系统是稳定的，但 极点的位置将影响系统的离散脉冲响应（参见附录）。特 别当极点在负实轴上或在第二、三象限时，系统的离散脉 冲响应将有剧烈的振荡。一旦控制量出现这样的波动，系 统在采样点之间的输出就会引起纹波。
该极点在构成M(z)时没有被顾及，从而使控制量的z变换有 一极点z＝-0.2，造成了控制量的上下波动。 为了消除该例题存在的纹波，在设计时可采用下方法：
由此可知，控制量系列为0.83，-1.0676，0.237 4, 0, 0,…，输出量系列 为0, 0.22, 0.875 4, 1, 1,…。

由于执行机构的饱和特性，控制量将被限定在最大值以内。 这样，按最少拍设计的控制量系列将不能实现，控制效果因 而会变坏。此外，在控制量过大时，由于对象实际上存在非 线性特性，其传递函数也会有所变化。这些都将使最少拍设 计的目标不能如愿实现。
4、在采样点之间存在纹波
最少拍控制只能保证在采样点上的稳态误差为零。在许多 情况下，系统在采样点之间的输出呈现纹波（如图6-4,图 6-5所示），这不但使实际控制不能达到预期目的，而且增 加了执行机构的功率损耗和机械磨损。 因此，最少拍控制在工程上的应用受到很大限制，但人们可 以针对最少拍控制的局限性，在其设计基础上加以改进，选 择更为合理的期望闭环响应M(z)，以获得较为满意的控制效 果。
三、 最少拍系统的局限性
最少拍系统的设计基于采样系统的Z传递函数，运用的数 学方法和得到的控制结构均十分简单，整个设计过程可以 解析地进行，这是它的优点。但是它也存在下述一些局限 性。
1、 对不同输入类型的适应性差
最少拍控制器D(z)的设计使系统对某一类输入的响应为最 少拍，但对于其它类型的输入不一定为最少拍，甚至会引 起大的超调和静差。
二、最少拍系统的设计
1、最少拍闭环传递函数M(z)的确定
下表给出了三种典型输入最少拍控制的M(z)。
选定M(z)后即可根据下式求出最少拍控制器
2、最少拍控制器的可实现性 所谓控制器的可实现性，是指在控制算法中，不允许出现 未来时刻的偏差值。因为除了在某些预测算法中可近似使 用偏差预测值外，一般说来，未来的偏差是未知的，不能 用来计算现时的控制量。这就要求数字控制器的Z传递函 数D(z)不能有z的正幂项。 假定给定连续对象有l个采样周期的纯滞后，相应的Z传 递函数为
2、对参数变化过于敏感
按最少拍控制设计的闭环系统只有多重极点z＝0。从理论上可以证 明，这一多重极点对系统参数变化的灵敏度可达无穷。因此如果系 统参数发生变化，将使实际控制严重偏离期望状态。
系统输出值系列为0, 0, 2.4, 2.4, 4.44, 4.56, 6.384, 6.648,…显然 与期望输出值0,1,2,3,…相差甚远，如图6-9所示。在这里，由 于对象参数的变化，实际闭环系统的极点己变为z1= -0.906， z2,3= 0.453 + j0.12偏离原点甚远。系统响应要经历长久的振荡 才逐渐接近期望值，已不再具备最少拍响应的性质。
6.1 参数优化的低阶控制算法
一、确定数字控制器的结构
？
由6-6式得：
u ( k ) a e ( k ) a e ( k 1 ) a e ( k 2 ) 0 1 2
而已知增量式PID算式又可表示为： 其中 条件如何得出?
d 0 K (1 d2 K
Td T
T Ti
因此，除了按6.2.1节选择M(z)以保证控制器的可实现性及 闭环系统的稳定性外，还应将被控对象G(z)在单位圆内的 非零零点包括在M(z)中，以便在控制量的z变换中消除引 起振荡的所有极点。这样做，将增高M(z)中Z的幂次，从 而增加了调整时间，但采样点之间的纹波可由此消除。 【例6.1】稳定的最少拍控制即为一有纹波过程（见图6-4, 图6-5).这主要是由于对象传递函数有一个零点z=-0.2，

2 Td T
Td T
)
d 1 K (1
)
二、确定数字控制器的参数
三、与对象结构有关数字控制器设计的引出
6.2 最少拍随动系统的设计
一、基础知识：
1、最少拍控制：就是要求闭环系统对于某种特定的输入 在最少个采样周期内达到无静差的稳态。 • 它的闭环z传递函数具有形式
说明： P是可能情况下的最小正整数。这一传递形式表明闭环系 统的脉冲响应在P个采样周期后变为零，从而意味着系统 在P拍之内到达稳态。
在给定M (z)之后，数字控制器可由下公式解出
在选取M (z)时，注意到这里的对象为一阶惯性环节（与〔例6.3]有相 似之处），故可以预料，按最少拍控制设计出来的系统，不能适应期 望值的多种变化。因此，有必要采用惯性因子法进行改进。我们从按 速度输入设计的最少拍控制出发，将期望的闭环传递函数由
改变为式(6-20)
在这里，电机负载的实际转速经轴角编码器转换成数字信号，在微型计算机 中与期望值构成速度偏差，并按所设计的控制算法，计算出控制量送给脉冲 发生器。脉冲发生器产生两个不同相位的脉冲序列，它们的相位差正比于控 制量。作用在直流电机上的电压是可控硅整流器的输出电压Va，它正比于脉 冲相位差。
经过分析后，可得整个系统的z传递函数为
3、控制作用易超出限制范围
在以上的最少拍系统设计中，我们对控制量并未 作出限制，因此，所得到的结果应该是在控制能 量不受限制时系统输出稳定地跟踪输入所需要的 最少拍过程。从理论上讲，由于通过设计已给出 了达到稳态所需的最少拍，如果将采样周期取得 充分小，便可使系统调整时间任意短。这一结论 当然是不实际的。这是因为当采样频率加大时， 被控对象Z传递函数中的常数系数将会减小。
惯性因子法是针对最少拍系统只能适用于特定的 输入类型，而对其它输入不能取得满意效果而采 用的一种改进方法。它以损失控制的有限拍无差 性质为代价，而使系统对多种类型输入有较满意 的响应。
这表明，采用惯性因子法后，系统已不可能在有限个采样周期 内准确到达稳态，而只能渐近地趋于稳态，但系统对输入类型 的敏感程度却因此降低。通过选择合适的参数c，它可对不同 类型的输入均作出较好的响应。
6.5
非最少的有限拍控制
如果我们在最少拍设计的基础上，把闭环Z传递函数M(z) 中z-1的幂次适当提高一 到二阶，闭环系统的脉冲响应 将比最少拍时多持续一到二拍才归于零。这时显然已不是 最少拍系统，但仍为一有限拍系统。在这一系统的设计中， 由于维数的增高，将使我们 在设置控制初值u(0)或选择 M(z)及1-M(z)中的若干待定系数时增加一些自由 度。一 般情况下，这有利于降低系统对参数变化的敏感性，并减 小控制作用。
3、最少拍设计的稳定性考虑
在最少拍控制中，闭环Z传递函数M(z)的全部极点都在 z=0处，因此系统输出值在采样时刻的稳定性可以得到保 证。但系统在采样时刻的输出稳定并不能保证连续物理 过程的稳定。 如果控制器D(z)选择不当，控制量u就可能是发散的。系 统在采样时刻之间的输出值以振荡形式发散，实际连续 过程将是不稳定的。 1）对于含有单位圆上或圆外非零零点的稳定对象的讨论 具体参看【例6.1】最少拍控制器的设计。
即令：
所以，控制是稳定的。
若对象传递函数G(z)再变为G*(z)，那么闭环传递函数 就变为M*(z)
4、 最少拍控制器设计的一般表达式：
合理的最少拍系统设计，除了应在最少拍内到达稳态外，还 应考虑数字控制器的可实现性及控制系统的稳定性。故若被 控对象有L个采样周期的纯滞后，并有ｉ个在单位圆上及圆外 的零点z1,..., zi,j个在单位圆上及圆外的极点pl ..., pj，则最少拍 控制器为
将图6-10与图6-4相比，系 统现在在三拍后才到达稳 态，调整时间增加了一拍， 但纹波却消除了。最少拍 无纹波系统的设计，消除 了采样点之间的纹波，并 在一定程度上减小了控制 能量，降低了对参数变化 的灵敏度，但它仍然是针 对某一种特定输入设计的， 而对其它类烈的输入未必 理想。
6.4
惯性因子法
的形式，并取c＝0.5，则可以得到 由此可得数字控制器的Z传递函数为
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这一控制系统对期望值单位阶跃变化的响应为
应该注意的是，使用惯性因子法并不能改善系统对所有输入类型的响 应。在上例中， c＝0.5将使系统对加速度输入的静差加大。如果取 c＝－0.5，固然可减小这一静差，但其 阶跃响应的超调却达150%。 所以，这种方法只适用于输入类型不多的情况。如果要使 控制系统 适应面广，则可针对各种输入类型分别设计，在线换接，如图6-15所 示。
2、对最少拍控制系统设计的具体要求：
① 对特定的参考输入信号，在到达稳态后，系统 在采样点的输出值准确跟踪输入信号，不存在 静差。 ② 在各种使系统在有限拍内到达稳态的设计中， 系统准确跟踪输入信号所需的采样周期数应为 最少。 ③ 数字控制器D(z)必须在物理上可以实现。 ④ 闭环系统必须是稳定的。