2-1～3 轴力 应力

保证构件不发生强度破坏并有一定安全裕量的条件准则。
s
max max(
FN ( x) ) s
A( x)
其中：[s]--许用应力， smax--危险点的最大工作应力。
依强度准则可进行三种强度计算：
①校核强度：
s max s
②设计截面尺寸：
Amin
FN max
[s ]
③许可载荷： FN max A s ; P f ( N i )
第二章 轴向拉伸和压缩（Axial Tension）
§2–1 轴向拉压的概念及实例 §2–2 轴力及轴力图 §2–3 截面上的应力及强度条件
2
§2–1 轴向拉伸和压缩的概念及实例
一、概念 轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。 轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向 缩扩。 轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
3
力学模型如图
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
P P
4
二、
工 程 实 例
5
6
§2–2 内力、截面法、轴力及轴力图
例如： 截面法求FN
P
A
P
截开：
P
A P
简图
代替：
P
FN A
平衡：
X 0 P FN 0 P FN
2. 轴力——轴向拉压杆的内力，用FN 表示。
t max s 0 / 2 127.4 / 2 63.7MPa
40
s 0 127.4MPa
t max 63.7MPa
sa
s0
2
(1 cos 2a )
127.4 (1 cos60) 2
95.5MPa
ta
s0
2
sin2a
127.4 sin60 2
55.2MPa
41
42
7
3. 轴力的正负规定: FN 与外法线同向,为正轴力(拉力) FN
FN FN > 0
FN 与外法线反向,为负轴力(压力) FN
FN FN < 0
三、 轴力图—— FN (x) 的图象表示。
意 ①反映出轴力与截面位置变化关系，较直观；
义 ②确定出最大轴力的数值 FN
及其所在横截面的位置，
P
即确定危险截面位置，为
t 45o
s0
2
s 45o
s0
2
s 45o
σ0
t 45σo0
39
例 2-3-5 直径为 d =1 cm 杆受拉力 P =10 k N的作用，试求最大切 应力，并求与横截面夹角30°的斜截面上的正应力和切应力。
解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之：
s0
P A
4 10000 3.14 102
127.4MPa
x
强度计算提供依据。
8
[例1] 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、 4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
OA
BC
D
PA
PB
PC
PD
FN1
A
BC
D
PA
PB
PC
PD
解： 求OA 段内力N1，设置截面如图
X 0 FN1 PA PB PC PD 0
FN1 5P 8P 4P P 0 FN1 2P 9
y
A
T2
NAB T1 x P
X 0
T1 T2 N AB cos15 P sin30 0
得 : T1 1.74P;
N AB 3.35P
32
得 : T1 1.74P;
许可内力：
N AB 3.35P
N AB AAB s
4
(d
2 2
d
2 1
)s
94.2kN
y
A
T2
NAB T1 x P
3. 危险截面及最大工作应力：
危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。
危险点：应力最大的点。
s
max
max(
FN ( x) A( x)
)
17
4. 公式的应用条件： 直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。
5. Saint-Venant原理： 离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作
8kN 3kN
12
简
OA
便
求
5P
法
OA
RO=2P
5P
FN
2P +
–
- -3P
PD = P, 轴力图如何？ FN
0
–
-5P
BC 8P 4P
BC 8P 4P
5P +
3P +
D P D P
P
x
x -P
[例2] 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出
杆的轴力图。 q(x)
解：x 坐标向右为正，坐标原点在 自由端。
FNBC 2P 5P 8P 5P
FNCD 2P 5P 8P 4P P
D PD P
11
轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 轴力(图)的简便求法： 自左向右:
遇到向左的P， 轴力N 增量为正； 遇到向右的P ， 轴力N 增量为负。
8kN
5kN
3kN
5kN +
5kN
8kN – -3kN
X 0 HA 0 mB 0 RA 19.5kN
RB
24
HA RA
② 局部平衡求 轴力：
q
mC 0 FN 26.3kN
HC
③应力：
RC
s
max
FN A
4P
d2
FN
4 26.3 103 3.14 0.0162 131MPa
④强度校核与结论： s max 131 MPa s 170 MPa
P
C ABD N B /s ;
LBD h / sin 。
h
D
27
x
XA A
B
YA
NB
PC
解： BD杆内力N( )： 取AC为研究对象，如图
mA 0 , (NBsin ) (hctg ) Px
BD杆面积A：
A N B /s
PL
N B hcos
28
L x
XA A
B
YA
NB
PC
③
求VBD
4
(d
2 4
d
2 3
)s 1
31
例 2-3-4 简易起重机，支管AB 的内外径分别为d1=95mm， d2=105mm，钢索1和2直径均为d=25mm，管与钢索的许用应力 都为[s]=60MPa。试求最大起重量。
解：以P 表示内力∶取轮
A
2
15°
1
A为研究对象，如图：
Y 0
P 45° B 30° C N B sin15 P cos 30
21
[例3] 已知一圆杆受拉力P =25 k N，直径 d =14mm，许用应力
[s]=170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。
解：① 轴力：FN = P =25kN
②应力：s max
FN A
4P πd 2
4 25103 3.14 0.0142
162MPa
③强度校核： s max 162MPa s 170MPa
此杆满足强度要求，是安全的。
25
7. 强度设计准则（Strength Design）：
保证构件不发生强度破坏并有一定安全裕量的条件准则。
百度文库
s
max max(
FN ( x) ) s
A( x)
其中：[s]--许用应力， smax--危险点的最大工作应力。
依强度准则可进行三种强度计算：
①校核强度：
s max s
T1
T2
4
d
2
s
29.5kN
求由各构件内力决定的[P]∶
PAB
N AB
3.35
28.1kN
P1
T1
1.74
17kN
结论：最大许可起重量为
[P]=min {P 1,PAB}=17kN。
求由各构件内力决定的[P]∶
PAB
N AB
3.35
28.1kN
;
P1
T1
1.74
17kN
结论：最大许可起重量为
L
取左侧x 段为对象，内力FN(x)为：
O x
FN –
q(x) FN
x
k L2 2
FN ( x)
x kxdx 1 kx2
0
2
FN ( x)max
1 kL2 2
14
§2–3 截面上的应力及强度条件
问题提出：
P
P
P
P
1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。 2. 强度：①内力在截面分布集度应力；
a
的正应力
so
t
x
a
s a A s 0 ( A cosa ) cosa ta A s 0 ( A cosa ) sina
38
s
a
t a
s0 s0
cos 2
sina
a s cosa
0 (1 cos 2a ) / 2 (s 0 sin2a ) / 2
最大切应力∶与横截面夹角±45°的斜截面上， 正应力和切应力为∶
同理，求得AB、 FN2 BC、CD段内力分 别为：
FN2= –3P FN3= 5P FN4= P
BC
PB
PC
FN3
C
PC FN4
轴力图如右图 FN
5P
2P +
+
P
–
-3P
D PD D PD D PD
x
10
2P O A PA 5P
FNoA 2P
FNAB 2P 5P 3P
BC
PB
PC
8P 4P
②设计截面尺寸：
Amin
FN max
[s ]
③许可载荷： FN max A s ; P f ( N i )
26
[例5] 简易起重机构如图，AC 为刚性梁，吊车与吊起重物总
重为P，为使 BD杆最轻，角 应为何值？ 已知 BD 杆的许用 应力为[s]。
L
分析：
x
A
B
V ABD LBD;
的最小值：V
ALBD
Ah / sin
2PL
[ ] sin2
;
45o时,
Vmin
2PL
[s ]
29
管AB 的内外径分别为d1=95mm，d2=105mm，管的AB许 用应力为[s]=60MPa。试求最大P。
A
B
P
FNAB [P] AAB s
C P
4
(d
2 2
d12 )s
94.2kN
30
②材料承受荷载的能力。
15
二、拉（压）杆横截面上的应力 1. 变形规律试验及平面假设：
变形前
ab cd
受载后 P
a´
b´
c´
d´
P
平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。
16
均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。
2. 拉压应力：
P
s FN(x)
s FN ( x)
A
轴力引起的正应力 —— s ： 在横截面上均布。
应力状态。
2、单元体： 单元体——点∶ 包围被研究点的无限小的几何体，
常用正六面体。 单元体的性质∶ 平行面上，应力均布且相等。
3、拉压杆内一点的应力单元体:
M
P
ss
s
s
s
36
P
M
P
M
M
M M
37
4、拉压杆斜截面上的应力
取分离体如图， a 逆时针为正； ta绕研究对象顺时针转为正；
s
s
s a
由分离体平衡得：0 是横截面上
[P]=min {P 1,PAB}=17kN。
34
y
A
T2
P NAB T1 x
1. 许可内力：
N AB AAB s
4
(d
2 2
d
2 1
)s
94.2kN
T1
T2
4
d
2
s
29.5kN
2. 由平衡方程求[P]∶
3. 结论：最大许可起重量为
35
四、拉压杆斜截面上的应力
1、一点的应力状态： 过一点有无数个截面，各个截面上的应力情况，称为这点的
④结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。
22
[例4] 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布 集度为：q =4.2kN/m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许
用应力[s]=170M Pa。 试校核刚拉杆的强度。
q
钢拉杆 8.5m
23
解：① 整体平衡求支反力 q
HA RA
钢拉杆
8.5m
管AB 的内外径分别为d1=95mm，d2=105mm，管的AB许用应力 为[s]=60MPa,管BC 的内外径分别为d3=95mm，d4=110mm，管 的BC许用应力为[s1]=50MPa 。试求最大P。
A
B
C
P
P
FNAB [P] AAB s
4
(d
2 2
d12
)s
94.2kN
FNBC [P1 ] ABC s 1
用方式的影响。 6. 应力集中（Stress Concentration）： 在截面尺寸突变处，应力急剧变大。
18
19
Saint-Venant原理与应力集中示意图
变形示意图： P
a
b
c
P
(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。) 应力分布示意图：
P
sP
a
b
s s
c
P
20
7. 强度设计准则（Strength Design）：