大学高等数学_09反常积分及其收敛性_习题课

就称反常积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C[a , b), 而在 b 的左邻域内无界,
则定义
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而在点 c 的
邻域内无界 , 则定义
c
b
a f (x) dx c f (x) dx
lim c1 f (x) dx lim b f (x) dx
P256
作业
1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; 2; 3
提示: P256 题2
d x
2 x (ln x)k

d(ln x) 2 (ln x)k
当k 1时,
I
(k
)


2
x
dx (ln x)
k

(k
1 1)(ln
2)k 1
令 f (k) (k 1)(ln 2)k1, 求其最大值 .

( )
22
思考:
y
y

1 1 x2
o
x
分析:
原积分发散 !
注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质,否则会出现错误 .
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例2. 证明第一类 p 积分
当 p >1 时收敛 ; p≤1
时发散 . 证:当 p =1 时有
1 2
[
f
(
x)

f (x) ], 则 0 (x)
f (x)


a
f（x）d x收敛 ,

a


(
x)
d
x
也收敛
,
而
f (x) 2 (x) f (x)

f (x)d x 2
(x)d x

a
a
a
f (x) d x
可见反常积分

a
f
( x) d
d
x
的无穷间断点, 故 I 为反常


3
21
f
( x) f 2(x)
d
x

1
f
( x) f 2(x)
d
x

1
d
f f
(x) 2 (x)

arctan
f
(x)

C
]
2
] arctan 32 2
2
27
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内容小结
积分区间无限 1. 反常积分
被积函数无界
2. 两个重要的反常积分
,
(
p

1 1)
a
p1
,
常义积分的极限
p 1 p 1
,
q 1
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说明: (1) 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互 相转化 .
例如 ,

1 0
1

1 x2
x2

1 x2
dt

1 d(x 1x)
0
(x

a
g
(
x)
dx
收敛

a

g
(
x)
dx
发散
证: 不失一般性 ,
则对 t a 有
t
t
a f (x)dx a g(x)dx
故
t
a
f
( x) dx
是
t
的单调递增有上界函数
,
因此
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t

lim f (x) dx
t a
a
f (x)dx
极限存在 ,
10 a
2 0 c2
无界函数的积分又称作第二类反常积分, 无界点常称
为瑕点(奇点) .
说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类
间断点, 则本质上是常义积分, 而不是反常积分.
例如,
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则也有类似牛 – 莱公式的
的计算表达式 :
若 b 为瑕点, 则
说明: 已知
得下列比较审敛法.
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定理3. (比较审敛法 1)
p 1,
f
(
x)

M xp
p 1,
f
(x)

N xp
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例1. 判别反常积分
的敛散性 .
解:
由比较审敛法 1 可知原积分收敛 . 思考题: 讨论反常积分 提示: 当 x≥1 时, 利用
第五节
第五章
反常积分的审敛法
函数
无穷限的反常积分 反常积分
无界函数的反常积分
一、无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数反常积分的审敛法
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一、无穷限反常积分的审敛法
定理1. 证:
若函数
x
F (x) a f (t) d t
则反常积分 a
f
(x) d x收敛 .
x
1

lim 2(1 ) 2
0
y 1 x
A
0
x
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定义2. 设 f (x) C (a , b], 而在点 a 的右邻域内无界,
若极限
存在 , 则称此极限为函
数 f (x) 在 [a , b] 上的反常积分, 记作
这时称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
解: 原式 t e pt p


1 p2
e
pt

1 p2
1 e pt d t
p0
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二、无界函数的反常积分
引例:曲线
与 x 轴, y 轴和直线
开口曲边梯形的面积可记作
y
所围成的
其含义可理解为
A lim 0
1 dx

lim 2 x 0

(b a)1q
b


1 q
a ,
,
q 1 q 1
所以当 q < 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 (b a)1q ; 1 q
当 q ≥ 1 时, 该广义积分发散 .
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例7.
求
解：
积分.
I
0
11
f
( x) f 2(x)
b
v.p.a f (x) dx
(c为瑕点, a c b)

lim
0

c
a
f (x)dx
b
c
f (x) dx
注意: 主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反 常积分收敛 .
思考与练习
P256 题 1 (1) , (2) , (7) , (8)
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b
a
f
(x)
dx

F
(b
)

F
(a)
若 a 为瑕点, 则
b
a
f
( x) dx

F (b)

F
(a
)
若 a , b 都为瑕点, 则
b
a
f
( x) dx

F (b
)

F (a
)
注意: 若瑕点 c (a ,b), 则
b
a
f
( x) dx

F (b)

F (c )
F (c )
x
收敛 .
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定义. 设反常积分 f (x) d x 收敛 , a
若 a
f (x)
dx 收敛 , 则称
若 a
f (x) dx 发散 , 则称
例4. 判断反常积分 的敛散性 .
解:
绝对收敛 ; 条件收敛 .
根据比
较审敛原理知 eax sin bx dx 收敛 , 故由定理5知所 a


01
x2 x4
d
x

1
2
1 01

x2 x4
d
x
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1
2
0
1 x2
1
1 x2

x2
d
x
1
2
0
(x

1
1 x
)
2

2
d
(x

1) x

1
arctan
x

1 x

22
2 0
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dx
的敛散性
.
解:

1
lim x2
x
3

1
x
2
x
2

lim x 1
x
2
x
2

1
根据极限审敛法 1 , 该积分发散 .
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定理5.
若
f
(
x)

C
[a
,

)
,
且

a
f（x）d x收敛 ,
则反常积分

a
f
( x) d
x收敛 .
证：令

(
x)

第五节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 试证
d x 0 1 x4

x2 0 1 x4
d
x
,
并求其值
.
解:

令
t

1 x
0
1
1

1 t4

1 t2
d
t

t 2 0 1t4
d
t
d
0 1
x x4

1 2
d 0 1
x x4
F (a)
可相消吗?
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例4. 计算反常积分
解: 显然瑕点为 a , 所以
原式


arcsin
x a

a 0

arcsin1

2
例5. 讨论反常积分
的收敛性 .
所以解下反: 述常11解积dxx2法分是0否1dx1x正x2 确发110:1散dxx2.1
这时称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在,
就称反常积分
发散 .
类似地 , 若 f (x) C (, b], 则定义
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若 f (x) C (, ), 则定义
c
b
lim f (x) dx lim f (x) dx
a a
b c
( c 为任意取定的常数 )
根据极限收敛准则知
x
lim F (x) lim f (t) d t
x
x a
存在
,
即反常积分

a
f
(x) d x收敛
.
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定理2 . (比较审敛原理) 设 f (x) C [a , ),且对充
分大的 x 有 0 f (x) g(x) , 则
第四节 反常积分
积分限有限 常义积分 被积函数有界
推广
反常积分 (广义积分)
一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分
第五章
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一、无穷限的反常积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积 可记作
A
dx 1 x2
其含义可理解为
A lim b
b 1
dx x2

lim b

1 x
b 1
来自百度文库

lim 1 b

1 b


1
y

1 x2
A
1b
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定义1. 设 f (x) C[a , ), 取 b a , 若
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作
只要有一个极限不存在 , 就称
发散 .
无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.
说明: 上述定义中若出现 , 并非不定型 ,
它表明该反常积分发散 .
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引入记号
F () lim F (x) ; F () lim F (x)
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :

a f (x) dx F (x)
F () F (a)
b
f (x) dx F (x)

f (x) dx F (x)
F (b) F () F () F ()
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例1. 计算反常积分
解:

[arctan x ]

1 x
)
2

2

0 dt 2 t2
(2) 当一题同时含两类反常积分时, 应划分积分区间,
分别讨论每一区间上的反常积分.
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(3) 有时需考虑主值意义下的反常积分. 其定义为

v.p. f (x) dx lim
a
f (x)dx

a a
的敛散性 .
可知原积分发散 .
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定理4. (极限审敛法1)
满足
lim x p f (x) l
x
则有: 1) 当
2) 当
证: 当p 1时, 根据极限定义 , 对取定的
分大时, 必有
,即
当x充
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当 p 1时, 可取 0, 使l 0, (l 时用任意正 数 N 代替 l ), 必有
ln x
a


当 p ≠ 1 时有


x1 p 1 p

a
, a 1 p , p 1
p 1 p 1
因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛 , 其值为 a 1 p ; p 1
当 p≤1 时, 反常积分发散 .
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例3. 计算反常积分
给积分收敛 (绝对收敛) .
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二、无界函数反常积分的审敛法
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 例如 由定义



1


1 x
2
,0∴1积 分1x收敛01


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例6. 证明反常积分
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
时发散 .
证: 当 q = 1 时,

ln
x

a

b a

当 q≠1 时


(x a)1q 1 q
即
注意:
此极限的大小刻画了
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d x
例2. 判别反常积分 1 x 1 x2 的敛散性 .
解: lim x2 1 lim 1 1
x
x 1 x2
x
1 x2
1
根据极限审敛法 1 , 该积分收敛 .
3
例3. 判别反常积分
x2 1 1 x2