现代电力系统分析课件

⎢⎣0 "# 0 " 0 " 0⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
[ ] [ ] 问题：如何快速计算
~ U
？
= M ij
[δy]
M ij T
两条线路开断
支路 km 和 ij 同时开断
⎡0 " 0 " 0 " 0 " 0 " 0⎤
⎢ ⎢
#
#
#
#
#
#
⎥ ⎥
⎢0 "
⎢ ⎢
#
Δyij #
" − Δyij " #
0 #
"
原
I1
U (0)
Ii
网
Ij
络
In
U (1)
原
Iij
网
-Iij
络
U = U (0) + U (1)
U (0)为原网络的节点电压 U (1)为向原网络追加附加的注入电流后的节点电压
计算Iij
其中
U (1) = Y −1I (1)
[ ] I(1) = 0 " Iij " − Iij " 0 T
ij
I1 Ii+Iij
U1 Ui
Ij -Iij In
Iij Uj
Un
[ ] I(0) = I1 " Ii " Ij " In T
新注入电流：
[ ] I(1) = I1 " Ii + Iij "Ij − Iij " In T
新节点电压方程 YU = I (1)
z 迭加法：
计算Iij
1 " 0 " 0⎤ 0 " 1 " 0⎥⎦
T
⎢ ⎢
#
#
⎥ ⎥
⎢⎣0 0⎥⎦
多重支路开断计算法
计算方法一：集中计算
基本思想：按照前述过程，形成相应的 M 和 (δy) ， 进而形成 ΔY ，之后利用后补偿等模式 求解
其中 M 可由节点支路关联矩阵的对应开断支路所 在列提取（或改造）
(δy) 可由开断支路决定
⎢1 0⎥
⎢ ⎢
#
#
⎥ ⎥
⎢− 1
ΔY
=
⎢ ⎢
#
⎢ ⎢ ⎢
0 #
0⎥
#
⎥ ⎡ Δ yij ⎥⎢
1
⎥⎣ ⎥
#⎥
⎤⎡0 " + 1 " −1 " 0 " 0 " 0⎤
Δ
y
km
⎥ ⎦
⎢ ⎣
0
"
0
"
0
"
+1 "
−1 "
0
⎥ ⎦
⎢ ⎢
0
− 1⎥⎥
⎢# #⎥
⎢ ⎣
0
0
⎥ ⎦
快速求解新方程
各种支路的开断，都可统一写成：
补偿法本质上是利用了线性网络的理论，来解决非 线性网络的问题 补偿法在处理严重事故（重载线路）时，其精度较 差，此时可以和交流潮流法进行迭代计算
补偿法对于一定的网络和故障重数，是否存在效率 优势应客观分析比较
"
0
"
⎥ 0⎥⎦
[ ] [ ] [ ] = M ij−km δy M ij−km T
[δy]
=
⎡Δyij ⎢
⎣
⎤
Δykm
⎥ ⎦
如何快速计算
~ U
？
快速求解新方程
M ij −km
=
⎡0 ⎢⎣0
" "
+1 0
" "
−1 0
" "
0 +1
" "
0 −1
" "
0⎤ T 0⎥⎦
i
j
k
m
⎡0 0⎤
⎢ ⎢
#
#
⎥ ⎥
~ U
=
U
+
ΔU
补偿计算的三种模式
根据对 Y −1 的处理方法不同
2、前补偿 将Y −1放在括号的左边
先计算补偿项 再计算网络方程
( ) U~ = Y −1 E − McM TY −1 I
步骤分解：
（1） （2） （3）
ΔI = −McM TY −1I
I~ = I + ΔI
~ U
=
Y
−1I~
补偿计算的三种模式
ΔY
=
⎢ ⎢
#
Δyi #
"
− Δyij #
"
0⎥
#
⎥ ⎥
⎢0
⎢ ⎢
#
"
− Δy ji #
"
Δy j #
" 0⎥
#
⎥ ⎥
⎢⎣0 "# 0 " 0 " 0⎥⎦
⎡0 0⎤
⎢ ⎢
#
#
⎥ ⎥
= M (δy)M ⎢1
=
⎢ ⎢
#
⎢0
0⎥
#
⎥ ⎥
1⎥
⎡ Δyi ⎢⎣− Δy
ji
− Δyij ⎤⎡0 " Δy j ⎥⎦⎢⎣0 "
⎢#⎥
⎢⎣⎡0
"
1 k
"
−1
"
0⎥⎦⎤
⎢ ⎣
0
⎥ ⎦
= M (δy)M T
特殊应用 ——同时开断串并联支路
П 型等值电
i
路
yij
j
yi0
y j0
切除此等值电路相当于切除一串联支路、二条 并联支路
导致的矩阵变化为：
特殊应用 ——同时开断串并联支路
⎡0 " 0 " 0 " 0⎤
⎢ ⎢
#
#
#
Βιβλιοθήκη Baidu
#
⎥ ⎥
⎢0 "
补偿法
z 等值系统的最终状态
IU1~1 1
－y12 y12
对应的节点电压方程
2
UI~22
Y~U~ = I
其中 Y~ = Y + ΔY
3
U~3 I3
⎡− y12 y12 0 0⎤
I3
4
U~ 4
ΔY
⎢ =⎢
⎢
y12 0
⎢
− y12 0 0⎥⎥ 0 0 0⎥ ⎥
⎣ 0 0 0 0⎦
补偿法
网络
i
Zt
＋
E
Iij Zij
等值内阻抗：在其它节
点注入电流为0，在i－j 注入单位电流时的i－j
间电压差
则计算Iij
j
ZT
= Ui(ij)
−
U
(ij ) j
Iij
=
ZT
E + Zij
=
−
U
( i
0)
− U
(0) j
Zij + Ui(ij) − U
(ij ) j
小结
补偿法是对原网络方程进行的修正计算，其目的是 尽量通过少量的计算获得新解
c=
E + (δy)M TY −1M
−1
(δy)
补偿计算的三种模式
根据对 Y −1 的处理方法不同
1、后补偿 将Y −1放在括号的右边
先计算原方程的解 再计算补偿项
( ) ~
U
=
E − Y −1McM T Y −1I
步骤分解：
（1） U = Y −1I
（2） ΔU = −Y −1McM TU
（3）
⎡0 " 0 " 0 " 0⎤ ⎡ 0 ⎤
i
⎢ ⎢
#
#
#
#
⎥ ⎥
⎢ ⎢
#
⎥ ⎥
[ ] ⎢0 "
ΔY
=
⎢ ⎢
#
Δyij #
"
− Δyij #
"
0⎥ ⎢ 1 ⎥
#
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
#
⎥ ⎥
Δyij
[0 " 1 "
−1 "
0]
j
⎢⎢⎢0#
"
− Δyij #
"
Δyij #
" 0# ⎥⎥⎥ ⎢⎢⎢−#1⎥⎥⎥
ij
ΔY = M (δy)M T (δy) ：为对角方阵，阶数取决于同时开断的支路数
快速求解新方程
U~ = (Y + ΔY )−1 I
= (Y + M (δy)M T )−1 I
( ) = Y −1 −Y −1McM TY −1 I
( ) 其中 c = (δy)−1 + M TY −1M −1
( ) 如果c不可逆，则
0 #
" 0⎥
#
⎥ ⎥
i
ΔY = ⎢⎢⎢0#
"
− Δyij #
"
Δyij #
"
0 #
"
0 #
" 0# ⎥⎥⎥
j
⎢⎢0 " 0 " 0 " Δykm " − Δykm " 0⎥⎥
k
⎢#
#
#
#
#
#⎥
⎢⎢0 " 0 " 0 " − Δykm " Δykm " 0⎥⎥
m
⎢#
#
#
#
#
#⎥
⎢ ⎢⎣0
"
0
"
0
"
0
[ ] I(1) = Iij 0 " 1 " −1 " 0 T = Iij I (ij)
如果 Iij = 1 则有 [ I(1) = 0 " 1 " −1 " 0]T
可求 U (ij) = Y I −1 (ij)
计算Iij
应用等值发电机原理
空载电势
E
=
U i( 0)
− U
(0) j
U~ = Y~−1I
法二、对原初始系统的导纳阵 Y 进行修正后 形成 Y~ ，并求逆
Y~ = Y + ΔY
U~ = Y~−1I
法三、利用原导纳阵 Y ，修正节点注入电流
U~ = Y −1(I + ΔI )
矩阵求逆辅助定理
z A为n阶非奇异方阵，若其变化后的矩阵
~ A
=
A
+
MaN
T
其中 M N为n×m阶矩阵，a为m×m阶非奇异阵
多重支路开断计算法
计算方法二：序列计算 基本思想：先开断一条支路，计算此时的方程解；
在此基础上继续进行后续的支路开断计算
一般来说，此法较方法一的计算量要大。
补偿法的物理涵义
z 支路开断时，在该支路两端点引入补偿电流或 功率，模拟支路开断的影响
z 原导纳阵不变，因子表不用重新计算
原注入电流：
原 网 络
k:1
yT
导纳阵 j
yT (k −1) k
⎡ yT ⎢⎢⎢−ky2T ⎣k
−
yT k
⎤ ⎥ ⎥
yT
⎥ ⎦
特殊应用 —— 开断变压器支路
此变压器支路开断： ⎡ 0 ⎤
ΔY = ⎢⎢⎢⎡−ykyTT2 ⎣k
yT ⎤
k
⎥ ⎥
−
yT
⎥ ⎦
⎢ ⎢ ⎢
# 1
⎥ ⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
k #
⎥⎥[−
yT
]
⎢⎢− 1⎥⎥
（4）
~ U
=
R −1F~
特殊应用 —— 开断接地支路
只修改导纳阵中与该支路有关的对角元的值
⎡0⎤
⎢⎢ #
⎥ ⎥
ΔY = ⎢⎢⎢1# ⎥⎥⎥[Δyi0 ][0 " 1 " 0] = M (δy)M T
⎢⎣0⎥⎦
特殊应用 —— 开断变压器支路
具有非标准变比的变压器
i
j
П 型等值电
路
yT
i
k
yT (1− k) k2
根据对 Y −1 的处理方法不同
3、中补偿 将Y −1进行因子分解 Y −1 = R−1L−1
补偿修正夹在 网络方程求解之间
( ) U~ = R−1 E − L−1McM T R−1 L−1I
步骤分解：
（1） F = L−1I
（2） ΔF = −L−1McM T R−1F
（3） F~ = F + ΔF
则变化后的新矩阵的逆阵：
( ) A~−1 = A−1 − A−1M a−1 + N T A−1M −1 N T A−1
条件： a−1 + N T A−1M 可逆。
优点：若已知A－1，利用该条件可以减少计算量
U~
补偿法的修正计算
n个节点系统节点电压方程： YU = I
新方程： 支路ij开断
(Y + ΔY )U~ = I
z 模拟系统的最终状态
IU1~1 1 ΔI1
ΔI22
UI~22
对应的节点电压方程
YU~ = I + ΔI
3
U~3 I3
4
I3 U~ 4
其中
[ ] ΔI = ΔI1, ΔI2,0,0 T
求解思路
z 假设系统初始解已知：U = Y −1I z 开断后最终解的计算：
法一、按定义形成最终系统的导纳阵 Y~ 并求逆
支路开断之补偿法
简单系统
z 4节点系统的初始状态
UI11 1
I12
2
UI22 对应的节点电压方程
YU = I
3
U3 I3
4
I4 U 4
补偿法 z 支路1－2开断后的最终状态
IU1~1 1
3
U~3 I3
2 UI~22 对应的节点电压方程 Y~U~ = I
4
I3 U~ 4